Appunti di Macchine

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A12 B 122 ' La( ) −= −L L122 'id a Lavoro diContro-recupero( ) −− = − LL L 122 'r id a< ⇒ >L L L Lr id idr ( )− = + 122 'L L Lr id aIl lavoro da spendere in più rispetto al casoavoro di attrito più l’area delideale è pari al ltriangolo (122’). ppresentare il lavoroSul piano p-v non si può rareale ed il lavoro di attrito.Compressione adiabatica reale. Piano T-s' ' '2 1 2∫ ∫ ∫= = +L dh dh dhr '1 1 1' '2 2 2∫ ∫ ∫= +dh Tds vdp' ' '1 1 1'2∫= = −L Tds A C( 1' 2 ' )r '1 Lavoro di'2 Attrito∫ = + = =Tds Q L L B C( 1' 2 ' )a a'1 48( ) ( ) ( ) Il lavoro d’attrito è minore della differenza tra il− = − =L L A1'2 ' C A1' 2 B B 22 ' Cr id lavoro reale e il lavoro ideale. Questo è dovuto( ) ( ) ( )− = = +L L B 22

' C B12 ' C 122 ' al fatto che nel processo reale non vi è solo lar id ( )− = + dissipazione per attrito, ma bisogna spendere unL L L 122 'r id a ulteriore lavoro a causa del riscaldamento delfluido durante il processo. Il calore generatoLavoro di dall’attrito aumenta il volume specifico e diContro-recupero conseguenza incrementa il lavoro necessario perla compressione.Si definisce perciò il lavoro di controrecupero.Espansione adiabatica reale. Piano h-sIn una espansione adiabatica ideale l’entropiaaumenta. Sul piano h-s il lavoro reale è ancoradato dalla differenza tra le entalpie specificheiniziali e finali, in base all’equazionedell’energia nella forma termodinamica.δ =Q 0δ >L 0a δ δ= + ⇒ >Tds Q L ds 0a> ⇒ >s s h h2 2' '2 2= − < = −L h h L h h1 1 2r id'2 Il lavoro reale di espansione è minore del lavoro>L L ideale.

idEspansione adiabatica reale. Piano p-v'2 ( )∫= − − = − =L vdp L A12 ' B Lr a a1( ) ( )= + − =A12 B 122 ' La( ) −= +L 122 ' Lid a Lavoro diRecupero( )− = − 122 'L L Lid r a( )< ⇒ − <L L 122 ' L 0r id a( )⇒ >L 122 'aIl lavoro perso è minore del lavoro di attrito, diuna quantità pari all’area (122’). Sul piano p-v non si può rappresentare il lavoroIl lavoro di attrito è maggiore dell’area di reale ed il lavoro di attrito.recupero 49

Espansione adiabatica reale. Piano T-s' '' '2 1 2∫ ∫ ∫= = +L dh dh dhr ''1 1 1'' '' ''1 1 1∫ ∫ ∫= +dh Tds vdp'1 1 1''1∫= = ( 1''1 )L Tds C Br Lavoro di'1 Attrito'2∫ = + = = ( 12 ' )Tds Q L L B Da a'1 ( ) ( ) ( )− = − =L L A1'1B C1''1B

A1'1'' Cid r ( ) ( ) ( )− = = −L L B 22 ' D B12 ' D 212 'id r Il lavoro d'attrito è maggiore della differenza tra( )− = −L L L 122 ' il lavoro ideale e il lavoro reale. Questo èid r a dovuto al fatto che nel processo reale vi èdissipazione per attrito, ma il calore generatoLavoro di dall'attrito aumenta il volume specifico delRecupero fluido che è in parte riconvertito in lavoro diespansione, incrementando il lavoro realeottenuto dall'espansione.

2.7 Rendimenti di espansione e compressioneRendimento adiabatico di espansionePer espansione isoentropica si intende un'espansione che porti un fluido da una pressione maggioread una minore, come rappresentato in figura 8.Figura 8. EspansioneIl lavoro ideale di espansione vale:2∫= − = −L vdp h hid , e 1 21 50Nella stessa figura 8 rappresentiamo una espansione reale (politropica di indice n) ad entropiacrescente dallo

stato 1 allo stato 2’ per la quale si ha il lavoro reale, ancora calcolabile mediante la relazione: 2∫= − = −L vdp h hr , e 1 '21

Possiamo definire rendimento isoentropico di espansione il rapporto: −h hLη 1 '= = ≤r e, 2 1,ad e −L h h, 1 2id e

Il rendimento isoentropico, quindi, fornisce direttamente una indicazione sull’irreversibilità della trasformazione considerata. Valori commerciali attuali delle turbine del rendimento isoentropico (a vapore e a gas) variano nell’intervallo 0.75-0.85 a seconda se sono di alta pressione (valori minori) o di bassa pressione (valori maggiori). Si osserva che le irreversibilità nell’espansione reale producono attriti fra fluido di lavoro e le palette delle turbine e pertanto si ha produzione di calore internamente al fluido che, a sua volta, ha più capacità di produrre lavoro tecnico. In definitiva allora, una parte del calore di attrito viene recuperato sotto

η = 1 - (T1/T2)^(k-1)/k

T1/T2 = (p1/p2)^(k-1)/k

η = 1 - (p1/p2)^(k-1)/k

Per un gas perfetto il rendimento isoentropico di espansione si calcola come:

η = 1 - (T_L/T_H)^(k-1)/k

Dalle relazioni delle trasformazioni politropiche si ottiene:

β = (T₂/T₁)^k * (p₂/p₁)^1/(k-1)

β' = (T₂/T₁)^m * (p₂/p₁)^1/(m-1)

Il rendimento è funzione:

• dell’esponente m della politropica che indica il grado di irreversibilità
• della costante k che definisce il tipo di fluido
• del rapporto di compressione c

β Come si nota dal grafico in figura 11, il rendimento adiabatico di compressione si riduce con il rapporto di compressione e si riduce quando m si allontana da k.

Figura 11: Rendimento di compressione in funzione del rapporto di compressione 53

Lavoro politropico

Si definisce lavoro politropico il lavoro di una ipotetica trasformazione ideale che abbia lo stesso percorso di quella reale 1-2’.

'2 ( )∫= − = 12 'L vdp A Bpol 1

Essendo il lavoro reale uguale a:

'2∫= − −L vdp Lr a1 = +L L L

Ne consegue che: pol r a

Rendimento politropico di espansione

Il rendimento politropico si definisce come il rapporto tra il lavoro reale ed il lavoro politropico. Il rendimento politropico a differenza del rendimento adiabatico rappresenta il rapporto tra un lavoro reale ed uno ideale relativi allo stesso percorso 1-2’, a differenza di quanto accade tra la trasformazione reale e quella adiabatica.