Appunti di Laboratorio (Parte 2)

Sviluppo del primo termine singolarmente

dΘ/dt = ∂Θ/∂m . dm/dt = ∂Θ/∂m / (-4πk√t) = ∂Θ/∂m (-1/2 t)

Secondo termine

Tenendo conto che: dΘ/dy = ∂Θ/∂m . ∂m/∂y = ∂Θ/∂m / 2√kt

Quindi: d²Θ/dy² = ∂/∂y (∂Θ/∂y) = 1/∂y (∂Θ/∂m . ∂m/∂y) = ∂/∂y (∂Θ/∂m . 1/2√kt) = 1/2√kt ∂/∂y ∂Θ/∂m = 1/2√kt (∂²Θ/∂m²)

Importante: moltiplico dm/dy per ∂m/∂y ma separo ∂/∂y = 1/2√kt (∂²Θ/∂m²) 1/2√kt = 1/4kt (∂²Θ/∂m²)

Sviluppo del primo termine singolarmente

\[\frac{\partial \Theta}{\partial t} = \frac{\partial \Theta}{\partial m} \cdot \frac{\partial m}{\partial t}\]

\[= \frac{\partial \Theta}{\partial m} \left(-\frac{y}{2\sqrt{kt}}\right)\]

\[= \frac{\partial \Theta}{\partial m} \left(-\frac{m}{2t}\right)\]

Secondo termine

Tenendo conto che: \[\frac{\partial \Theta}{\partial y} = \frac{\partial \Theta}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial y}\]

\[= \frac{\partial \Theta}{\partial m} \left(\frac{1}{2\sqrt{kt}}\right)\]

Quindi: \[\frac{\partial^2 \Theta}{\partial y \partial t} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \Theta}{\partial t}\right)\]

\[= \frac{1}{\partial y} \left(\frac{\partial \Theta}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial y}\right)\]

\[= \frac{1}{2kt} \frac{\partial \Theta}{\partial m} \cdot \frac{\partial m}{\partial y}\]

\[= \frac{1}{2kt} \frac{\partial}{\partial m} \left(\frac{\partial \Theta}{\partial m}\right) \cdot m \cdot \frac{\partial m}{\partial y}\]

Importante: moltiplico per \(\frac{\partial m}{\partial y}\) ma separo \(\frac{\partial m}{\partial y}\)

\[= \frac{1}{2kt} \left(\frac{\partial^2 \Theta}{\partial m^2}\right) \frac{1}{2\sqrt{kt}}\]

\[= \frac{1}{4kt} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial m^2}\]

Termini dell'equazione addimensionata

κ 2κκ = - η21η2η2= ηη

Introduzione della funzione Ω

Introduco la funzione Ω = _dn sostituisco: _dm -2Ωη{Ω(ω)=0{Ω(0)=1

Moltiplico per dn e divido per Ω: dØ = -2ηdn

E adesso integro il tutto: _dØ =∫ -2ηdn → lnØ - lnC₁=- ηln _C1 = - η^e_n3= -e^-η e-η→Ω = C₁ e ^{- η}

Risalire le equazioni

Ω= _dn → Ω = C₁ e ^{- η2}_dm→ dØ = C₁ e ^-η2 dn

Ora integro: ∫₀^η c₁ ∫₀ⁿ e^-m² dmΘ(η) - Θ(0) = c₁ ∫₀^η e^-n² dn

Dalle condizioni al contorno risulta che Θ(0) = 1 e per η → ∞

Per la prima condizione Θ(0) diventa 1, per la seconda Θ(η) diventa zero e il lato destro dell'integrazione diventa ∞-1 = c₁ ∫₀^∞ e^-n² dm dove (∫₀^∞ e^-x² dx = √π/2)

Quindi -1 = c₁ √π/2 → c₁ = -2/√π

Sostituisco c₁ nell'equazione:

Θ(η) = 1 - 2/√π ∫₀^η e^-n² dn

Geoterma

Poiché 2/√π ∫₀^η e^-n² dn è detta funzione degli errori erf(η)

Definisco la sua complementare erfc(η) = 1 - erf(η)

Θ = erfc(η) che ora assumo con i termini originali:

(T - T₁)/(T₀ - T₁) = erf( (y/2√kt) ) o anche nella forma:

T(y,t) = T₁ + (T₀ - T₁) erf( (y/2√kt) )

Calcolo di Helvin

Per effettuare il calcolo di Helvin parto dalla formula della C.D.T.

_{T - T1T0 - Ti} = erfc_(Y)

Cioè T(y;t) = T_a + (T₀ - T_a) (erfc _(Y))

= T_a + (T₀ - T_a) (4 - 2 _/√π ∫_0^+√Y e^-n² dn)

Flusso di calore

Che devo per trovare il flusso di calore è fondato in pratica

q(y) = k (T₀ - T₁) (-2 _/√π e^-n² |₀ - 1 _/2√kt)

CI poniamo in superficie a y=0.

q(0) = k (T₀ - T₁) (-2 _/√π 1 _/2√kt)

= -k (T₀ - T₁) _{/√π kt} = q₀ = k (T₁ - T₀)_{/√π kt}

L'età della terra

L'età della terra si incaa da questa formula, rovata al quadrato ed espressa per t