Appunti di Matematica Finanziaria, docente Claudio Pacati

• Spiegazione del nome
• Evoluzione valore nelle due leggi
• Grandezze fondamentali in generale
• Legge esponenziale valore/intensità di interesse
• Grandezze fondamentali nella legge esponenziale
• Tassi equivalenti (convenzionali) composti
• Leggi di equivalenza finanziaria
• Tassi equivalenti semplici
• Operazioni finanziarie
• Algebra delle operazioni finanziarie
• Valore operazione finanziaria secondo una legge e scomposizione di operazioni finanziarie
• Proprietà della legge esponenziale
• Invarianza
• Additiva
• Uniformità nel tempo
• Di scindibilità
• Relazione ridorrenze del montante
• TIR
• Teorema di Cartesio
• Uso del teorema
• Metodo di Newton (o delle tangenti)
• Rendite
• Valutazione delle rendite a rata costante secondo una certa legge esponenziale
• Rendite differite
• Ammortamento
• Ammortamento francese
• Ammortamento italiano
• Pre-ammortamento
• Ammortamento non standard
• Obbligazioni
• TCN
• TCF (con P(C) e con P(M))

Teoria delle legge di equifinanziaria (f.v. a pronti)

Legge esponenziale dove ogni giorno cambia s

Funzione valore a termine

Proprietà di coerenza

Proprietà di uniformità nel tempo

Proprietà di indipendenza dagli importo

Proprietà di additività del valore

Legge di equivalenza finanziaria

Grandezze fondamentali struttura per scadenza

Valore

• Prezzi di mercato

3 ipotesi

2 tipi di arbitraggio

1 tesi

Teorema di unicità del prezzo

Teorema di decrescenza del prezzo

Teorema dei prezzi impliciti

Teorema di indipendenza dall'importo

Teorema di additività del prezzo

Struttura per scadenza dei tassi di interesse a pronti

Struttura per scadenza a termine

Dal mondo a termine al mondo a pronti

Rischio di mercato (duration)

Proprietà della duration

Duration di portafoglio

Applicazione calcolo della duration di un tcf

Problemi della duration

Struttura piatta della duration (f.v. c.d.)

f.v. c.d. di rendimenti francesi

f.v. c.d. di un portafoglio

Contratti indicizzati

Cedola indicizzata

-i_m = W(m) - W(m-1)

= W(m-1)(1+ i_c) - W(m-1)

= W(m-1)(1 + i_c)

Im = W(m-1) ∙ i_c

I_m = S (1 + i_c)^m ∙ i_c e crescente (se i_c > 0) in modo esponenziale

SPIEGAZIONE DEI NOMI

S = 100

i_c = S

W(1) = S (1 + i_c) = 100 (1 + S/100) = 100 + S

CAPITALE INTERESSI

W(2) = S (1 + i_c)² = S (1 + i_c) (1 + i_c) = 5 + 25 cioè 5 + 5_interesse

CAPITALE INTERESSE INTERESSI SUI INTERESSE

MPLICE

3) GLI INTERESSI SI COMPONGONO

NELLA LEGGE DEGLI INTERESSI SEMPLICE QUESTO NON SUCCE

W(m) = S + m I

= S + m (S₁₀₀)

INTERESSI SEMPLICE

W(m) = S (1 + m i_s)

INTERESSI COMPOSTI

W_d(m) = S (1 + i_c)^m

W_s(0) = Wc(0) = S se i_c = i_c per m =1

Wc (1) = S (1 + i_c)

W_s(1) = S (1 + I_s)

per m > 1 se i_c >0

W_c(m) > W_s(m)

W_c(m) = S(1 + i_c)^m per m = 0, 1, 2...

W_s(m) = S (1 + m_s) per m= 0, 1, 2...

ESTENDIAMO LE DEFINIZIONI A t > 0

W_c(t) = S (1 + i_c) ^t

W_s(t) = S (1 + t_s)

₀(1)=1 (NON HO INFORMAZIONI SUFFICIENTI)

8=(log_s(1+i)+1)

DOVREI CONOSCERSE W(t) IN UN INTORNO DI t

W(t) ≝ W(t)

s(t)= W'(t)/W(t)

W(t)= S(1+i)^t (l’impo)

SECONDO LA LEGGE ESPONENZIALE DEGLI INTERESSI COMPOSTI

s(t)= d/dt (log W(t))

s = δ [log_s (1+1_t) + 1] = δ [log W(t) + log (1+1)]

---> δ COSTANTE

perché S non dipende da t

δ (t) = log (1+1)

Esempio

1 sem = ³/₂ i quadr.

i quadr = ³/₂ 1 sem.

¹/_sem = (1 + i_quad)^2/3 1

i_quad = (1 + sem)^3/2 1

i = (1 + i_a)^q - 1

q = rapporto tra le due basi

Vale per i tassi composti (legge esponenziale)

Posso calcolare anche le altre grandezze di base

d_a = log (1 + i_t) = t log (1 + i)^q = q log (1 + i) = q δ

U = 1 + i_a = (1 + i)^q U^-q

V = ¹/_U ; ¹/_U^q = (¹/_U)^q = V^q

d = 1 - V = 1 - V^q = 1 - (1 - d)^q

Esempio

1 sem = 1

i_a = (1 + ^sem)² - 1 = (1 + 0,01)² - 1 = 2,01/1

Quindi 1% semestrale è equivalente a 2,01% annuo

0 -> 6 mesi -> 12 mesi

Se li reinvesto alle stesse condizioni ottengo

100 (1 + 1/1)^1/1 = 100 + 1 + 2,01

Legge esponenziale

Da creditore divengo debitore

Somma di operazioni finanziarie

Voglio sommare queste due operazioni

Lo scadenziario dell'operazione somma è l'unione dei due scadenziari, quindi aggiungo le scadenze non presenti

Le poste dell'operazione somma è la somma algebrica delle varie poste

Definizione formale

X = {x₁, x₂, ..., x_n}

Y = {y₁, y₂, ..., y_m}

Poste

T = {t₁, t₂, ..., t_m}

S = {s₁, s₂, ..., s_m}

Scadenziario

Scadenziario ∪ = T ∪ S = scadenziario unione (scadenze comuni e non comuni con quelle comuni contenute una sola volta)

Poste ∼ X le poste di X ridefinite sullo scadenziario unione inserendo poste nulle alle date che non siano di X stessa cosa

X̅ e Y̅ sono vettori della stessa lunghezza

X̅/t + Y̅/s = X̅ + Y̅ / t ∪ s

ESEMPIO

1 s s/1

V(0,2) = (1+ s/1)² = 0,907029478

V(1,1) = (1 + s/1)^{1 - 0} = 0,953380952

V(0,1) = (1 + s/1)^-1 = 0,953380952

V(0,0) = V² = V(0,2)

(CONTROESEMPIO)LEGGE LINEARE1 s s

V(1,s)

N(0,2) = ¹/_(1+2s) = ¹/_1,1 = 0,90

V(0,1) = ¹/_(1+s) / ¹/_1,05 = 0,953380952

V(1,1) = ¹/_(1+s)(1-s) = 0,953380952

V(0,1)² = ^(₁/_1,05)2 ≠ ¹/1,1

NUOVA LEGGE LINEARE NON VALE LA PROPRIETÀ DI SCINDIBILITÀPROPRIETÀ DI UNIFORMITÀ NEL TEMPO

ESSA È EQUIVALENTE ALLE SEGUENTI PROPRIETÀ DEI FATTORI DI SCONT

t s t+z

V(t+s) = V(t) V(t+c, s)

N.B. LA LEGGE LINEARE È UNIFORME

1+s+t+is

V(t,s) = ¹/_1+s+t+is=V(t+c,s+c)

^(s+t)/ _(t+t) - s+t

N.B. LA LEGGE LINEARE È UNIFORME ⇒ NON PUÒ ESSERE SCINDIBILE PERCHÉ LA LEGGE ESPONENZIALE È L'UNICA CHE PUÒ ESSERE UNIFORME E SCINDIBILE

Teorema di Cartesio

Data un'equazione, se indico con il numero (nel senso della parola autopunta) degli zeri reali e positivi e con N il numero delle variazioni di segno dei coefficienti.

Es. 1 - 2V + 3V² - 6V³ + 5V⁴ - V⁵ = 0

N = 2

Tesi: N + h ≥ 0 è pari numero variazioni ≥ numero zeri

Osservazione

|I| > 0 ↔ I ≠ 0 ↔ (I + 1) ∈ (0,1)

Perché facciamo questi ipotesi

• I > 0 ↔ I > 0

Ipotesi postulato di impresa

Se I è certo, alla stipula, deve essere che I > 0

Se I non è certo (stiamo parlando di un investimento rischioso) alla data di stipula

1. Investimento a responsabilità limitata (non posso perdere più di quello che ho investito)

Esempio -> Investimento in azioni

Exposto

Se I ≥ 0 → I = I ≥ -S = 1 = 100%

I ≥ S

i > -1 ↔ (I+1) > 0 ↔ 0 < V < +∞

2. Investimento a responsabilità illimitata (le perdite possono essere superiori all'investimento)

Exposto

S + I < 0 → i < 100%