Appunti di Matematica finanziaria (corso progredito)

CRITERIO DI MASSIMIZZAZIONE DELL’UTILITA’ ATTESA

Secondo tale criterio, l’individuo razionale sceglierà l’alternativa che gli

procura l’utilità maggiore, facendo riferimento non ai valori attesi delle

grandezze ma al valore atteso della corrispondente utilità.

La forma della funzione di utilità determina l’attitudine dell’individuo nei

confronti del rischio. Solo se la funzione di utilità è lineare, allora l’utilità attesa

di una somma aleatoria coincide con l’utilità del suo valore atteso:

[ ]

( ) ( )

=u [E ]

E u X X

Tuttavia, generalmente risulta che:

[ ]

( ) ( ) ]

E u X ≠ u[ E X

In particolare:

[ ] [ ]

( ) ( ) ( ) ( )

<u[ ] >u[ ]

Se , l’individuo è Se ,l’individuo è

E u X E X E u X E X

avverso al rischio ed è disposto a propenso al rischio e infatti

pagare un prezzo pari a preferisce rischiare piuttosto che

[ ] [ ] pagare qualcosa in più per togliersi

( ) ( )

[E −u ] per passare da una

u X E X dalla situazione di rischio. In questo

situazione incerta ad una certa. In caso la funzione di utilità ha una

questo caso la funzione di utilità avrà concavità rivolta verso l’alto.

una concavità verso il basso.

ESEMPIO

Supponiamo che un individuo disponga di un patrimonio certo B=100

Se si verifica un evento aleatorio dannoso di importo certo , il patrimonio

y=20

scende a . Ipotizziamo che la probabilità che ciò accada è di

B – y=100 – 20=80 p=50 % .

Dunque la situazione aleatoria dell’individuo è:

 { B=100 1−p=50 %

=

V =80

B− y p=50 %

Il premio equo è il valore medio della variabile aleatoria danno :

 P Y

{ y=20 p=50 %

=

Y 0 1− p=50 %

( )= ( )=20∗0,5+0∗0,5=10

+0

P=E Y y ∙ p ∙ 1−p

Il premio caricato che la compagnia di assicurazione fa pagare è dato da:



Π=P+C caricamento.

dove è il

C> 0

Sia la funzione di utilità dell’individuo:

)=log ( )

u(x x (100)=4,60518

u( B)=log

- (80)=4,38203

u( B− y)=log

- L’utilità attesa della situazione aleatoria è pari a:



[ ]

( ) ( )∗( ) ( )∗p=4,60518∗0,5+

=u +u

E u V B 1− p B− y 4,38203∗0,5=4,49360

L’equivalente certo della situazione aleatoria è dato da:

 [ ]

( )

E u V 4,49360

=e =e =89,44272

x c x )=E[u(V )]

u( x

Se esiste un valore per il quale risulti che , tale valore è detto

c

c

equivalente certo della somma incerta. E’ quell’importo ricevuto con certezza

che risulta essere indifferente per il soggetto rispetto alla somma incerta.

L’utilità della situazione certa è pari a:

 (100

u( B – P)=log – 10)=log(90)=4,49981

Possiamo quindi dedurre che, essendo l’utilità della situazione certa [ ]

( )> ( )

maggiore dell’utilità attesa della situazione aleatoria, ,

u B – P E u V

l’individuo accetterebbe la stipula del contratto. Inoltre, accetterà di assicurarsi

finchè: [ ]

( ) ( )

>

u B – P+C E u V cioè

[ ]

( )> ( )

u B – Π E u V

Per cui:

=( )−x =90−89,44272=0,55728

C B−P (caricamento massimo)

MAX c

=P+C =10+

Π 0,55728=10,55728 (premio massimo)

MAX MAX

In conclusione, può verificarsi che un’operazione sfavorevole secondo il criterio

della speranza matematica, riesca vantaggiosa secondo il criterio dell’utilità

attesa. Ricapitolando alcuni concetti…

Il premio è equo se è calcolato con un principio di equità. Il principio di equità

ci dice che il guadagno atteso (o la perdita attesa) della compagnia deve essere

uguale a zero e quindi il premio equo è uguale al valore atteso degli esborsi

della compagnia:

( ) ( )

=0=P−E =E(Y )

P → E x Y → P

e e

La compagnia non può praticare premi equi, quindi ad esso va aggiunto un

caricamento di sicurezza per ottenere il Premio Puro:

+

P c=P

e p

Il caricamento di sicurezza è qualcosa che aggiungo al premio equo come

margine di sicurezza per ottenere un premio puro. Questo può essere esplicito o

implicito. E’ implicito quando nel momento in cui calcolo il valore atteso utilizzo

delle probabilità caricate. In questo modo ottengo direttamente un premio puro.

pricing

Si utilizza il caricamento implicito nel per assicurazioni vita.

- Si utilizzano caricamenti espliciti per assicurazioni contro i danni.

-

Esempio:

implicito = dato un tasso del 3% posso calcolare il premio utilizzando un tasso

del 2,5%

esplicito = dato un tasso del 3% posso calcolare il premio utilizzando quel tasso.

In questo caso ottengo un premio più basso quindi devo caricare il premio.

Va aggiunto poi anche un caricamento per spese per ottenere il Premio netto di

tariffa. Si dice netto perché non consideriamo le tasse:

+ =π

P c+ c

e s

(DISPENSA 3)

Le assicurazioni sulla durata di vita costituiscono particolari operazioni

finanziarie aleatorie.

Un’operazione finanziaria aleatoria è uno scambio di importi monetari contro

importi monetari, che si protrae in successivi istanti di tempo, essendo gli importi

e/o gli istanti aleatori.

La definizione di una particolare operazione finanziaria aleatoria, richiede:

1. descrizione dell’incertezza: cioè la specificazione delle determinazioni

possibili delle variabili aleatorie coinvolte;

2. quantificazione dell’incertezza: cioè l’assegnazione della struttura

probabilistica. DEFINIZIONE DI PROBABILITA’

La probabilità di un evento aumenta quando, restando fermo il numero dei casi

possibili, cresce il numero dei casi favorevoli all’evento, ma al contrario, decresce

se, non variando il numero dei casi

favorevoli, aumenta quello dei casi possibili. Laplace:

Si ha così la definizione classica di probabilità data da la



probabilità di un evento è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli

all’evento e il totale dei casi possibili, purché tutti i casi siano ugualmente

possibili.

n. casi favorevoli

n . casi possibili (Laplace

I problemi insiti nella definizione classica - equiprobabilità dei casi

frequentista (Castelnuovo

possibili) e nella definizione - ripetizione indefinita

delle prove in condizioni uguali) possono essere superati se si suppone che

tali assunzioni siano il frutto di una concordanza di diversi

individui su di esse o di una stima personale di un individuo.

Da questa alternativa nasce, in particolare, la concezione della probabilità

soggettiva o personalistica secondo la quale la probabilità è una stima

personale, caratteristica

del grado di aspettativa di un evento, stima che è

dell’individuo, l’esperienza

ed ottenuta tramite che questi ha accumulato.

Se si prescinde dal significato sociale delle assicurazioni, queste non sono altro

che dei giochi d’azzardo, dove l’assicuratore rappresenta il banco e i contraenti

rappresentano i giocatori. Con riferimento a ciascun contratto, l’assicuratore

può perdere o guadagnare, a seconda che

si verifichi o no l’evento coperto dall’assicurazione, ma se i premi sono stati

determinati in

modo equo rispetto ai capitali assicurati, l’Istituto nel complesso non

dovrebbe né perdere

né guadagnare, compensandosi più o meno le perdite con i guadagni.

L’assicuratore deve

valutare la maggiore o minore facilità che ha il rischio di verificarsi.

Se il rischio considerato si può assimilare a un evento casuale avente una



determinata probabilità di verificarsi, allora questo valore (che è un

p p

valore compreso tra 0 e 1) rappresenta il premio

puro dell’assicurazione considerata, per ogni unità di capitale assicurato.

Consideriamo come rischio il caso di morte : quando ci si riferisce a persone

della medesima età, tutte in buone condizioni di salute, appartenenti alla

medesima categoria sociale, considerate in epoche anche differenti purché non

oltre un certo limite, la mortalità si manifesta con caratteristiche tali che si

può attribuire a dette persone la medesima probabilità di morte in un

eguale periodo di tempo; pertanto si può considerare il rischio di morte come un

rischio assicurabile e si può applicare formalmente il calcolo delle probabilità per

la determinazione del premio di assicurazione.

PROBABILITA’ DI VITA E DI MORTE

Si consideri un individuo al variare della sua età .

x

p

- Si indichi con la probabilità che egli sia in vita dopo t anni, cioè all’età

t x

x+t.

- Si indichi con q la probabilità che egli muoia prima di raggiungere l’età x+t.

t x

Al crescere di t, la probabilità p diminuisce, tendendo verso zero.

t x

- Si indichi con quell’età, tale che la probabilità p per l’individuo di

ω ω -x x

età x di sopravvivere all’età sia tanto piccola da poter essere

ω

considerata nulla, mentre per valori di x+t minori di la probabilità di

ω

sopravvivenza p non si possa considerare nulla: tale età viene

ω

t x

denominata età estrema.

Le probabilità p e q , per t=1, sono indicate semplicemente con p , q e sono

t x t x x x

denominate

anche tasso annuo di sopravvivenza e tasso annuo di mortalità.

La successione delle probabilità annue di morte q , a partire da una età iniziale

x

costituisce una tavola di mortalità:

α

q , q , … , q

+1

α α x

Un’altra probabilità che ci interessa nelle valutazioni attuariali è la probabilità

che un individuo di età x muoia tra le età [x+t] e [x+t+k]; essa viene

indicata con q .

t/k x p + q = 1

x x

p + q = 1

t x t x

p = p * p

t+t’ x t x t’ x+t

p = p * p * … * p

t x x x+1 x+t-1

q = p * q

t/k x t x k x+t

q = p – p

t/k x t x t+k x

q = q + q + q + … + q

t x 1 x 1/1 x 2/1 x t-1/1 x

(tutti muoiono almeno un istante prima di

Definendo come età estrema

ω

):

ω p = 0

ω -x x

p = 0

ω -1

q = 1

ω -x x

q = 0

ω -1