Appunti di Matematica finanziaria (corso progredito)

Matematica finanziaria

La matematica finanziaria è quella branca della matematica che si occupa dello studio dei criteri di valutazione delle operazioni finanziarie, ovvero di tutte quelle operazioni che comportano, in condizione di certezza, uno scambio tra somme di denaro riferite a distanti temporali differenti. Dunque gli elementi essenziali sono fondamentalmente tre:

• Gli importi di denaro coinvolti nello scambio
• Gli istanti di tempo a cui tali importi si riferiscono
• La condizione di certezza del pagamento/riscossione dei flussi finanziari

La condizione di certezza rappresenta l'elemento distintivo tra la matematica finanziaria e la matematica attuariale. Si distinguono due tipologie di operazioni finanziarie:

• Operazioni finanziarie elementari: tali operazioni consistono in un'unica operazione in cui alla prestazione iniziale segue dopo un determinato lasso di tempo una unica controprestazione finale. Sono dunque operazioni nelle quali vengono coinvolti solo due importi alle rispettive epoche. Esempio: acquisto di un BOT
• Operazioni finanziarie composte: tali operazioni sono caratterizzate da più prestazioni e/o controprestazioni. Il numero di importi coinvolti, dunque, è più di due. Ogni importo è collegato all'epoca al quale è disponibile e gli importi si dicono datati.

Occorre fare poi un'altra importante distinzione:

• Operazioni finanziarie certe: sono quelle operazioni finanziarie in cui gli importi sono disponibili con certezza ad una determinata scadenza futura. Le epoche e gli importi, dunque, sono entrambi conosciuti con certezza.
• Operazioni finanziarie aleatorie: sono quelle operazioni finanziarie in cui gli importi sono legati al verificarsi o meno di determinati eventi aleatori. Gli importi e/o le epoche non sono conosciuti con certezza.

La matematica finanziaria avanzata analizza questo tipo di operazioni finanziarie.

Il nostro corso si suddivide in tre moduli

1. Programmazione lineare: Tecniche e strumenti che permettono di lavorare nell'ambito dell'aleatorietà per poter prendere decisioni sia in ambito aziendale sia in ambito finanziario.
2. Scelte di portafoglio: Decisioni che caratterizzano il comportamento di chi desidera bilanciare correttamente investimenti con diverso grado di liquidità. Si tratta di operazioni aleatorie in quanto nell'investimento in azioni, per esempio, il prezzo al quale disinvestirò, il rendimento collegato all'investimento e le diverse epoche non sono certi e conoscibili a priori.
3. Matematica attuariale: Insieme di modelli matematici relativi all'attività assicurativa, la quale consiste nella gestione dei rischi trasferiti ad un assicuratore da un operatore economico.

Esempio: RCAuto - nella stipula di un contratto di questo tipo, c'è uno scambio di importi disponibili in epoche differenti. Si paga un premio oggi per poter ottenere un rimborso futuro nel caso si verifichi un sinistro. Vi è incertezza sia negli importi, sia nelle scadenze.

Modulo 1: Programmazione lineare

Per iniziare a parlare di programmazione lineare è fondamentale chiarire il concetto di ricerca operativa. Tale termine identifica l'applicazione del metodo scientifico ai problemi che riguardano il controllo di sistemi organizzati (uomo-macchina) al fine di fornire soluzioni che possano soddisfare al meglio le finalità dell'organizzazione.

Quali sono le fasi della ricerca operativa?

• Formulazione di un problema e raccolta dati: Si determinano gli obiettivi e i vincoli da porre. Successivamente si raccolgono i dati.
• Costruzione del modello matematico: Ci sarà sempre una funzione obiettivo da massimizzare (ricavi, profitti, vendite) o minimizzare (costi, perdite, macchinari, infrastrutture). Tale funzione dipenderà da una o più variabili d'azione e tutto questo sarà rappresentato nel modello da equazioni e disequazioni.
• Ricerca di una soluzione: Una volta creato il modello matematico, si cerca, se esiste, la soluzione ottimale.
• Controllo del modello e della soluzione: Trovata la soluzione ottimale nel modello, bisogna confrontarla alla realtà e valutarla.

I problemi di Programmazione Lineare sono caratterizzati dal fatto che tutte le relazioni (vincoli), tra le quantità in gioco compreso il valore della funzione obiettivo, sono lineari. Inoltre, le variabili possono assumere valori reali.

Dunque, un problema di programmazione lineare è un problema di ottimizzazione (di massimo o di minimo) caratterizzato dalle seguenti proprietà:

• La funzione obiettivo è lineare, ovvero tale che per ogni x, y appartenenti ad R e per ogni a, b appartenenti ad R. Inoltre, è lineare se e solo se esiste c appartenente ad R tale per cui.
• L'insieme ammissibile è definito da un insieme finito di vincoli lineari.

I vincoli di un problema di Programmazione Lineare possono quindi essere sia di uguaglianza che di disuguaglianza, e possono essere sia di maggiore od uguale che di minore od uguale.

Come formalizzare il problema?

Si ha un problema decisionale: un obiettivo da raggiungere e diverse alternative tra cui scegliere, ma anche un limite sulle risorse a disposizione.

1. Si ha una funzione del tipo U=f(x_i, x_j) dove:
• U rappresenta la performance dell'attività da svolgere (risultato)
• x_i rappresenta le variabili che posso controllare
• x_j sono le variabili esogene sulle quali non si ha possibilità di intervento
2. Si ha un sistema di equazioni o disequazioni che rappresenta il limite sulle risorse a disposizione, ossia i vincoli.

La programmazione matematica è una delle tecniche della ricerca operativa. In particolare, si parla di PROGRAMMAZIONE LINEARE facendo riferimento a uno dei modelli della programmazione matematica.

I problemi possono essere:

• Continui: le variabili possono assumere qualsiasi valore reale
• Discreti: le variabili non possono assumere tutti i valori reali

Inoltre, i problemi possono essere:

• Statici: se si considera ogni ciclo produttivo a sé stante e quindi non si considera il risultato di ciascun ciclo produttivo per ottimizzare il ciclo successivo perché non ha nessuna influenza.
• Dinamici: se il risultato che si ottiene dall'ottimizzazione di un ciclo produttivo ha influenza sull'ottimizzazione di un altro ciclo produttivo.

I problemi possono essere poi:

• Deterministici: se tutti i dati di input sono conosciuti con certezza.
• Aleatori: se i dati di input sono soggetti a una valutazione attraverso modelli probabilistici e quindi non sono conosciuti con certezza.

I problemi possono essere ancora:

• Lineari: quando il problema può essere espresso mediante delle rette.
• Non lineari: quando il problema non può essere formalizzato attraverso una retta.

La Programmazione Lineare è una branca della Programmazione Matematica che permette di risolvere problemi continui, statici, deterministici e lineari. Tuttavia esiste anche la programmazione non lineare e la programmazione dinamica.

Problemi di ottimizzazione

In ambito aziendale:

• Ottimizzazione di un processo produttivo, di un percorso ottimo, delle scorte di magazzino

In ambito finanziario:

• Il modo migliore per creare un portafoglio finanziario il più redditizio possibile o con il minor rischio possibile.

Si parla di programmazione quadratica, non più lineare, per poter raggiungere l'ottimo e quindi la creazione del portafoglio migliore possibile.

Esempio di un problema di ottimizzazione in ambito aziendale

Un'azienda ha N tipologie diverse di prodotti e M diverse macchine per produrre tali prodotti. L'obiettivo è sapere quante unità di ciascuna tipologia di prodotti l'azienda deve produrre in modo da massimizzare il profitto rispettando il vincolo sull'utilizzo delle macchine.

La prima fase della risoluzione di un problema con la programmazione lineare è rappresentare uno schema di assegnazione che sintetizza i dati di input che abbiamo. Sono tutti dati che conosciamo già in partenza, quindi non aleatori e derivano da un'analisi di tipo tecnico ed economico sulla produzione dell'azienda. Essi sono rappresentati tutti in modo unitario.

• a_ij è il numero di ore necessarie della macchina per produrre un'unità del prodotto j
• b_i è il numero di ore massimo che la macchina può lavorare
• C_j è il ricavo unitario ottenuto dalla vendita del prodotto j
• x_i = quantità di prodotto che produco

Per formalizzare il problema di ottimizzazione lineare occorre quindi impostare una funzione obiettivo ed esprimere i limiti sulle risorse mediante equazioni/disequazioni (vincoli).

In termini matriciali, indicando con il vettore riga dei coefficienti della FO e con il vettore colonna delle quantità di produzione dei prodotti, la FO diventa:

F.O. Max Z = c̅ · x̅

La FO è soggetta a vincoli di disuguaglianza lineari; individuiamo ora il sistema dei vincoli:

• a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + … + a_1jx_j + … + a_1nx_n ≤ b₁
• a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + … + a_2jx_j + … + a_2nx_n ≤ b₂
• …
• a_i1x₁ + a_i2x₂ + … + a_ijx_j + … + a_inx_n ≤ b_i
• a_m1x₁ + a_m2x₂ + … + a_mjx_j + … + a_mnx_n ≤ b_m

Inoltre, poiché le quantità dei prodotti da produrre non possono essere negative, si deve aggiungere un ulteriore vincolo, cioè il vincolo di non negatività sulle incognite: x_j ≥ 0, 1, 2, …, j, …, n

Indicando con A la matrice dei coefficienti tecnici, i vincoli possono essere scritti in forma matriciale:

L'insieme dei valori che soddisfa il sistema dei vincoli prende il nome di soluzione del problema. Se l'insieme delle soluzioni soddisfano anche i vincoli di non negatività, si parla di soluzione possibile. Generalmente, il numero di disequazioni è minore del numero delle variabili.

La determinazione delle soluzioni

Il primo passo per trovare la soluzione ottima è quello di formalizzare il problema da un punto di vista matematico, ossia pervenire alla scrittura:

• Dello schema di assegnazione
• Del sistema dei vincoli
• Della FO

Il problema di PL è costituito da un sistema di disequazioni e, trattandosi di un ottimo vincolato, non può essere risolto in modo "automatico", perciò occorre trasformare le disequazioni in equazioni, introducendo delle variabili aggiuntive, le cosiddette variabili slack, una per ciascuna disequazione del sistema dei vincoli. Le variabili slack rappresentano le quantità eventualmente non utilizzate delle risorse. I vincoli sono ora rappresentati da un sistema di equazioni in n+m incognite lineari: il sistema è dunque indefinito.

Rouché-Capelli

Il teorema di Rouché-Capelli stabilisce che, affinché un sistema di equazioni lineari ammetta soluzioni, occorre e basta che il rango della matrice dei coefficienti sia uguale al rango della matrice completa, cioè quella che si ottiene orlando la matrice dei coefficienti con il vettore dei termini noti.

Supponiamo che tale rango sia p e indichiamo con n il numero delle incognite del sistema:

• Se p=n, il sistema ammette un'unica soluzione
• Se p

Il rango massimo della matrice dei coefficienti è (ovviamente) il min(m, n+m); ovvero il minimo tra il numero di righe della matrice ed il numero delle variabili, e così anche il rango della matrice completa (essa ha infatti solo una riga in più della precedente). Dunque i due ranghi dovranno essere uguali e il sistema ammetterà soluzioni. Quindi det(A) ≠ 0.

Tuttavia, tali sistemi non sempre hanno soluzione e sono definiti quindi impossibili. In altri casi sono possibili e possono essere determinati (EQ = INC) e in questo caso la matrice è quadrata (stesso numero di righe e colonne), non singolare (determinante diverso da zero) e con il metodo di Kramer si può trovare la soluzione che soddisfa contemporaneamente tutte le equazioni.

Nel caso in cui il sistema è possibile ma indeterminato si utilizza il metodo di Rouché-Capelli secondo il quale il sistema ha delle soluzioni pari a ∞ dove p è il numero di equazioni e (n + m) è il rango della matrice incompleta che deve essere uguale al rango della matrice completa. Se invece il rango della matrice incompleta è minore del rango della matrice completa il sistema lineare è impossibile.

La soluzione del problema sono tutti i valori (x_i) che soddisfano contemporaneamente il sistema dei vincoli. Si parla di soluzione possibile del problema facendo riferimento a tutti i valori di x_i che soddisfano il vincolo di non negatività e che quindi appartengono all'insieme dei numeri reali positivi compreso lo zero.

La soluzione ottima del problema è la soluzione possibile che rende il valore della funzione obiettivo F.O. il più alto possibile, nel caso di un problema di max, oppure quella soluzione che rende il valore della F.O. il più basso possibile nel caso di un problema di min.

Per trovare la soluzione sceglieremo (casualmente) m incognite e calcoleremo la soluzione. Se otteniamo una soluzione, essa prende il nome di soluzione di base, ed è costituita da m variabili, mentre le altre sono poste pari a zero. Se la soluzione di base soddisfa anche i vincoli di non negatività essa si dice soluzione di base ammissibile.

In altri termini, una base è un insieme di m delle variabili tali che la matrice dei coefficienti A del relativo sistema di equazioni sia non singolare (il sistema cioè abbia soluzioni). Le variabili che formano la soluzione di base ammissibile si dicono variabili di base e le altre variabili si dicono variabili non di base.

Riassumendo

Dunque, i sistemi lineari possono essere:

• Impossibili –> non esistono soluzioni al problema. Si ha nel caso in cui il numero di equazioni sia maggiore al numero delle incognite. (EQ > INC)
• Possibili –> possono aversi due casi:
• Sistema determinato –> quando il numero di equazioni è uguale al numero delle incognite e si ha una sola soluzione (EQ = INC) –> (Metodo di Kramer)
• Sistema indeterminato –> se il rango della matrice completa è uguale al rango della matrice incompleta, si ammettono soluzioni infinite (Metodo di Rouché-Capelli). Questo si applica quando il numero delle equazioni è inferiore al numero delle incognite. (EQ < INC)

Si osservi infine che per le funzioni lineari possiamo scrivere: Max f(x) = -min[-f(x)]. Invece di massimizzare o minimizzare la f(x) si può parlare di ottimizzare la f(x): una soluzione di base possibile ottima è una soluzione di base possibile che rende ottima la funzione obiettivo.

Date le equazioni nelle m incognite esistono infinite soluzioni al sistema considerato poiché abbiamo meno equazioni che incognite (EQ < INC).

Ma quante soluzioni di base esistono? Sono tutte le possibili combinazioni di (n + m) elementi a gruppi di m.

Basterebbe, quindi, calcolare queste soluzioni e per ognuna calcolare la FO, per decidere quale di esse la ottimizza.

Matrice dei coefficienti (incompleta): La dimensione della matrice incompleta è data dal prodotto tra il numero di righe (m) per il numero di colonne (n+m). La dimensione della matrice [A] è: m·(n+m).

Matrice completa: La dimensione della matrice completa è data dal prodotto tra il numero di righe (m) per il numero di colonne (n+m+1). La dimensione della matrice [A, b] è: m·(n+m+1).

In tal caso, m rappresenta anche il rango, ossia il massimo ordine dei minori non nulli.