Appunti Di Matematica

Insieme

Concetto primitivo. Collezione di elementi distinti, individuabili oggettivamente.

Possibili rappresentazioni di un insieme

1. Elencazione A = {a, b, c}
2. Proprietà caratteristica A = {x : P(x)}
3. Grafica (Eulero-Venn)

Equivalenza tra insiemi

A = B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B ∧ ∀x ∈ B, x ∈ A

Inclusione

• A ⊆ B ⇔ ∀x ∈ A, x ∈ B
• A ⊂ B ⇔ A ⊆ B ∧ ∃x ∈ B, x ∉ A

Insieme delle parti di un insieme

Insieme di tutti i sottoinsiemi possibili di un insieme.

P(A) = {x : x ⊆ A}

• A = {a, b, c}
• P(A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a, b, c}}

Cardinalità

• Numero di elementi di un insieme
• |A| = m
• |P(A)| = 2^m

Unione tra insiemi

C = A ∪ B ⇔ ∀x ∈ C, x ∈ A ∨ x ∈ B

A ∪ ∅ = A

Intersezione

C = A ∩ B ⇔ ∀x ∈ C, x ∈ A ∧ x ∈ B

A ∩ A = A

Differenza

C = A - B ⇔ ∀x ∈ C, x ∈ A ∧ x ∉ B

A - ∅ = A

Elencazione A = {1, 7, 17, 31, 93}

Proprietà caratteristica: A = {x | x ∈ ℕ, x = 2^k-1, 1 ≤ k ≤ 5}

Prodotto Cartesiano

Dati due insiemi A e B il prodotto cartesiano C è:

C = A × B = {(a, b) | ∀ a ∈ A, ∀ b ∈ B}

|C| = |A| · |B|

Relazione Binaria

Sottoinsieme del prodotto cartesiano che soddisfa una relazione R

D_R = {(x, y) ∈ D ⊆ A × B ⇔ x R y}

• A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
• B = {2, 3, 4}
• C = A × B = {(1,2), (2,1), (3,2), (4,2), (5,2), ...}
• x R y = x è multiplo di y
• D_R = {(2, 2), (3, 3), (4, 2), (4, 4), (6, 2), (6, 3), (8, 2), (8, 4)}

Relazioni

Relazione Riflessiva

∀ x ∈ A, x R x

Relazione Antiriflessiva

∀ x ∈ A, ¬x R x

Relazione Simmetrica

∀ x, y, x R y ⇒ y R x

Relazione Antisimmetrica

∀ x ≠ y, x R y ⇒ y R

Relazione Transitiva

x R y ∧ y R z ⇒ x R z

Corpo:

Se è formato da due L.C.I. (A,∘,*) tali che

1. (A,∘) è un gruppo abeliano
2. (A,*) è un gruppo
3. ∀a,b,c∈A (a∘b)*c=(a*c)∘(b*c)

Campo:

Corpo dove (A,*) è un gruppo abeliano

A = {0,1,2,3,4}

(A,∘,*) è un corpo?

1. (A,∘) è un gruppo abeliano?

   • Proprietà associativa? Sì

   • Elemento neutro? 0

   • Inverso? Sì

2. (A,*) è un gruppo?

   • Proprietà associativa? Sì

   • Elemento neutro? 1

   • Inverso? No

NO

Minimo naturale m = 117 (mod 8)

Numero che diviso per 117 dà resto 8

• GENERICA   y = ax² + bx + c

D : ℝ   Δ = b² - 4ac

q > 0

• POLINOMIO DI GRADO 3
• FUNZIONE CUBICA   y = x³
• FUNZIONE CUBICA INVERSA   y = -x³
• GENERICA   y = ax³ + bx² + cx + d

D : ℝ   C : ℝ

RAZIONALI FRAZIE

f(x) = P_m(x) / P_n(x)

D = ℝ - { x | P_n = 0 }

m dispari ⇒ D : ℝ - { x | g(x) < 0 }

m pari ⇒ D : ℝ - { x | g(x) < 0 }

FUNZIONE CRESCENTE

∀ x₁, x₂ ∈ D   x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

FUNZIONE DECRESCENTE

∀ x₁, x₂ ∈ D   x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

STRETTAMENTE CRESC.

∀ x₁, x₂ ∈ D   x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) < f(x₂)

STRETTAMENTE DECRESCENTE

∀ x₁, x₂ ∈ D   x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) > f(x₂)

MONOTONA

O SEMPRE CRESCENTE O SEMPRE DECRESCENTE

STRETTAMENTE MONOTONA

O SEMPRE ST. CRESC., O SEMPRE ST. DECR.

ESPONENZIALI

y = a^x

a ∈ ℝ   q > 0   q ≠ 1

D : ℝ   C : ℝ⁺

LOGARITMICHE

y = log_ax

q > 0

< 0 < a < 1

C : ℝ⁺

Numeri Complessi

N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C

Unità Immaginaria: i = √-1

i² = -1

Numero Complesso: z = a + ib

Immaginario Puro: z = ib

Parte Reale: a = Re(z)

Coefficiente Immaginario: b = Im(z)

z = a + ib

• Numero Complesso
• Parte Reale
• Unità Immaginaria
• Coefficiente Immaginario

Piano di Gauss:

Luogo dove è possibile rappresentare numeri complessi.

Re(z) a →

Im(z) ↑

Coniugato di un Complesso

z = a + ib

z̅ = a - ib

z · z̅ = (a + ib)(a - ib) = a² + b²

Numero Reale

Operazioni tra Numeri Complessi

z₁ = a + ib

z₂ = c + id

z₃ = z₁ + z₂ = (a + c) + i(b + d)

Re(z₃) Im(z₃)

z₄ = z₁ - z₂ = (a - c) + i(b - d)

z₅ = z₁ · z₂ = (a + ib)(c + id) = ac - bd + i(ad + bc)

z₆ = z₁ / z₂ = (a + ib)(c - id) / (c² + d²)

= [(ac + bd) + i(bc - ad)] / (c² + d²)

Re(z₆) Im(z₆)

e^ix - 1 = 0

cosx + isenx = 1

• cosx = 1
• senx = 0

x = 0

z² = _√33 + i

z = _√33 + i

p = √3² + 1 = 2

• cosθ = ^√3/₂
• senθ = ¹/₂

θ = ^π/₆

z = [2, ^π/₆]

k = 0 → z = [^√3, ^π/₃] ≡ [2, ^π/₆]

k = 1 → z = [^√3, ^7π/₁₈] ≡ [2, ^π/₆]

x³ - 3x² + 2x - 10 = 0

(x - 1)(x² - 2x + 10) = 0

1^a sol. → x = 1

x² - 2x + 10 = 0

x_1,2 = 2 ± ^√(-36)/₂

= 3 ± i = 1 ± 3i

Δ = -36

1^a - 3i; 2^a sol.

1 + 3i; 3^a sol.

ELLISSE:

LUOGO GEOMETRICO DEL PIANO LA CUI SOMMA DELLE DISTANZE DA DUE PUNTI FISSI (DETTI FUOCHI) È COSTANTE

PF₁ + PF₂ = 2a

EQUAZIONE GENERALE

ECCENTRICITÀ

e = c/a

ELLISSE TRASLATI

(x-x₀)²/a² + (y-y₀)²/b²

c (x₀; y₀)

EQ PARAMETRICA

x = a cos θ

y = b cos θ