Appunti di Matematica Finanziaria, docente Claudio Pacati

Legge degli interessi composti

Spiegazione del nome

Il termine "interessi composti" si riferisce al calcolo degli interessi su un capitale che comprende gli interessi accumulati nel tempo, non solamente sul capitale iniziale.

Eruzione valore nelle due leggi

Il valore di un investimento può evolvere secondo due leggi principali: la legge degli interessi semplici e quella degli interessi composti. La differenza chiave sta nel fatto che, con gli interessi composti, gli interessi maturati generano ulteriori interessi, portando a una crescita esponenziale.

Grandezze fondamentali in generale

Le grandezze fondamentali che intervengono nel calcolo degli interessi includono il capitale iniziale, il tasso di interesse, e la durata dell'investimento. Queste variabili determinano il montante finale.

Legge esponenziale valore/intensità di interesse

La legge esponenziale descrive la crescita del valore di un investimento quando gli interessi vengono capitalizzati. La formula generale è A = P(1 + r/n)^nt, dove A è il montante finale, P è il capitale iniziale, r è il tasso di interesse annuale, n è il numero di volte che gli interessi vengono capitalizzati per anno, e t è il tempo in anni.

Grandezze fondamentali nella legge esponenziale

Le grandezze fondamentali includono il tasso di capitalizzazione e la frequenza di capitalizzazione, che influenzano drasticamente il risultato finale del montante.

Tassi equivalenti (convenzionali) composti

I tassi equivalenti sono tassi di interesse che portano allo stesso montante finale quando applicati a un capitale per lo stesso periodo di tempo, ma con frequenze di capitalizzazione diverse.

Leggi di equivalenza finanziaria

Le leggi di equivalenza finanziaria affermano che due flussi di cassa sono equivalenti se hanno lo stesso valore attuale quando scontati allo stesso tasso di interesse.

Tassi equivalenti semplici

I tassi equivalenti semplici considerano solo la capitalizzazione annuale, senza considerare la capitalizzazione intermedia come nei tassi composti.

Operazioni finanziarie

Le operazioni finanziarie comprendono diversi tipi di contratti e strumenti, come prestiti e obbligazioni, che implicano l'uso di tassi di interesse per determinare il loro valore.

Algebra delle operazioni finanziarie

L'algebra delle operazioni finanziarie si occupa delle operazioni matematiche necessarie per calcolare valori futuri e presenti di flussi di cassa.

Valore operazione finale secondo una legge

Il valore di un'operazione finanziaria finale può essere calcolato usando formule specifiche che tengono conto degli interessi composti o semplici.

Scomposizione di operazioni finanziarie

La scomposizione di operazioni finanziarie permette di analizzare i flussi di cassa in termini di valore presente e futuro.

Proprietà della legge esponenziale

• Innalzativa
• Additiva
• Uniformità nel tempo
• Di scindibilità

Relazione ricorrenze dei montanti

Le ricorrenze dei montanti si riferiscono al calcolo ricorsivo degli importi maturati nel tempo secondo le leggi degli interessi composti.

TIR

Il Tasso Interno di Rendimento (TIR) è un indicatore della redditività di un investimento. È il tasso di sconto che rende nullo il valore attuale netto (VAN) di un flusso di cassa.

Teorema di Cartesio

Il teorema di Cartesio è usato nel calcolo del TIR per determinare il numero di cambiamenti di segno nel flusso di cassa, fornendo indicazioni sul numero di soluzioni reali possibili.

Uso del teorema

Il teorema viene impiegato per trovare il numero di TIR possibili, determinando la stabilità di un investimento in termini di rendimento.

Metodo di Newton (o delle tangenti)

Il metodo di Newton è un algoritmo iterativo utilizzato per trovare le radici di una funzione, applicato nella finanza per calcolare il TIR di un investimento.

Rendite

Valutazione delle rendite a rata costante secondo una certa legge esponenziale

La valutazione delle rendite a rata costante implica l'uso di formule che considerano il tasso di interesse e la frequenza di pagamento per calcolare il valore attuale o futuro delle rendite.

Rendite differite

Le rendite differite si riferiscono a pagamenti che iniziano a una data futura, piuttosto che immediatamente, richiedendo calcoli specifici per determinare il loro valore.

Ammortamento

Ammortamento francese

L'ammortamento francese prevede rate costanti comprensive di capitale e interessi, con una quota di interesse decrescente nel tempo.

Ammortamenti italiano

L'ammortamento italiano comporta il pagamento di quote di capitale costanti, con interessi decrescenti sulle quote residue di capitale.

Pre-ammortamento

Il pre-ammortamento è un periodo iniziale in cui si pagano solo gli interessi di un prestito, posticipando la restituzione del capitale.

Ammortamento non standard

L'ammortamento non standard riguarda piani di pagamento che non seguono modelli classici, adattandosi a esigenze specifiche di cash flow.

Obbligazioni

Le obbligazioni sono strumenti di debito che un emittente utilizza per raccogliere fondi, promettendo di restituire il capitale più un interesse ai detentori.

TCN

TCN si riferisce a "Titoli di Credito Negoziabili", che sono obbligazioni che possono essere comprate e vendute sul mercato secondario.

TCF (con PCP e con PHC)

TCF indica "Titoli di Credito con Cedola Fissa", che prevedono il pagamento di un importo fisso di interesse periodico fino alla scadenza. PCP e PHC si riferiscono a caratteristiche specifiche di tali strumenti.

Teoria delle Leggi di Equivalenza

La teoria delle leggi di equivalenza riguarda la valutazione e il confronto di flussi di cassa, considerando i tassi di interesse e altre variabili economiche per stabilire l'equivalenza finanziaria tra diverse operazioni.

Leggi esponenziali dove ogni giorno cambia s

Queste leggi considerano tassi di interesse che possono variare quotidianamente, influenzando la valutazione degli investimenti.

Proprietà di coerenza

• Proprietà di uniformità nel tempo
• Proprietà di indipendenza dagli importi
• Proprietà di additività del valore

Leggi di equivalenza finanziaria

Queste leggi definiscono come due o più flussi di cassa possano essere considerati equivalenti dal punto di vista finanziario, basandosi su tassi di sconto e altre metriche economiche.

Grandezze fondamentali struttura per scadenza

Le grandezze fondamentali riguardano la determinazione dei tassi di interesse in base alla durata rimanente fino alla scadenza di un titolo o strumento finanziario.

Valore e prezzi di mercato

Il valore di mercato di un titolo si basa sulla domanda e offerta, mentre il prezzo riflette il valore attuale dei flussi di cassa futuri scontati al tasso di interesse prevalente.

1. Ipotesi
2. Tipi di arbitraggio
3. Tesi

Teorema di Unicità del Prezzo

Il teorema afferma che, in un mercato efficiente, un titolo ha un unico prezzo che equilibra la domanda e l'offerta.

Teorema di Decrescenza dei Prezzi

Questo teorema stabilisce che, in condizioni normali di mercato, i prezzi delle obbligazioni tendono a diminuire con l'avvicinarsi della scadenza, a meno che non ci siano cambiamenti nei tassi di interesse.

Teorema dei Prezzi Impliciti

Il teorema dei prezzi impliciti riguarda la determinazione dei prezzi di mercato basati su informazioni immanenti e osservabili.

Teorema di Indipendenza dall'Importo

Affermare che il prezzo di un titolo non dipende dall'importo nominale, ma dalle sue caratteristiche intrinseche come il tasso di interesse e la scadenza.

Teorema di Additività del Prezzo

Il teorema di additività del prezzo indica che il valore totale di un portafoglio è la somma dei valori dei singoli titoli che lo compongono.

Struttura per Scadenza dei Tassi di Interesse a pronti

Questa struttura descrive come i tassi di interesse variano in base alla durata di un investimento o obbligazione.

Struttura per scadenza a termine

Descrive come i tassi di interesse a termine si differenziano da quelli a pronti, influenzando decisioni di investimento a lungo termine.

Dal mondo a termine al mondo a pronti

Transizione che esplora il passaggio dai contratti a termine a quelli immediati, influenzando la strategia di gestione del rischio.

Rischio di Mercato (Duration)

Il rischio di mercato legato alla duration rappresenta la sensibilità del prezzo di un'obbligazione alle variazioni nei tassi di interesse.

Proprietà della Duration

La duration è una misura dell'elasticità del prezzo di un obbligazione rispetto ai cambiamenti nei tassi di interesse. Include aspetti come tempo di scadenza e flussi di cassa.

Duration di Portafoglio

La duration di portafoglio calcola la media ponderata delle durations dei singoli titoli, fornendo un'indicazione complessiva del rischio di tasso di interesse.

Applicazione calcolo della Duration di un TCF

Calcolare la duration di un Titolo di Credito con Cedola Fissa (TCF) implica l'uso di formule specifiche per valutare l'impatto delle variazioni dei tassi di interesse.

Problemi della Duration

Le problematiche legate alla duration includono la sua limitata capacità di prevedere cambiamenti di prezzo in scenari di tasso non lineari.

Struttura Pattu Logica Duration

Indica il metodo di organizzazione delle obbligazioni in portafoglio per ottimizzare la duration e ridurre il rischio associato ai cambiamenti nei tassi di interesse.

F,Y,C,D dei Redimenti Francesi

I rendimenti francesi sono calcolati considerando diversi fattori come la frequenza, il tasso, il capitale e la durata.

F,Y,C,D di un Portafoglio

La struttura di un portafoglio considera i medesimi fattori (Frequenza, Yield, Capitale, Durata) per ottimizzare i rendimenti e minimizzare il rischio.

Contratti Indicizzati

I contratti indicizzati includono clausole che legano i pagamenti futuri a un indice di riferimento, proteggendo così da rischi inflazionistici.

Cedola Indicizzata

Le obbligazioni con cedola indicizzata prevedono pagamenti di interessi che variano in base a un indice di inflazione o altro parametro economico.

Parte B

Restituisce S(1 + i) al tempo 1. Vista di B+ S- (S + i) "I dammi"

Vista di A- S+ (S + i) "I dammi" Sinteticamente PVB = { S (S + i) } / {0, 1} A: Investitore, finanziatore, creditore B: Emittente, finanziato, debitore

Slang finanziario:

• A = long (position) = creditore
• B = short (position) = debitore

Quindi avere S al tempo 0 = avere S + I al tempo 1 W(0) = S W(1) = S(1 + i)

Questa equazione del valore è positiva solo ed esclusivamente all'interno di questi conti I = W(1) - W(0) I = costo del differimento temporale I = prezzo del tempo (time value of money)

Scambi nominali = conducono quanta monetarie Scambi reali = involucono quanta di beni In genere, negli scambi nominali no, in quelli reali o in quelli non certi (investimenti)