Appunti di laboratorio di meccanica e termodinamica

PERCHÉ SI ARRIVA AL RISULTATO DI UN ESPERIMENTO?

La stima dell'errore effettuata con eccessiva superficialità ha portato i ricercatori a conclusioni errate:

Nel 1989 Stanley Pons e Martin Fleischmann annunciarono di aver ottenuto la fusione nucleare in una cella elettrolitica contenente delle barre di palladio e acqua pesante. Affermarono di aver rilevato sia raggi che neutroni, indicando entrambe queste particelle che la reazione nucleare era avvenuta. La notizia causò un notevole clamore che cessò quando venne dimostrato che i due ricercatori avevano compiuto diversi errori nel loro esperimento, compreso il non aver stimato in alcun modo gli errori di misura.

Nel 1970 fu pubblicato il risultato di una ricerca che sembrava indicare come una dieta ricca di fibra potesse ridurre l'incidenza dei polipi del colon. Per questo motivo i medici hanno prescritto integratori a base di fibra per più di 30 anni. Nel 2000 una nuova ricerca dimostrò che...

non vi è correlazione tra una dieta ricca di fibra e l'incidenza di polipi al colon. Si scoprì che la ricerca del 1970 era stata condotta su di un insieme troppo esiguo per essere considerata l'incertezza di casi (statisticamente non significativo) e che, se statistica, l'incidenza dei polipi nel campione con dieta ricca di fibra sarebbe stata la stessa di quella osservata nel campione al quale era stata prescritta una dieta a contenuto normale di fibra. Come rappresentare e usare le incertezze ± Il risultato di una misura è generalmente scritto come indica la migliore stima della quantità misurata, che giace in un qualche punto tra - l'incertezza, il margine di errore. Per essere certi che il valore scelto si trovi all'interno di questo margine, è necessario solitamente scegliere un valore di che ci consenta di affermare con una certa percentuale che la quantità sia realmente

compresanell'intervallo.Visto che la quantità è una stima di incertezza non dovrebbe essere stabilita con troppaun'unicaprecisione. Talvolta vengono arrotondate a una cifra significativa. Si ha eccezione: se laprima cifra dell'incertezza è 1, conviene tenere due cifre significative.L'ultima cifra significativa in un qualunque risultato dovrebbe essere dello stesso ordine digrandezza dell'incertezza.È importante che tutti i numeri usati in calcoli successivi siano tenuti con una cifra significativa inpiù rispetto a quella richiesta nel risultato finale, per poi essere arrotondato.Se due misure di una stessa grandezza sono in disaccordo, si dice che vi è una discrepanza:numericamente essa è data dalla differenza tra i due valori misurati. Può essere significativa onon significativa: nel primo caso, il margine di errore delle due misure non si sovrappone,mentre nel secondo c'è una sovrapposizione.

discrepanza tra due misure della quantità di moto:

Misura	Quantità di moto prima della collisione (p)	Quantità di moto dopo la collisione (q)	Discrepanza (q - p)
1	0.5 kg m/s	0.6 kg m/s	0.1 kg m/s
2	0.7 kg m/s	0.8 kg m/s	0.1 kg m/s
3	0.9 kg m/s	1.0 kg m/s	0.1 kg m/s

In questo esempio, la discrepanza tra le misure di p e q è costante e pari a 0.1 kg m/s. Questo indica che le misure sono coerenti con la legge di conservazione della quantità di moto.

quantità di moto misurata prima di un urto e dopo l'urto: Numero della Quantità di moto iniziale Quantità di moto finale qprova p… … …Spesso l'errore differisce molto poco da una misura e l'altra, quindi si può giungere a una conclusione riguardante l'incertezza: per ciascuna coppia di misure l'intervallo probabile di valori di o si sovrappone all'intervallo di valori di q, e se ciò è vero per tutte le misure i risultati possono essere dichiarati consistenti con la dimostrazione della conservazione della quantità di moto.

colonna contenente le differenze p-q eSe si hanno molti risultati, si può aggiungere una quartale relative incertezze: la migliore stima di p-q è (p -q ), quindi il valore massimo e il valore minimo probabile saranno best best best bestL'incertezza di una misura indica l'attendibilità o precisione

della misura, ma non dà abbastanza data dall'incertezza relativa informazioni. La bontà di una misura è (precisione): È conveniente trasformare l'incertezza relativa in incertezza percentuale, moltiplicando il ottenuto per 100. L'incertezza relativa è adimensionale ed è un'indicazione risultato approssimativa della qualità della misura: se è del 10% è abbastanza rozza, mentre se è del circa 1- 2% si tratta di una misura accurata. un'indicazione approssimativa dell'incertezza Il numero di cifre significative di una grandezza è relativa di quella grandezza.

Numero di Incertezza relativa Incertezza relativa cifre significative corrispondente tra corrispondente è rozzamente

1 10% e 100% 50%

2 1% e 10% 5%

3 0.1% e 1% 0.5%

Analisi statistica delle incertezze casuali Le incertezze rivelabili tramite la ripetizione delle misure sono dette casuali, mentre quelle che non possono essere trattate

formattare il testo fornito utilizzando tag html è il seguente:

Statisticamente sono dette errori sistematici. Comuni sorgenti di incertezze casuali sono piccoli errori di valutazione dell'osservatore (interpolazione), piccoli errori di lettura dell'apparato, è l'errore di disturbi problemi di definizione, mentre un esempio di errore sistematico è la calibrazione degli strumenti.

Supponiamo di fare N misure di una grandezza, sempre con lo stesso apparato e la stessa procedura, trovando così valori. La migliore stima per è la media delle misure:

Dato che la media è la migliore stima, si calcola la differenza, spesso chiamata scarto, data da, che dice quanto la misura esima differisce dalla media.

Se gli scarti sono molto piccoli, allora le misure sono vicine tra loro e probabilmente molto precise. Per stimare l'attendibilità delle misure potremmo fare la media degli scarti, ma solitamente è pari a zero (può essere maggiore o minore di 0), quindi non avremmo alcuna informazione utile.

Il modo migliore di

evitare questo inconveniente sarebbe elevare al quadrato tutti gli scarti, così da avere un insieme di numeri positivi, e poi mediarli (un altro metodo sarebbe considerare il valore assoluto degli scarti, ma considerando la media degli scarti al quadrato si ottengono informazioni più utili). Estraendo poi la radice quadrata del risultato otteniamo la deviazione standard, definita come una stima della incertezza media delle misure. La sua espressione è: <math>σ = √(Σ(x - μ)² / N)</math> Si noti bene che al denominatore è spesso presente anche unicamente N, ma nel caso in cui si ha N - 1 si ottiene una deviazione migliore. Quando è presente N - 1 si parla di deviazione standard della popolazione, mentre si ha deviazione standard del campione. La varianza è data invece dalla radice quadrata della deviazione standard: <math>σ² = Σ(x - μ)² / N</math> La differenza tra la deviazione standard della popolazione e quella del campione è insignificante numericamente, ma la formula con N - 1 fornisce un risultato più grande, e questo corregge.cui si è ottenuto quel valore. In questo modo si può costruire un grafico chiamato istogramma,che rappresenta la distribuzione dei valori misurati. L'istogramma è costituito da una serie dibarre verticali, ognuna delle quali rappresenta un intervallo di valori. L'altezza di ciascunabarre corrisponde al numero di volte in cui si è ottenuto un valore all'interno di quell'intervallo.Il grafico dell'istogramma permette di visualizzare la forma della distribuzione dei valori misurati.Se la distribuzione è approssimativamente simmetrica rispetto a un valore centrale, allora si puòipotizzare che i valori siano distribuiti secondo una distribuzione normale o a campana. Questotipo di distribuzione è caratterizzato da una curva simmetrica che raggiunge un massimo in corrispondenza del valore centrale e poi decresce simmetricamente ai lati. La curva normale èdescritta da una formula matematica chiamata funzione di densità di probabilità. La funzione didensità di probabilità permette di calcolare la probabilità che una misura cada in un determinatointervallo di valori. La curva normale è completamente determinata da due parametri: la media e ladispersione. La media rappresenta il valore centrale della distribuzione, mentre la dispersione, chiamata anche deviazione standard, rappresenta la misura dell'incertezza delle misure. La deviazione standard indica quanto i valori si discostano dalla media. Maggiore è la deviazione standard, maggiore è l'incertezza delle misure.

cui ciascun valore è stato trovato. Si passa poi a calcolare la media dei valori ottenuti. In questo caso è possibile calcolare anche la media pesata, data da: introdurre il concetto di frazione per indicare il numero di volte in cui un risultato occorre. Le frazioni specificano la distribuzione dei risultati. Quindi la formula della media si può riscrivere come: Inoltre si ha che: . Qualunque insieme di numeri la cui somma è 1 è detta normalizzata e la relazione precedente è detta condizione di normalizzazione. La distribuzione delle figure può essere evidenziata in un istogramma: spesso conviene dividere la serie di valori in un numero conveniente di intervalli e contare quanti valori cadono in ciascun intervallo. Chiaramente la larghezza degli intervalli deve essere scelta in modo tale che vi siano parecchie letture in ciascuno dei diversi intervalli. Più misure si hanno, più l'istogramma comincia ad

a una semplice forma definita all'infinito. Quando il numero di misure si avvicina, la loro distribuzione si avvicina a una curva continua, definita, detta distribuzione limite. Una distribuzione limite definisce una funzione. All'aumentare del numero di misure della grandezza, l'istogramma diventa sempre più indistinguibile dalla curva limite. Quindi abbiamo che una frazione di misure cade tra x e y. Se conoscessimo la distribuzione limite per la misura di una data grandezza ottenuta con una data strumentazione, allora conosceremmo la probabilità di ottenere un risultato in un qualsiasi intervallo. Dal momento che la probabilità totale di ottenere un risultato in qualunque punto tra x e y dovrebbe essere uno, la distribuzione limite deve soddisfare una funzione che soddisfa questa condizione è detta normalizzata. L'espressione ora, avendo un numero enorme di misure con distribuzione del valore medio, diventa: questa formula fornisce.