Appunti Algebra e Logica

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Author: yariabb

Revisionato il 30/05/2026

di yariabb

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Appunti di algebra e logica che sono basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni del prof. Pareschi, dell’università degli Studi di Tor Vergata - Uniroma2, …

Esame Algebra e Logica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Pareschi Giuseppe

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2019-2020

105 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Insiemi numerici

N = {0,1,2,3,...}

Z = {...,-3,-2,-1,0,1,2,...}

Z⁺ = {1,2,3,...}

Q: numeri razionali

Operazioni sugli insiemi

A,B insiemi

A - B, A ∪ B

A × B = {(a,b) | a ∈ A , b ∈ B} e altro

Sottoinsiemi

Se I è un insieme, è possibile di avere I per ogni i ∈ I un insieme A_i. Questi insiemi formano una famiglia di insiemi {A_i}_{i ∈ I}

Esempio:

I = N = {0,1,2,...}

Se i ∈ N

A_i = {0,:i} (_{C ℝ})

A₀ = {0,0} = {0}

A₁ = {0,1}

A₂ = {0,2}

Questi potri considerare la famiglia:

Insiemi numerici

N = { 0,1,2,3, ... }

Z = { ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... }

Z⁺ = { 1, 2, 3, ... }

Q numeri razionali

Operazioni sugli insiemi

A, B insiemi

A ∩ B

A ∪ B

A x B = { (a, b) | a ∈ A e b ∈ B }

Famiglie di insiemi

Se I insieme qualsiasi di indici, per ogni i ∈ I un insieme A_i. Questi insiemi formano una famiglia di insiemi { A_i }_{i ∈ I}

Esempio:

I = N = { 0, 1, 2, ... }

Se i ∈ N A_i = { 0, i } (⊂ R)

A₀ = { 0, 0 } = { 0 }

A₁ = { 0, 1 }

A₂ = { 0, 2 }

Questi potrei considerare la famiglia:

{a_n}_{n∈ ℕ}

Complesso

Tecn costruzione

1 a {c_n}_{n∈ ℕ}

c= {c=0....}

1) ∩{c_n} = {x, x...

^{n∈ ℕ}

Dati due famigli {A_j}∈ J

a) ∩_j∈J = {x∈ A_j, ∀j∈J}

b) ∪_j∈J = {b ≤...}

Esame

1) ∩{0:1, 1:1}: ∅= ∅=1

2) ∪_i = ℝ

Forme delle parti

Dato A= insieme

P(A) = x→...

Esempio:

A=2, {1,...}

P(A)=...{∅, {1}, ...

|A|=0 = ∅(∅) = {∅} → P(∅) =1

Nota: m...

Definizioni

Sia f : A -> B una corrispondenza fra gli elementi di A e B e siano P e una proprietà che può possedere un elemento x di A. Si dice f: A -> B è f(x)

diagramma

Esempio 1

A = {1, 2, 3}
B = {4, 5, 6, 7}
f: A -> B
f = {(1, 4), (2, 5), (3, 6)}

Questa associazione è una funzione

Esempio 2

A = [1, 2, 3]
B = [4, 5, 6, 7]

Esempio 3

c = {4, 6, 9}
k = c * c
X = {(4, 16), (6, 36), (9, 81)}

Alcune proprietà delle funzioni

Suriettiva

f: A -> B

Iniettiva

Esempio

f: R -> R
f(x) = x²

Esempio 1:

:ℝ⁺→ℝ()=x³

>0
suriettiva: ∀∈ℝ∃∈ ℎ ()=

non ammette −¹ −¹ ( ³ ℎ :ℝ

Esempio 2:

ℕ₀(⁰()=_⎣⎦

inniettiva → inversione ( )

Esempio 3:

u: ∀∈B ∃∈A ℎ()=.

Esempio:

:ℝ→[-,+](x)=−sin x=':[−8,+2](,)→

Funzione semplice

Def: : A→B ef : β ∃ : B→0 ℝ

Funzione inversa:

Ϝ(.)(β)↔A:{:β₂}⤳

( −)*f()→

() = x → ⁻¹

Si può scomporre:

F(Aⁿ[2¹]) - e

Usando:

f(Aⁿ[2¹]) - f(a)¹[2]) - f¹(e)

Spesso dell'esame:

1) sonda - f(Aⁿ[x]) - ushde de f(Aⁿ[e]) = f(I(A[n])) - rashde de - f(A[2]) = a

2) esiste e〜f di tale che f¹ de f(1) - s e f¹([f{(4) - 5}]) - a

3. lequale: s〜e〜A di tale de f(l) 1(tale de f¹)

f(1[4][s] - f(e)

(cardinalità) {calcoliamo}:

Se A〜a un invace fatoc e s inclusi o fatt il munco di lenità k edo b

A〜pamset

{A,B} due munce fatot

Se F(A,B):= 4 ((A,A):bosa

{~F(A,B) = e}

Scomprime de:

A{a}: a〜A_1,2 - f¹(A²)

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