Appunti di Laboratorio (Parte 2)

SVILUPPO IL PRIMO TERMINE SINGOLARMENTE

dΘ/dt = ∂Θ/∂m . dm/dt

= ∂Θ/∂m / (-4πk√t)

= ∂Θ/∂m (-1/2 t )

ORA PASSO AL SECONDO TERMINE, TENENDO CONTO CHE:

dΘ/dy = ∂Θ/∂m . ∂m/∂y

= ∂Θ/∂m / 2√kt

QUINDI:

d²Θ/dy² = ∂/∂y (∂Θ/∂y)

= 1/∂y (∂Θ/∂m . ∂m/∂y)

= ∂/∂y (∂Θ/∂m . 1/2√kt)

= 1/2√kt ∂/∂y ∂Θ/∂m

= 1/2√kt (∂²Θ/∂m²) IMPORTANTE: MOLTIPLICO dm/dy PER ∂m/∂y MA SEPARO ∂/∂y

= 1/2√kt (∂²Θ/∂m²) 1/2√kt

= 1/4kt (∂²Θ/∂m²)

SVILUPPO IL PRIMO TERMINE SINGOLARMENTE

\[\frac{\partial \Theta}{\partial t} = \frac{\partial \Theta}{\partial m} \cdot \frac{\partial m}{\partial t}\]

\[= \frac{\partial \Theta}{\partial m} \left(-\frac{y}{2\sqrt{kt}}\right)\]

\[= \frac{\partial \Theta}{\partial m} \left(-\frac{m}{2t}\right)\]

ORA PASSO AL SECONDO TERMINE, TENENDO CONTO CHE:

\[\frac{\partial \Theta}{\partial y} = \frac{\partial \Theta}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial y}\]

\[= \frac{\partial \Theta}{\partial m} \left(\frac{1}{2\sqrt{kt}}\right)\]

QUINDI:

\[\frac{\partial^2 \Theta}{\partial y \partial t} = \frac{\partial}{\partial y} \left(\frac{\partial \Theta}{\partial t}\right)\]

\[= \frac{1}{\partial y} \left(\frac{\partial \Theta}{\partial m} \frac{\partial m}{\partial y}\right)\]

\[= \frac{1}{2kt} \frac{\partial \Theta}{\partial m} \cdot \frac{\partial m}{\partial y}\]

\[= \frac{1}{2kt} \frac{\partial}{\partial m} \left(\frac{\partial \Theta}{\partial m}\right) \cdot m \cdot \frac{\partial m}{\partial y}\]

IMPORTANTE: MOLTIPLICO PER \(\frac{\partial m}{\partial y}\) MA SEPARO \(\frac{\partial m}{\partial y}\)!

\[= \frac{1}{2kt} \left(\frac{\partial^2 \Theta}{\partial m^2}\right) \frac{1}{2\sqrt{kt}}\]

\[= \frac{1}{4kt} \frac{\partial^2 \Theta}{\partial m^2}\]

Ho adesso i termini dell'equazione addimensionata

κ _2κκ = - _η²

¹η₂η²= η_η

Introduco la funzione Ω = _dn sostituisco:

_dm -2Ωη

{Ω(ω)=0

{Ω(0)=1

Moltiplico per dn e divido per Ω:

dØ = -2ηdn

E adesso integro il tutto:

_dØ =∫ -2ηdn → lnØ - lnC₁=- η

ln _C1 = - η

^e_n3= -e^-η e-η

→Ω = C₁ e ^{- η}

Ora tengo a "risalire" le equazioni:

Ω= _dn → Ω = C₁ e ^{- η2}_dm

→ dØ = C₁ e ^-η2 dn

Ora integro:

∫₀^η c₁ ∫₀ⁿ e^-m² dm

Θ(η) - Θ(0) = c₁ ∫₀^η e^-n² dn

dalle condizioni al contorno risulta che Θ(0) = 1 e per η → ∞

per la prima condizione Θ(0) diventa 1, per la seconda Θ(η) diventa zero e il lato destro dell'integrazione diventa ∞

-1 = c₁ ∫₀^∞ e^-n² dm dove (∫₀^∞ e^-x² dx = √π/2)

quindi

-1 = c₁ √π/2 → c₁ = -2/√π

sostituisco c₁ nell'equazione:

Θ(η) = 1 - 2/√π ∫₀^η e^-n² dn ______________________ GEOTERMA

poichè 2/√π ∫₀^η e^-n² dn è detta funzione degli errori erf(η)

definisco la sua complementare erfc(η) = 1 - erf(η)

Θ = erfc(η) che ora assuno con i termini originali:

(T - T₁)/(T₀ - T₁) = erf( (y/2√kt) ) o anche nella forma:

T(y,t) = T₁ + (T₀ - T₁) erf( (y/2√kt) )

PER EFFETTUARE IL CALCOLO DI HELVIN PARTO DALLA FORMULA DELLA C.D.T.

_{T - T1T0 - Ti} = erfc_(Y) cioè

T(y;t) = T_a + (T₀ - T_a) (erfc _(Y))

= T_a + (T₀ - T_a) (4 - 2 _/√π ∫_0^+√Y e^-n² dn)

CHE DEVO PER TROVARE IL FLUSSO DI CALORE E' FONDATO IN PARTICA

q(y) = k (T₀ - T₁) (-2 _/√π e^-n² |₀ - 1 _/2√kt )

CI PONIAMO IN SUPERFICIE A y=0.

q(0) = k (T₀ - T₁) (-2 _/√π 1 _/2√kt) = -k (T₀ - T₁) _{/√π kt} =

q₀ = k (T₁ - T₀)_{/√π kt}

LÉTA' DELLA TERRA SI INCAA DA QUESTA FORMULA, ROVATA AL QUADRATO ED ESPRESSA PER t

t =