Appunti di Laboratorio (Parte 1)

Si indica con dF una forza che il volume esterno esercita sul volume interno attraverso dS

La trazione è la forza per unità d'area agente sulla superficie e direzione specificata dal versore m

^T(m) = lim_dS→0 dF/dS

Generalizzando per un cubo dove ogni faccia ha il suo versore

Il cubo ha un volume dV: = dx₁dx₂dx₃

^T(m) = σ_i1 m₁ + σ_i2 m₂ + σ_i3 m₃

Quindi: σ_ij c

i = la faccia (dir. normale)

j = il versore (dir. normale o diversa)

σ_ij è la matrice degli sforzi:

In orizzontale la stessa faccia, non cambia i

In verticale lo stesso versore, non cambia j

• σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃
• σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃
• σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃

= σ_ij

Equilibrio dei momenti

L'equilibrio rispetto ai momenti di rotazione attorno ad un asse, si confrontano 2 sforzi opposti su 2 facce: in questo caso se

σ₁₂ & σ₂₁ non si eguagliassero si avrebbe rotazione attorno all'asse x₃

F: σ₁₂(dx₁)dx₃ = 2

F: σ₂₁(dx₁)dx₃ = 1

Ugualiate 2

dx₁ 1

σ₁₂(dx₁)x₂ dx₂ x₂ 1

= σ₂₁(dx₁)x₁ dx₂ x₁ q

Oscano che σ₁₂(dx₁) = σ₂₁(dx₁) = σ₁₂ = σ₂₁

Dentro per cui la matrice è simmetrica

Assenza di accelerazioni

σ₁₂(o1_X1) = σ₁₂(o) + ∂σ₁₂/∂X₁ * dX₁

Sviluppo di Taylor

Considero tutti gli sforzi in direzione X₁ e calcolo F₂ che per definizione F = ma e invalido sia zero

F₂ = σ_i1(o_X1) dX₂ dX₃ + σ_i1(o_X2) dX₁ dX₃ + σ₃₁(o1_X2) dX₁ dX₂

= -σ_i1(o) dX₂ dX₃ - σ_i1(o) dX₁ dX₃ - σ₃₁(o) dX₁ dX₂ = ma

Applico gli sviluppi di Taylor

= (σ_i1(o) + ∂σ_i1/∂X₁ dX₁) dX₂ dX₃ + (σ_i1(o) + ∂σ_i1/∂X₂ dX₂) dX₁ dX₃ + (σ₃₁(o) + dσ₃₁/∂X₃ dX₃)

- dX₁ dX₂ - σ_i1(o) dX₂ dX₃ - σ_i1(o) dX₁ dX₃ - σ₃₁(o) dX₁ dX₃ = ma

∂σ_i1/∂X₁ + ∂σ_i1/∂X₂ + dσ₃₁/∂X₃ = m/dX₁dX₂,dX₃

ρa

Credo che dσ₃₁/∂X₃, ρa

Accelerazione → tormentoso

→ onde sismiche

Cauchy

Va considerato un tetraedro dS e si considerano le sue proiezioni su x₁, x₂ e x₃

• dS₁ = dS m₁ m₁ = m_s m_α m_s = 1
• dS₁ dS m₁
• dS₂ dS m₂
• dS₃ dS m₃

Calcolando la forza totale agente lungo x₁(non c’è acc. e gli sforzi di taglio hanno direzione neg.)

F₁ (m) t₁ dS - σ₁₁ dS m₁ - σ₂₁ dS m₂ - σ₃₁ dS m₃ = 0

¹/₂ t₁ dS = σ₁₁ dS m₁ + σ₂₁ dS m₂ + σ₃₁ dS m₃

Tolgo tutti dS e trovo che:

¹/₂ t₁ (m) = σ_ij m_j + σ₂₁ m₂ + σ₃₁ m₃

Che generalizzato è ¹/₂ t_i (m) = σ_ij m_j

X₃

(λ + μ) ∂u_k/∂x_k + μ ∂²u_i/∂x²₃ = ρ ∂²u_i/∂t²

Naviardo la velocità di un onda con seguente espressione lungo x_i

u_i = A sin(2π/L) (x₁ - ct)

u₂ = 0

u₃ = 0

Apaato i termini con k di cui tenesto solo quelli “1”

(λ + μ)(∂/∂x_k)(∂u₁/∂x_k + ∂u_k/∂x₁) + μ(∂²u₁/∂x²_k + ∂²u_k/∂x₁∂x_k) = ρ ∂²u₁/∂t²

(λ + μ) ∂²u₁/∂x²₁ + μ ∂²u₁/∂x²₁ = ρ ∂²u₁/∂t²

(λ + 2μ) ∂²/∂x²₁ (A sin(2π/L) (x₁ - ct)) = ρ ∂/∂t² (A …)

(λ + 2μ) A[-A sin((2π/L)](2π/L)² = ρ A sin(-c)(2π/L)² (-c)²

λ + 2μ = ρc² C = -1 √(λ + 2μ)/ρ onde ρ

Per le onde invece ci troviamo su X₂ ma l’equazione rimane quella di prima. Quando scrivo secondo X₂ non lo tengo nella formula (che contiene invece X_A) e quindi il primo termine e zero

Conduzione indipendente dal tempo

Hp = -K ₂T / ₂y

Integrando l'espressione della C.I.T.

Hp y = - K ₂T / ₂y + C₁ cm y=0 C se ponendo y=0 risulta essere q_S (C = -q(o)) quindi

Hp y = - k ₂T / ₂ y + q_s

Che integrando nuovamente cm y=0

1/2 Hp y² = -kT + q_Sy + C₂ O = -kT(o) + C₂ Quindi come prima con y=0 C₁ = kT_S

1/2 Hp y² = -kT + q_sy + kT_S

Espando tutto per T in funzione di y (Geotermia)

kT = kT_S + q_Sy - 1/2 Hp y² diviso per k

T(y) = T_S + q_S / k - 1/2k Hp y²