Appunti di Logica (corso avanzato): definizioni e legge di De Morgan

CONDIZIONE DI VALORE DI VERITÀ

VERITÀ: INTENSIONE ESTENSIONE

Principio di bivalenza = principio su cui si basa la logica classica per il quale vale sempre almeno una tra le due possibilità reciprocamente escludenti di verità e falsità. Cioè o una cosa è vera oppure è falsa e quindi non è contemplata l'esistenza di un caso in cui la stessa cosa sia contemporaneamente vera e falsa, ma nemmeno né vera né falsa.

Aristotele afferma che tale principio non possa valere per i cosiddetti contingenti futuri dal momento che non si possono fare affermazioni certe riguardanti eventi accidentali futuri nel presente senza scadere nel fatalismo. Tuttavia egli ammette la validità della disgiunzione riguardo tali eventi. Ad esempio "Domani ci sarà una battaglia navale o non ci sarà" è certo e vero, mentre "Domani ci sarà una battaglia navale" è indeterminato quindi.

né vero né falso. A differenza del “principio del terzo escluso”, il principio di bivalenza riguarda una situazione del mondo.

Futuri contingenti = enunciati che vertono su fatti futuri considerati contingenti e dunque non necessari.

Principio del terzo escluso = principio complementare al principio di bivalenza. Secondo tale principio la disgiunzione esclusiva tra due possibilità reciprocamente escludenti è sempre vera, cioè non si può verificare una terza possibilità diversa dalle prime due.

A differenza del “principio di bivalenza”, il principio del terzo escluso riguarda una proprietà del linguaggio.

Antirealismo = dottrina secondo la quale se non si è in grado di dimostrare l’esistenza di un valore di verità, allora non si può affermare che un enunciato sia vero o falso, al massimo esso può essere indeterminato. La dottrina antirealista quindi è in accordo con il principio

del terzo escluso, ma non con quello di bivalenza.

Enunciato = sequenza di parole che forma una frase di senso compiuto. (es “La musica non è urbana”)

Proposizione = ciò che è espresso da un enunciato. Si differenziano dagli enunciati che la musica non è per la presenza del “che”. (es. “Si asserisce la proposizione urbana”)

Proposizione semplice = proposizione costituita da un solo enunciato non ulteriormente scomponibile. (es. “Il mare è blu”)

Proposizione complessa = proposizione formata da un enunciato scomponibile in più enunciati. (es. “Il mare è blu e il gatto è sul tappeto”)

Proposizione particolare = proposizione che riguarda alcuni elementi di un certo insieme. Essa può essere introdotta da espressioni come “alcuni”, “certi”, “qualche”… (es. “Alcune balene sono lunghe più di trenta metri”). Dunque tali

Le proposizioni si trovano espresse nella forma: “C’è qualcosa che ha F e ha (o non ha) G”.

Proposizione universale = proposizione che riguarda tutti gli elementi di un insieme. Essa può essere introdotta da espressioni come “i”, “gli”, “le”, “ogni”, “tutti”, “ciascun”. (es. “Tutte le balene sono mammiferi”).

Dunque tali proposizioni si trovano espresse nella forma: “Se qualcosa ha F allora ha (o non ha) G”. In questo caso F è condizione sufficiente per G e G è condizione necessaria per F.

Condizione sufficiente = una proprietà è condizione sufficiente per un’altra proprietà quando tutto ciò che ha la prima proprietà ha anche la seconda.

Condizione necessaria = una proprietà è condizione necessaria per un’altra proprietà quando tutto ciò che non ha la prima proprietà non ha la seconda.

Condizione necessaria e sufficiente = si verifica quando qualcosa ha F se e solo se ha G. Tipica delle definizioni.

Proposizione conversa = proposizione in cui sono invertiti i termini.

Asserire che una proprietà è condizione necessaria e sufficiente equivale ad asserire una proposizione universale e la sua conversa.

Proposizione generale = proposizione che si riferisce a molti elementi di un dato insieme (ad esempio i pregiudizi). Dunque tali proposizioni si trovano nella forma: "molte delle cose che hanno F hanno (o non hanno) G".

Proposizione contrapposta = la proposizione "b" è la contrapposta di "a" quando date due proposizioni condizionali "a" e "b" si verifica che l'antecedente di "b" è la negazione del conseguente di "a" e il conseguente di "b" è la negazione dell'antecedente di "a".

Due proposizioni contrapposte sono

disgiunzione è vera nel caso in cui almeno uno dei disgiunti sia vero, altrimenti è falsa. Disgiunti = proposizioni costituenti di una disgiunzione.

Condizionale = proposizione complessa costituita da due proposizioni legate dalla relazione che normalmente si esprime con le parole "se...allora", "solo se", "a meno che".

Asserire un condizionale significa asserire che nell'ipotesi che l'antecedente sia vero anche il conseguente è vero. Cioè escludere l'eventualità che l'antecedente sia vero e il conseguente falso. Quindi un condizionale è falso solo quando si verifica che l'antecedente è vero e il conseguente è falso, altrimenti è vero.

Antecedente e conseguente = rispettivamente la prima e la seconda proposizione di un condizionale.

Bicondizionale = proposizione complessa costituita da due proposizioni legate dalla relazione che normalmente si esprime con "se e solo se".

solo se”, cioè la relazione che sussiste quando se una delle due proposizioni è vera allora anche l’altra è vera, e se una delledue è falsa allora anche l’altra è falsa.

Il bicondizionale equivale alla congiunzione di due condizionali tali che l’antecedente di ciascuno è il conseguente dell’altro.

Asserire un bicondizionale significa escludere l’eventualità che uno dei due lati sia vero e l’altro falso. Quindi il bicondizionale è vero nel caso in cui entrambi i lati siano veri o falsi, altrimenti è falso. Ogni lato è condizione necessaria e sufficiente dell’altro.

Lato destro e lato sinistro = le due proposizioni costituenti un bicondizionale.

Implicazione = una proposizione implica un’altra proposizione quando non è possibile che la prima sia vera e la seconda sia falsa.

Equivalenza = relazione che si instaura tra due proposizioni quando esse si implicano a vicenda.

Cioè quando è impossibile che una sia vera e l'altra sia falsa. Contraddittorietà = relazione che si instaura tra due proposizioni quando esse non possono essere né entrambe vere né entrambe false. Ex falso quodlibet = principio secondo il quale una contraddizione implica qualsiasi cosa. Coerenza = relazione che si instaura tra più proposizioni quando è possibile che tutte siano contemporaneamente vere. Incoerenza = relazione che si instaura tra più proposizioni quando è impossibile che tutte siano contemporaneamente vere. [Tutte le coppie di proposizioni di cui una è la negazione dell'altra formano una contraddizione, e tutti gli insiemi di proposizioni che includono una contraddizione sono incoerenti. Ma ci sono insiemi incoerenti di proposizioni che non includono contraddizioni, e contraddizioni che non sono formate da coppie di proposizioni di cui una è la negazione dell'altra.]

principale = proposizione che racchiude in sé il messaggio fondamentale di un testo.

Proposizione subordinata = proposizione che dà sostegno alla proposizione principale.

Struttura argomentativa = insieme delle relazioni che legano la proposizione principale di un testo alle proposizioni subordinate.

Argomento = insieme di proposizioni di cui una è inferita dalle altre.

Inferenza = operazione mentale per cui si passa da un giudizio ad un altro; relazione logica posta tra premesse e conclusione all'interno di un argomento.

Ragionamento semplice = operazione mentale che prevede la produzione di un singolo argomento.

Ragionamento complesso = operazione mentale che prevede la produzione di più argomenti collegati tra loro (spesso la conclusione di un argomento serve da premessa per il successivo).

Premesse = proposizioni dalle quali viene inferita una conclusione all'interno di un argomento.

Deduzione = una proposizione è inferita per deduzione quando le

proposizioni da cui è inferita forniscono ragioni decisive per accettarla. Quindi non è possibile che le proposizioni da cui è inferita siano vere e la proposizione sia falsa. La deduzione produce argomenti validi.

Conclusione = proposizione inferita in un argomento.

Argomento valido = un argomento è valido se e solo se è impossibile che le premesse siano vere e la conclusione sia falsa.

Quindi un argomento è valido quando viene espresso tramite criterio deduttivo.

Induzione = una proposizione è inferita per induzione quando le proposizioni da cui è inferita forniscono ragioni non decisive per accettarla. L'induzione produce argomenti forti.

Argomento forte = un argomento è forte se e solo se è improbabile che le premesse siano vere e la conclusione sia falsa.

Argomento formalmente valido = un argomento è formalmente valido quando esemplifica delle forme valide (ad esempio Modus ponens e Modus tollens).

Modus