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SVILUPPO IL PRIMO TERMINE SINGOLARIZZANTE
∂Θ/∂t = ∂Θ/∂m ∙ ∂m/∂t
= ∂Θ/∂m ( - y/√(4kt) )
= ∂Θ/∂m ( - m/2 t )
ORA PASSO AL SECONDO TERMINE, TENENDO CONTO CHE:
∂Θ/∂y = ∂Θ/∂m ∙ ∂m/∂y
= ∂Θ/∂m ( 1/2√kt )
QUINDI:
∂2Θ/∂y2 =
= ∂/∂y ( ∂Θ/∂y )
= ∂/∂y ( ∂Θ/∂m ∙ 1/2√kt )
= 1/2√kt ∙ ∂/∂y ( ∂Θ/∂m )
= 1/2√kt ∙ ∂/∂m ( ∂Θ/∂m ) ∙ ∂m/∂y IMPORTANTE: RECIPROCO PER ∂m/∂m MA SEPARO ∂/∂y!
= 1/2√kt ( ∂2Θ/∂m2 ) ∙ 1/2√kt =
= 1/4kt ∙ ∂2Θ/∂m2
Ho adesso i termini dell'equazione adimensionata
+1/2 d2Θ/dn2 = - η/2 dΘ/dη -1/2 d2Θ/dn2 + ηdΘ/dη
Introduco la funzione Ψ = dΘ/dn, sostituo:
dΨ/dn = -2ηη Θ(∞) = 0 Θ(0) = 1
Moltiplico per dn e divido per Ψ:
dΨ/Ψ = -2η dn
E adesso integro il tutto:
∫Ψ(∞)Ψ dΨ/Ψ = -∫0n 2ηdη → lnΨ - lnC1 = -n2
ln Ψ/C1 = -n2 eln Ψ/C1 = e-n2 Ψ/C1 = e-n2
→ Ψ = C1e-n2
Ora consiglio a "risalire" le equaianze:
Ψ = dΘ/dn → Ψ = C1e-n2
dΘ = C1e-n2 dn
LA TOPOGRAFIA DELLA LITOSFERA OCEANICA DIPENDE SIA DA PRINCIPI ISOSTATICI CHE QUINDI DALLA DENSITÀ CHE PERÒ VARIA IN BASE ALLA TEMPERATURA
T - Tm = (Tm - Tm) exp ( y / 2κt )
T - Tm = (Tm - Tm) exp ( y / 2κt )
E INFATTI SECONDO LA LEGGE DI CONTRAZIONE TERMICA SAPPIAMO:
ρ(yc) - ρm = ρm α (Tlj - Tm)
LO SPESSORE DELLA LITOSFERA OCEANICA SARÀ Yc E INVECE W SARÀ LA PROFONDITÀ DEL BACINO, FS È LA NOSTRA INCÒGNITA.
PER L'ISOSTASIA LA PRESSIONE ALLA DORSALE DEVE ESSERE UGUALE ALLA PRESSIONE ALLA BASE DELLA COLONNA DI ACQUA E LITOSFERA VICINA. CHE VARIA PER DENSITÀ E PROFONDITÀ?
DORSALE: ϱg h = ϱm g (w + yc)
COLONNA: ϱg b = ϱ PH2O + ∫ w 0 ϱ(g)dy )
UGUAGLIANDO SPARISCE LA g E ISODO L'INCÒGNITA W
W(ϱm - PH20) = -ϱm yc + ∫ yc 0 ϱ(y,t)dy yc = ∫ t 0 v dt TRASFORMO Yc
W(ϱm - PH20) = ∫ yc 0 [ ϱ(y,t) - ϱm ] dy
SOSTITUISCO NELL'INTEGRALE CON LA LEGGE DI CONTRAZIONE TERMICA
W(ϱm - PH20) = ∫ yc 0 ϱm α (Tlj - Tm) dy POI CON LA LEGGE TERZA DEL C.B.T.
= ∫ yc 0 ϱm α (Ts - Tm) exp ( y / 2κt ) dy
Gravità
g per un campo centrale, su sfera.
Per la terra vi sono 2 correzioni da fare: la prima riguarda la forma che influisce sul campo ed è pari a
dove: a raggio medio
J2 schiacciamento e spostato
in termini di momenti di inerzia
- C-A / Ieq
3/2 GM2 J2 / r2 3 - 3 {3m2 - 1}
La seconda correzione tiene conto che la terra e in rotazione e quindi va introdotto il termine centrifugo
-ω 2 r2 cos2φ
dove φ è la latitudine
g = GM2 / r2 + 3 / 2 GM2 J2 / r2 {3m2 - 1} - ω 2 r2 cos2 φ
Il potenziale gravitazionale si risavà integrando, ma
devo tenere conto che il termine centrifugo va integrato
dal centro della superficie e all'atto invece all'infinito,
V = GM / r2 + GM2 / r2 {3m2 - 1} dr + 1 / 2 (-ω 2 r2 cos2 φ) dr =
= GM / r2 + GM2 / 3 {3m2 - 1} - 1 / 2 ω2 r2 cos2 φ
Potenziale totale
Geode:
è una superficie equipotenziale ideale e approssima il pianeta al netto di dinamica e composto da fluido \u2028 percorso in rotazione
(Calcoliamo il potenziale all'equatore dove r2 = 0)
V(r2: 0) = GM / a + GM2 / 2 {-1} - ω 2 a2 / 2
e poi in un punto generico (dove r2 = a {1-e})
V = - GM / {1-e} + GM2 / 2 {3m2 {1-e}} - ω 2 a2 {1-e}2 cos2 φ
Anomalia del Geode
da \(\Delta U= \frac{2\pi G}{g} \int^b_0 \Delta \rho (y,y)dy\) si ha \(\Delta N = \frac{2\pi G}{g} \int^b_0 \Delta \rho (y,y) dy\)
1) Compensazione di Airy
\[ \Delta N = \frac{2\pi G}{g} \left[ \int^H_{b+h} \rho_c g y\,dy + \int^0_h (\rho_c - \rho_m) yd y \right] \] \[ = \frac{\pi G}{g} \left[ \rho_c g y^2 \Big|^{H+b}_h + (\rho_c - \rho_m) y^2 \Big|^0_h \right] \] \[ = \frac{\pi G}{g} \left[ \rho_c h^2 + (\rho_m - \rho_c) (h^2 + 2 Hb_2 + h_2 ) \right] \]poichè \(b = \frac{\rho_c}{\rho_m - \rho_c} h\)
\[ \frac{\pi G}{g} \rho_c h \left[ 1 + \frac{\rho_c h}{\rho_m - \rho_c} (h + 2 H ) \right] \] \[ = \frac{\pi G}{g} \rho_c h \left[ \frac{\rho_m h}{\rho_m - \rho_c} + 2 H \right] \]2) Compensazione di Pratt
\[ \Delta N = - \frac{2\pi G}{g} \left[ \int^w_{h} \rho_p g y \,dy + \int^0_w (\rho_p - \rho_o) yd y \right] \] \[ = - \frac{\pi G}{g} \left[ \rho_p y^2 \Big|^{h}_w + (\rho_p - \rho_o) y^2 \Big|^0_w \right] \] \[ = \frac{\pi G}{g} \left[ \rho_p b h^2 + (\rho_o - \rho_p) h \right] \]poichè \(\rho_p = \frac{\rho_o w}{w + h} \)
\[ = \frac{\pi G}{g} \left[\frac{\rho_o w}{w + h} h^2 + \rho_o h^2 w^2 \right] \] \[ = \frac{\pi G}{g} (\rho_ow h) \]
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