Appunti di Laboratorio (Parte 1)

Si indica con dF una forza che il volume esterno esercita sul

volume interno attraverso dS.

La trazione è la forza per unità d'area agente sulla superficie e direzione

specificata dal verso m.

T^(m) = lim (dF/dS)_{dS → 0}

Generalizzando per un cubo dove ogni faccia ha il suo versore

il cubo ha un volume dV = dx₁ dx₂ dx₃

T^(m) = σ_i1 m₁ + σ_i2 m₂ + σ_i3 m₃

Quindi: σ_ij c’è: i = la faccia (dir. normale)

j = il versore (dir. normale o diversa)

σ_ij è la matrice degli sforzi:

In orizzontale la stessa faccia, non cambia i

In verticale lo stesso versore, non cambia j

[ σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃ ] = σ_ij

[ σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃ ]

[ σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃ ]

Equilibrio dei momenti

L’equilibrio rispetto ai momenti di rotazione attorno ad un asse, si

compensano 2 sforzi opposti su 2 facce: in questo caso se

σ₁₂ e σ₂₁ non si compensassero si avrebbe rotazione

attorno all’asse x₃

F: σ₁₂ (ol x₁) dx₂ dx₃ - F: σ₂₁ (ol x₂) dx₁ dx₃ = equilibrato

Peso di rotazione: . dx₃ .

Dicendo che σ₁₂ (ol x₁) = σ₂₁ (dx₂) ⇒ σ₁₂ = σ₂₁

Notino per cui la matrice è simmetrica.

Si indica con dF una forza che il volume esterno esercita sul

volume interno attraverso dS.

La trazione è la forza per unità d'area agente sulla superficie e direzione

specificata al versore m.

^T_(m) = ^lim_dS→0 ^dF/_dS

Generalizzando per un cubo dove ogni faccia ha il suo versore

il cubo ha un volume dV = dx₁dx₂dx₃

^T_(m) = σ_i1m₁ + σ_i2m₂ + σ_i3m₃

Quindi: σ_ij c'è i = la faccia (dir. normale)

j = il versore (dir. normale o diversa)

σ_ij è la matrice degli sforzi:

in orizzontale la stessa faccia, non cambia i

in verticale lo stesso versore, non cambia j

σ₁₁ σ₁₂ σ₁₃ σ₂₁ σ₂₂ σ₂₃ σ₃₁ σ₃₂ σ₃₃ = σ_ij

Equilibrio dei momenti

L'equilibrio rispetto ai momenti di rotazione attorno ad un asse, si

confrontano 2 sforzi opposti su 2 facce: in questo caso se

σ₁₂ & σ₂₁ non si contrastassero si avrebbe rotazione

attorno all'asse x₃

E. σ₁₂(dx₁)dx₂dx₃·^dx₂/₂ = equilibrato

E. σ₂₁(dx₁)dx₁dx₃·^dx₁/₂

σ₁₂(dx₁)(dx₁dx₂dx₃)_y = σ₂₁(dx_1x2x3)_x

Dicendo che σ₁₂(dx₁) = σ₂₁(dx₂), σ₁₂ = σ₂₁

Motivo per cui la matrice è simmetrica

Assenza di accelerazioni

σ12(0,x₁) = σ12(0) + ∂σ12/∂x₁ dx₁

Sviluppo di Taylor

Considero tutti gli sforzi in direzione X₁ e calcolo F₂ che per definizione F=ma e v₂ sia zero

F₂ = σ11(dx₁) dx₂ dx₃ + σ21(0,x₂) dx₁ dx₃ + σ31(0,x₃) dx₁ dx₂

-σ11(0) dx₂ dx₃ - σ21(0) dx₁ dx₃ - σ31(0) dx₁ dx₂ = m.a

Applico gli sviluppi di Taylor

=(∂σ11(0)/∂x₁ dx₁) dx₁ dx₃ + (∂σ21(0)/∂x₂ dx₂) dx₁ dx₃ + (∂σ31(0)/∂x₃ dx₃) dx