Appunti di logica

Logica

Prof. Daniele Porello

La logica si occupa dell'analisi dei metodi di ragionamento, il quale è un fenomeno complesso studiato in diverse discipline, quali:

• Scienze cognitive e neuroscienze: comprendere il funzionamento dei processi cognitivi negli esseri viventi.
• Intelligenza artificiale: rendere le macchine capaci di gestire conoscenze e informazioni, ragionare efficacemente e interloquire con esseri umani.
• Rettorica
• Teoria dell'argomentazione

Caratteristiche della logica

La logica è formale, ovvero astrae dal contenuto degli enunciati coinvolti nel ragionamento, essa usa un linguaggio artificiale simbolico per evitare ambiguità del linguaggio naturale e individuare la forma logica delle affermazioni. Inoltre, la logica è deduttiva, in quanto si occupa del ragionamento induttivo, nel quale la verità delle premesse implica necessariamente la verità della conclusione.

Si parla di logica matematica, il cui obiettivo è rappresentare i metodi di ragionamento dei matematici, e viene trattata con metodo matematico. Le principali applicazioni della logica sono in:

• Matematica: studio dei fondamenti della matematica per fornire una fondazione sicura per il ragionamento matematico.
• Informatica: fondata grazie alla logica.
• Intelligenza artificiale
• Sviluppo di internet e semantic web: fornisce gli standard fondamentali per la rappresentazione di informazioni.

La "philosophical logic" si occupa dello studio di problemi filosofici mediante i metodi della logica matematica. Gottlog Frege, col concetto di ideografia, si riferiva al linguaggio formale, che serve a individuare i nessi deduttivi e a esplicitare le ipotesi sul linguaggio naturale. Chiunque conosca tale linguaggio può comprendersi senza ambiguità.

Argomentazioni e deduzioni

Un enunciato è una sequenza di parole grammaticalmente corretta per una certa lingua. Un enunciato dichiarativo è un enunciato di una certa lingua di cui ha senso chiedersi se sia vero o falso, ovvero che ha condizioni di verità (domande, comandi e esortazioni non hanno condizioni di verità, quindi non sono enunciati dichiarativi, così come sequenze di parole non grammaticalmente corrette). Esempi di enunciati sono:

• "Genova è tra Savona e La Spezia"
• "Tutte le piante sono esseri viventi"
• "7+5=12"

Si distingua tra enunciati semplici e composti:

• Enunciato semplice: non contiene altri enunciati al suo interno (es. "Aldo ha aperto la porta").
• Enunciato composto (o complesso): contiene almeno un altro enunciato al suo interno (es. "Aldo ha aperto la porta oppure Anna ha chiuso la finestra", "Aldo non ha aperto la porta").

In generale, gli enunciati semplici hanno le seguenti possibili strutture:

• Applicazioni di un predicato a un certo individuo (es. "Socrate è un filosofo", "3 è dispari").
• Applicazioni di una relazione a un certo numero di individui (es. "Genova è tra Savona e La Spezia", "Il Nilo è più lungo del Po").

Gli enunciati semplici possono avere una certa struttura interna, per esempio, nel caso di "Ogni genovese è parente di qualche non genovese", si ha un enunciato semplice con l'applicazione della relazione "essere parente di" tra individui generici.

Per parlare di individui generici si usano le variabili come x, y, z ecc. Espressioni come: ogni, tutti, alcuni, nessuno, molti ecc. sono quantificatori, ovvero quantificano su individui ai quali si applica una certa proprietà, per esempio:

• "Ogni pianta è verde": tutti gli individui che hanno la proprietà di essere piante hanno anche la proprietà di essere verdi.
• "Qualche pianta è verde": alcuni degli individui che hanno la proprietà di essere piante hanno anche la proprietà di essere verdi.

Gli enunciati composti si possono costruire grazie ad alcune parole del linguaggio, cioè i connettivi proposizionali come "e", "oppure", "mentre", "quando", "perché", "o" ecc. Queste parole permettono di costruire un enunciato composto a partire da enunciati semplici. Anche gli operatori modali, come "è necessario che", "è possibile che", "è contingente che", "necessariamente" ecc., si usano per ottenere proposizioni composte a partire da altre (es. "è necessario che la luna orbiti intorno alla Terra").

Un'argomentazione è un tipo di discorso, scritto oppure orale, nel quale alcuni enunciati dichiarativi, detti premesse, vengono usati per sostenere un altro enunciato dichiarativo, detto conclusione. Alcuni indicatori di premesse sono: "dato che", "poiché", "perché", "siccome", "posto che", "visto che", mentre alcuni indicatori di conclusioni sono: "quindi", "dunque", "perciò", "pertanto", "ne segue che", "questo significa che". Per esempio: "Dato che Aldo è genovese e che tutti i genovesi sono italiani, ne segue che Aldo è italiano".

Un'argomentazione ha la seguente struttura:

• Premessa 1
• Premessa 2
• ...
• Premessa n

Le premesse 1, 2, ..., n implicano la conclusione. Conclusione.

Le argomentazioni o inferenze sono, quindi, forme di discorso nelle quali si usano delle affermazioni come premesse per sostenere una conclusione e si possono classificare a seconda della forza con la quale le premesse sostengono la conclusione. Esistono tre tipi di ragionamento:

1. Induttivo: le premesse esprimono una proprietà che si applica a un certo numero di casi noti e la conclusione generalizza la proprietà a casi non noti. La forza dipende dal numero di casi osservati e dalla possibilità di conoscere il rapporto tra casi totali e casi osservati. Si tratta di un ragionamento ampliativo, perché la conclusione propone un'informazione nuova rispetto a quella contenuta nelle premesse. Per esempio:
   • Il 1^o corvo che ho osservato era nero
   • Il 2^o corvo che ho osservato era nero
   • ...
   • L'n-esimo corvo che ho osservato era nero
   • Tutti i corvi sono neri
2. Abduttivo: consente di inferire a partire dall'osservazione di un fenomeno, una spiegazione, o una causa, per il fenomeno osservato. La forza dipende dalla qualità della spiegazione ed è un ragionamento ampliativo. Per esempio:
   • Il delitto è avvenuto al 6^o piano
   • Se l'assassino fosse riuscito ad arrampicarsi, il delitto sarebbe avvenuto al 6^o piano
   • L'assassino è riuscito ad arrampicarsi
3. Deduttivo: la forza con cui le premesse sostengono la conclusione è massima. Assumendo le premesse possiamo assumere infallibilmente la conclusione, se le premesse sono vere allora necessariamente la conclusione è vera, non è possibile che le premesse siano vere e la conclusione sia falsa. La conclusione segue logicamente dalle premesse solo grazie alle regole date dalle parole logiche coinvolte. Per esempio:
   • Anna ha preso una matita blu oppure una matita rossa
   • Anna non ha preso una matita rossa
   • Anna ha preso una matita blu

   In questo caso, le regole di "oppure" e "non" ci permettono di valutare se l'inferenza è corretta (modus tollens).

I principali connettivi proposizionali sono:

• Congiunzione (e): se entrambi gli enunciati congiunti sono veri, allora la loro congiunzione è vera.
• Disgiunzione (oppure): se almeno uno dei disgiunti è vero, allora la disgiunzione è vera.
• Negazione (non): un'affermazione è vera se e solo se la sua negazione è falsa e viceversa.
• Disgiunzione esclusiva (aut): vera se e solo se esattamente uno dei disgiunti è vero.
• Condizionale (se...allora): se un condizionale è vero e il suo antecedente è vero, allora il conseguente deve essere vero.

Espressioni come: "ogni", "tutti", sono affermazioni universali, mentre espressioni come: "alcuni", "qualche", "almeno un" sono affermazioni particolari. Un enunciato universale è vero se è vero per ogni individuo di cui si parla, un enunciato particolare è vero se è vero per almeno un individuo di cui si parla. Per esempio: "è necessario che p" è vero se è vero in ogni mondo possibile e "è possibile che p" è vero se è vero in almeno un mondo possibile. I connettivi logici formalizzano un significato e un comportamento deduttivo preciso, che spesso si distanzia da quello che ha nel discorso comune. Nella logica matematica contemporanea essi formalizzano il ragionamento proprio della pratica dimostrativa in matematica.

Analizzare un'inferenza significa interpretare le affermazioni di un linguaggio mediante gli operatori logici, l'interpretazione logica consiste nell'esplicitare le ipotesi sui nessi deduttivi dell'inferenza. Formalizzare significa sostituire le affermazioni con lettere simboliche, come p, q, r, s ecc.

Logica proposizionale

Una proposizione consiste nel contenuto disambiguato di un enunciato dichiarativo, essa si dice semplice, o atomica, se non ne contiene altre al suo interno e si dice composta altrimenti. Un connettivo si dice unario se si applica a una proposizione e binario se si applica a due proposizioni. Per esempio: "Ad Anna non piace il caffè" contiene un connettivo unario e "Bruna è amica di Andrea e Andrea è amico di Carlo" ne contiene uno binario.

La principale assunzione della logica classica sostiene che esistono due valori di verità: vero (V) e falso (F). Ciò si esplica nel principio di bivalenza, che enuncia: una proposizione può assumere uno e uno solo dei valori di verità, vero o falso. Essa non può essere sia vera che falsa e non può essere né vera né falsa.

Un connettivo si dice verofunzionale se e solo se il valore di verità della proposizione composta dipende unicamente dai valori di verità delle proposizioni componenti. Secondo il principio di verofunzionalità, il valore di verità di ogni proposizione composta è determinato a partire dai valori di verità delle proposizioni componenti. La logica proposizionale si occupa solo di connettivi verofunzionali e astrae, ad esempio, da connotazioni temporali. Per esempio:

• "Andrea corre oppure nuota": il valore di verità è determinato, dipende dai valori di verità di "Andrea corre" e "Andrea nuota".
• "Andrea beve un caffè quando Andrea esce": il valore di verità non è determinato da quello delle proposizioni componenti. Anche se sappiamo che entrambi gli enunciati sono veri, non abbiamo informazioni sul fatto che Andrea beva caffè proprio quando esce.

Lettere minuscole come: p, q, r, s ecc. si usano per indicare proposizioni atomiche e sono dette lettere proposizionali o variabili proposizionali. Lettere maiuscole come A, B, C, D ecc. si usano per indicare proposizioni qualsiasi.

La notazione dei connettivi principali è la seguente:

• Negazione: ¬
• Congiunzione: ʌ
• Disgiunzione: v
• Condizionale (implicazione): →
• Bicondizionale: ↔

Le formule costituiscono il linguaggio della logica proposizionale, la sua sintassi, e si ottengono applicando i connettivi alle lettere proposizionali e poi a proposizioni qualunque. Una formula proposizionale è ottenuta da lettere proposizionali applicando un numero finito di volte i connettivi logici. Per capire quali connettivi legano più strettamente esistono due regole:

• ¬ lega più strettamente di ʌ e v.
• ʌ e v legano più strettamente di → e ↔.

Un elemento necessario per scrivere le formule è dato dalle parentesi, infatti, una formula può essere ambigua, non avere un contenuto univoco e quindi non essere una proposizione, per esempio:

• A ʌ B v C
• A ʌ (B v C)
• (A ʌ B) v C

Definizione per costruire le formule:

• Regola ¬: se A è una formula proposizionale posso costruire (¬A)
• R ʌ: A, B fp, (A ʌ B)
• R v: A, B fp, (A v B)
• R →: A, B fp, (A → B)
• R ↔: A, B fp, (A ↔ B)

Per esempio, la formula: A ʌ (B v C) → C) ↔ (¬D) si costruisce tramite il seguente albero:

• (A ʌ (B v C) → C) ↔ (¬D)
• (A ʌ (B v C) → C)
• ¬D
• A ʌ (B v C)
• C
• D
• A B v C
• B C
• A B

L'albero si legge dal basso verso l'alto e il connettivo principale della formula è ↔. Una formula è sintatticamente corretta se costruita mediante tali regole. Il connettivo principale corrisponde all'ultima regola che si applica nell'albero di costruzione della formula proposizionale.

Nel caso di una formula ambigua si ha il seguente albero:

• A v B ʌ C
• A v (B ʌ C)
• (A v B) ʌ C
• A B ʌ C
• A v B
• C B C
• A B C

Tavole di verità

Una tavola di verità è una tabella con un certo numero di righe e colonne contenenti V o F. Le colonne sono divise in 2 gruppi separati da un segno verticale, quelle prima del segno sono etichettate da lettere proposizionali, mentre quella dopo il segno da variabili proposizionali e contiene il valore di verità della formula A in dipendenza da quelli di p, q e r:

Ogni riga, fino al segno, specifica tutte le situazioni possibili, ovvero le combinazioni di valori di verità delle lettere proposizionali, dette assegnazioni proposizionali o modelli proposizionali. Una tavola di verità che contiene solo occorrenze della lettera p (es. p v ¬p) ha due righe. La tavola informa sui valori di verità della formula composta "A" a partire dalle assegnazioni di valore di verità di p.

Se la formula ha due lettere proposizionali p e q, la tavola ha 4 righe, se ha 3 lettere si avranno 8 righe. Per ognuna delle n lettere ci sono due possibili valori di verità, quindi il numero di righe è: 2ⁿ. Per esempio, per scrivere le assegnazioni possibili di una formula composta da 4 lettere proposizionali (p₁, p₂, p₃, p₄), si calcola il numero di righe: 2⁴ = 16 e poi si procede come segue:

• Sotto p₁ scrivo 8 V seguiti da 8 F.
• Sotto p₂ scrivo 4 V seguiti da 4 F seguiti da 4 V seguiti da 4 F.
• Sotto p₃ scrivo 2 V seguiti da 2 F e così via.
• Sotto p₄ scrivo 1 V seguito da 1 F e così via.

Si specificano le condizioni di verità delle proposizioni composte mediante i connettivi. Le tavole di verità dei connettivi logici sono:

Negazione

Connettivo unario, si applica a una proposizione per produrne un'altra e ne inverte il valore di verità:

Congiunzione

Connettivo binario. È vera se entrambe le proposizioni congiunte sono vere e falsa altrimenti, astrae dall'ordine dei congiunti ed è commutativa. ʌ può rappresentare il contenuto deduttivo di espressioni del linguaggio naturale come "e", "ma", "mentre" (in senso avversativo e non temporale):

Disgiunzione inclusiva (vel)

È vera se almeno uno dei disgiunti è vero e falsa solo nel caso in cui entrambi siano falsi:

Disgiunzione esclusiva (aut o XOR)

Falsa se entrambi i disgiunti sono veri o se sono entrambi falsi. È equivalente a dire A oppure B e non A e B:

Condizionale

Falso solo nel caso in cui A è vera e B è falsa. A è detto antecedente e B conseguente:

Per verificare un teorema si assume per vero l'antecedente (ipotesi) e si cerca di dimostrare che è vero il conseguente (teoria). Per falsificare un teorema si assume che l'antecedente sia vero e si cerca di rendere falso il conseguente. Un teorema è falso solo quando l'antecedente è vero e il conseguente è falso, c'è solo un modo per falsificarlo. Gli altri casi (antecedente falso) sono irrilevanti. Gli enunciati controfattuali hanno l'antecedente falso, quindi sono tutti veri.

Le espressioni del linguaggio naturale interpretabili mediante il condizionale logico sono, per esempio: "se A allora B", "B se A", "A solo se B", "A quindi B", "B dato che A", "B poiché A", "B perché A". Nel caso in cui A → B sia vero:

• A è condizione sufficiente per B: basta che A sia vero per rendere vero B
• B è condizione necessaria per A: necessario che B sia vera per rendere vera B, non è possibile che B non sia vera per la verità di A.

Bicondizionale

Vero solo quando le due proposizioni hanno lo stesso valore di verità, per questo indica l'equivalenza dei valori di verità. Può essere definito da → e ʌ, infatti: A ↔ B = (A→ B) ʌ (B→ A). Se A ↔ B è vero si dice che:

• A è condizione necessaria e sufficiente per B
• B è condizione necessaria