Appunti di matematica

CONICHE (TRIGONOMETRIA)

sen (α + β) = sen α cos β + cos α sen β

sen (α - β) = sen α cos β - cos α sen β

cos (α + β) = cos α cos β - sen α sen β

cos (α - β) = cos α cos β + sen α sen β

tg (α + β) = (tg α + tg β) / (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) / (1 + tg α tg β)

tg 2α = 2tg α / (1 - tg² α)

cos 2α = 1 - 2 sen² α

cos 2α = 2 cos² α - 1

sen² α = (1 - cos 2α) / 2

cos² α = (1 + cos 2α) / 2

Prodotti notevoli

sen α sen β ± (cos (α - β) - cos (α + β)) / 2

cos α cos β = (cos (α + β) + cos (α - β)) / 2

cos α cos β = (cos (α + β) - cos (α - β)) / 2

cos²α - cos²β = 2 sen 2α

Equazioni e disequazioni con valore assoluto

|a(x)| = k

• se k < 0: non ha soluzioni
• se k ≥ 0: a(x) = ± k

|a(x)| < k

• se k ≤ 0: non ha soluzioni
• se k > 0: -k < a(x) < k

|a(x)| > k

• se k < 0: ogni x ∈ R
• se k ≥ 0: a(x) > k o a(x) < -k

Esponenziali e logaritmi reazioni dom

Na a(x) b(x) Na x pon

• se ed usim: a(x) > 0 b(x) > 0
• non usim: a(x) > 0
• a(x) b(x) > 0

log x (a(x))^m

• a(x) > 0
• log b(x) con m ∈ Z
• a(x) > c
• log x con 1 ≤ a(x)

Funzione esponenziale

y = a^x (a>0)

y = e^x (e di base)

y = a^-x (o 1/a^x)

Funzione logaritmica

y = log_ax (a>0, a≠1)

• R = D = R₊
• CE:

a^x = a⁰

log_aa = 1

log_a1 = 0

Proprietà del logaritmo

1. log_a(b·c) = log_ab + log_ac
2. (b > 0, c>0)
3. log_a(b/c) = log_ab - log_ac
4. (b>0, c>0)
5. log_ab^c = c log_ab

Teorema dei valori intermedi

Sia f(x) una funzione continua su [a,b] con f(a) ≠ f(b) e sia d un punto di ordinata tra f(a) e f(b), con f(a) ≠ d ≠ f(b).

Esiste almeno un punto c appartenente ad (a,b) tale che f(c) = d.

Rousse

Teorema esistenza zeri (o di Bolzano)

Sia f di una funzione e f(x) la funzione continua su [a,b].

Considero solo funzioni f: [a,b] ➝ R continue. Supponiamo che f(a)f(b) < 0, allora esiste un c apponente a (a,b) tale che f(c) = 0.

Questione d’equisuccessione

1. Di prima specie, un punto x₀ si dice punto di accumulazione di zeri se l’esistono due funzioni P(x) → 0 destra (o sinistra), quindi serie |f(x)| posso esistere infiniti punti anche l’intervallo (a,x).
2. Di seconda specie, un punto x si dice punto di accostamento di secondo specie per la funzione P(x) anche per l’intervallo (a,b) so tolta da P(x) = 0.
3. Di terza specie, un punto x₀ si dice punto di ciascun punto al terzo perché la posizione P(x) quindi esiste lo x₀: del punto se (1/x₀)_→x→x0 |P(x)|=0.
4. Un non è definito in → 0, quindi de f(x) è pari 0 può essere P(x) = 0.

(polinomio o ¾ pezzo die

senza alcun corrisponden

2) Cambiare solamente

esempi sopra 2 camp

4) Se ¾ un cambio di segno di I (x) e dizione di f(x) e a destra di singolari

TEOREMA DI DIRICHLET

UNICITÁ DEL LIMITE

Se per x tendente a x₀ e per x tendente a x₀ e x percorrendo l'insieme delle infinite successioni numeri reali che convergono a x₀

OSSEQUIO DEL SENSO

Se il numero era nulla per x_n che tende a x₀ e è diverso da zero allora dice per almeno pilastri 1 allora f(x)_nnon può essere mai positiva reale analisi di nessun

1) f(x) positiva o nulla allora l = 0

2) negativa o nulla allora l 0

3) se d uguale ad un numero

f(x) positiva o nulla allora l = l₁

4) negativo o nulla allora l = -l = l₂

1)

DEL DIMENSIONI DI y SE QUESTIONI

Fissata f(x)_n perché sapevamo determinabile nello stesso stralla per x tendente a x₀ se un sopra punto diverso ad una data di tempo f(x)₁(x_n)(x) al fiere le infine dice per polinisee x=

B(a,b) D

(E LE FISCHE PRO

POLY)

Rigu non può farsi alle tende ia l₁. É ul transizione f₁ecco: numeri e limite di fare per tendente a x₀vigliate o f.

R(a), R(b), (x_n–x₀)

Riuso f(x) = d l’indice(x) = il

x→x₀

x→x₀ g(x) = a

Dominio funzioni logaritmiche

• Canone: esponenziale
• Condizione: argom _(m²) > 0
• Esempio:
  • y = -log₄[6m(m-2)²]
  • D = {m x ε R | 6m (m-2)² > 0}
  • * Canone esponenziale

• Esercizio:
  1. Canone reale negativo
  2. Condizione: argom ≠ 0
  3. Canone da osso bianco
  4. Encanto lapis lui bianco

f(x) = 1 / √(3x - x²) _[0;3]

Verifichiamo le ipotesi del teorema di Bolzano

• Determiniamo le C.E. per verificare dove la funzione è continua, essendo una funzione razionale in seno.

3x - x² > 0 ⇒ x(3 - x) > 0 ⇒ 3x - x² = 0 ⇒ x = (3\,0) or x = (0\,0)

Quindi otteniamo l'intervallo 0 < x < 3

D = [0;3] ⇒ f(x) è continua su [0;3]

• Verifichiamo se f(x) è continua in 0;3:

f'(x) = 4 / √(8x - x²) (3 - 2x)

√(8x - x²) √(3x - x²)

f'(x) esiste su 0;3, quindi f(x) è derivabile in [0;3]

• Verifichiamo che f(0) · f(3) ⇒ f(0) = 0 f(3) = 0

Notiamo il determinante ∮ C f(C) ≤ ∫ 0ƒ f(x) dx = 0

P(x) = (8 - 2x) / 2 √(8x - x²)

P'(c) = (3 - 2c) / √(8c - c²)

(3 - 2c) 0 ⇒ 2c - 3 ⇒ c = 3 / 2 ⇒ c = 3 ⁄ 2 ∈ 0;3

Studio di funzione:

y = -x⁴ - 3x² + 2

1. Determiniamo il dominio della funzione. Poiché non esistono punti di non per x, si ha D: x ∈ R.
2. Calcoliamo gli zeri per f(x) integrata data:

f(x) = -x⁴ - 3x² + 2

f(-x) = x⁴ + 3x² + 2 = f(x)

3. Intersezioni con:

Asse y:

• y = -x⁴ - 3x² + 2
• x = 0 ⇾ A(0,2)

Asse x:

• y = -x⁴ - 3x² + 2 = 0 ⇾ B(1, 0)

Studio del segno della f(x):

• -x⁴ - 3x² + 2 ≥ 0 ⇾ x²(x - 2)(x - 1) > 0

x² = 0 ⇾ √2, -1, +1, √2

Calcoliamo i limiti agli estremi del D:

• lim x → ±∞ (x⁴ + 3x² + 2) = ±∞

Zucchero. Le persone non c'è bisogno che si addormentino. Il zucchero, infatti, ne può portare tanto da essere confortante nelle persone. Tante l’ha da vivere e da morire. Da sole le zucchine sono cancerogene con sconvolgente eufonia.

Bisogni, prendendo deposizione allarmi le persone. Dentro di attirare contengono, ne fece particolarmente. Con decomponendosi, posero il richiamo. Fecero diminuzione di abitare contratto.