Istituzioni di matematica - Appunti con formule e dimostrazioni
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( ) ( ) ( )
| ( )
In questo caso, si dice che f tende al limite L da destra per x che tende a x , e si scrive:
0
( )
Similmente, si definisce limite sinistro della funzione f per x che tende a x un numero reale L є tale che:
0
( ) ( ) ( )
| ( )
In questo caso, si dice che f tende al limite L da sinistra per x che tende a x , e si scrive:
0
( )
25. Algebra dei limiti
Siano f e g due funzioni reali che ammettono limite per x che tende a x .
0
Valgono le seguenti proprietà:
( ) ( )
( ) ( )]
[ ( ) ( )
( ) ( )]
[ ( ) ( )
26. Teorema del confronto (o dei due carabinieri)
Siano f, g e h tre funzioni reali definite in un intervallo A e un punto di accumulazione x є A.
0
Se i limiti delle funzioni f e h per x x coincidono, cioè se:
0 ( ) ( )
Se esiste un intorno U di x tale che:
0 ( ) ( ) ( ) { }
Allora anche il limite della funzione g per x x sarà pari a l, ossia:
0 ( )
Dimostrazione
Secondo la definizione di limite, per ogni numero reale ε > 0 esiste un intorno U di x appartenente al
0
dominio della funzione considerata.
Date tre funzioni f, g e h definite in uno stesso intervallo, eccettuato al più il punto x , varrà quindi che:
0
( ) { }
( ) { }
Il numero reale l è il valore dei limiti delle funzioni f e h per x x (uguali secondo il teorema), mentre U e
0 1
U sono gli intorni del punto x per tali limiti.
2 0
Ipotizzando che la funzione g sia compresa tra f e h, cioè che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), si potrà affermare che:
( ) { }
( ) ( ) 9
( ) { }
In altre parole, anche il limite di g per x x vale l.
0
27. Forme indeterminate
Nell’ambito del calcolo dei limiti, si definiscono forme indeterminate (o forme di indecisione) le situazioni
che seguono:
Le forme indeterminate non sono risolvibili valutando le funzioni per x tendente a un determinato valore.
Spesso richiedono alcune semplificazioni algebriche o l’applicazione di metodi particolari.
28. Risoluzione della forma indeterminata senx/x per x 0
Si dimostra che il limite per x 0 della funzione f(x) = sen x/x, riconducibile alla forma indeterminata 0/0, è
pari a 1.
Dimostrazione
La circonferenza goniometrica mostra che, per gli angoli di ampiezza x compresa nell’intervallo (0, π/2),
vale la relazione seguente:
Ricordando che la tangente è pari al rapporto di seno e coseno, si calcola il reciproco di ciascun termine e lo
si moltiplica per sen x:
Stando al teorema del confronto e poiché cos x = 1 per x 0, il rapporto sen x/x non può che tendere
anch’esso ad 1.
29. Funzioni equivalenti (o asintotiche)
Siano f e g due generiche funzione reali ed x є .
0
La funzione f si definisce equivalente o asintotica alla funzione g per x che tende a x se esiste il limite del
0
rapporto di f e g ed è pari a 1. In altre parole: ( )
( )
NOTA: nel limite di un prodotto o di un rapporto di funzioni è possibile sostituire queste ultime con funzioni
equivalenti per sciogliere alcune forme indeterminate.
10
30. Funzioni trascurabili (o funzioni “o piccolo”)
Siano f e g due generiche funzione reali ed x є .
0
La funzione f si definisce trascurabile o “o piccolo” o infinitesima rispetto alla funzione g per x che tende a
x se esiste il limite del rapporto di f e g ed è pari a 0. In altre parole:
0 ( )
( ) ( )
NOTA: in questo caso, il limite per x x della somma (algebrica) delle funzioni f e g, con f = o(g) è pari al
0
limite di g per la stessa tendenza.
31. Relazione tra funzioni equivalenti e trascurabili
Date le definizioni di funzione equivalente e di funzione trascurabile, si stabilisce il seguente legame:
( ) ( ) ( ( ))
Infatti, con un semplice passaggio algebrico si dimostra che: ( )
( ) ( )
( ) ( )
Ricorrendo alle nozioni di funzione equivalente e di funzione trascurabile, è quindi possibile stabilire che
una funzione g è trascurabile rispetto a una funzione f se quest’ultima è un infinito di ordine superiore o un
infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g, per x tendente a un valore determinato.
32. Gli asintoti
Sia f una generica funzione reale.
Si definisce asintoto per f una retta verticale, orizzontale o obliqua a cui si avvicina la funzione f per x
tendente a un determinato valore.
È asintoto verticale per la funzione f la retta verticale x = x tale che:
0
( )
NOTA: una funzione può tendere a un asintoto verticale solo da destra o solo da sinistra, o anche in modo
disgiunto da ambedue i lati.
È asintoto orizzontale per la funzione f la retta orizzontale y = k tale che:
( )
È asintoto obliquo per la funzione f la retta obliqua y = mx + q tale che:
( ) ( )
NOTA: se una funzione ammette asintoto orizzontale per x ±∞ non può ammettere asintoto obliquo per
la stessa tendenza (e viceversa). 11
33. Definizione di funzione continua
Sia f una generica funzione reale ed x є .
0
La funzione f è continua nel punto x se e solo se esiste il limite (bilatero) della funzione per x che tende a x
0 0
ed è pari a f(x ). In altre parole se:
0 ( )
( ) ( )
NOTA: la classe delle funzioni continue è chiusa rispetto all’operazione di composizione, cioè le funzioni
risultanti dalla composizione di funzioni continue sono a loro volta continue.
34. Classificazione delle discontinuità
Sia f una generica funzione reale definita in un intervallo [a,b] a meno, eventualmente, di un punto di
accumulazione x є [a,b].
0
La funzione f presenta nel punto x una discontinuità di prima specie (o salto) se i limiti destro e sinistro
0
della funzione per x che tende a x sono finiti ma non coincidono, cioè se:
0 ( ) ( )
NOTA: un tipico esempio di discontinuità di prima specie si ha nel caso della funzione seguente, che è
definita per ogni x ≠ 0 e vale 1 se x > 0, -1 se x < 0. ( ) | |
La funzione f presenta nel punto x una discontinuità di seconda specie se almeno uno tra limite destro e
0
limite sinistro della funzione per x che tende a x è infinito o inesistente.
0
NOTA: tipici esempi di discontinuità di seconda specie si hanno nel caso dell’iperbole per x 0 e della
tangente per x π/2.
La funzione f presenta nel punto x una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) se
0
esistono, coincidono e sono finiti il limite destro e il limite sinistro della funzione per x che tende a x , ma il
0
loro valore è diverso da f(x ), ossia:
0 ( )
( ) ( )
NOTA: un esempio di discontinuità di terza specie si ha per la funzione seguente, ponendo f(0) pari al limite
della funzione per x 0 (cioè 1). ( )
35. Teorema di Weierstrass
Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato.
La funzione f assume necessariamente massimo e minimo in [a,b], cioè:
( )
[ ] [ ]
| ( ) ( )
12
36. Teorema di Bolzano (o degli zeri)
Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, tale che:
( ) ( )
Esiste necessariamente un valore x є (a,b) in corrispondenza del quale la funzione f si annulla, cioè:
0 ( ) ( )
|
37. Teorema dei valori intermedi
Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato.
La funzione f assume necessariamente nell’intervallo (a,b) tutti i valori compresi tra gli estremi superiore e
inferiore per l’intervallo, cioè: ( ) ( )
| |
[ ] [ ]
13
CALCOLO DIFFERENZIALE
38. Il rapporto incrementale
Sia f una generica funzione reale e h є un valore reale non nullo detto incremento della variabile
indipendente x.
Si definisce rapporto incrementale della funzione f per l’incremento h, il rapporto:
( ) ( )
( )
Il rapporto incrementale esprime l’incremento che la funzione f subisce nel tratto compreso tra x e (x + h)
ed equivale al coefficiente angolare della retta secante la funzione nei punti (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)).
39. La derivata
Sia f una generica funzione reale ed R (x) il rapporto incrementale della funzione f per un determinato
h
incremento h є della variabile x, ovviamente non nullo.
Si definisce derivata prima della funzione f e si indica f’ il limite del rapporto incrementale così definito:
( ) ( )
( )
Al tendere di h a 0, il rapporto incrementale R (x) tende a coincidere con il coefficiente angolare della retta
h
tangente la funzione in x, pertanto la derivata prima della funzione indica la sua pendenza in quel punto.
NOTA: in conseguenza di ciò, l’equazione della retta tangente la funzione f nel determinato punto (x , f(x ))
0 0
è data dalla seguente espressione. ( ) ( ) ( )
40. La funzione derivata
Sia f una generica funzione reale e A’ l’insieme dei valori di x tale che:
( )
È possibile definire sull’insieme A’ la funzione derivata f’ della funzione f, che associa ad ogni valore x є A’ la
sua derivata.
41. Derivata destra e derivata sinistra
Sia f una generica funzione reale ed x є .
0
La funzione f è derivabile nel punto x se è continua per x = x ed esistono, coincidono e sono finiti il limite
0 0
destro e il limite sinistro del rapporto incrementale di f(x ), cioè se:
0
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Tali limiti si dicono rispettivamente derivata sinistra e derivata destra della funzione f nel punto x .
0
14
42. Regole di derivazione elementari
Sia f una generica funzione reale.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) √
( ) ( ) √
43. Derivata del prodotto
Siano f e g due generiche funzioni reali, entrambe derivabili in x.
( ) ( )
[ ( ) ( )] ( ) ( )
Dimostrazione
Stando alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale vale la scrittura:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )]
[
Sottraendo e sommando il parametro f(x + h) ∙ g(x) al numeratore del rapporto incrementale si ottiene che:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )]
[
E raccogliendo nell’ordine i parametri f(x + h) e g(x), risulta:
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )] ( )
[ ( )
Infine, ricordando che h 0 e che il limite è un’operazione lineare rispetto alla somma, tale scrittura
esprime la seguente uguaglianza: 15
( ) ( )] ( ) ( )
[ ( ) ( )
44. Derivata del quoziente
Siano f e g due generiche funzioni reali, entrambe derivabili in x con g(x) ≠ 0.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[
( ) ( )]
45. Derivata della funzione composta
Siano f e g due generiche funzioni reali, entrambe derivabili in x.
La derivata della funzione composta f[g(x)] è data dal prodotto della derivata della funzione esterna f,
valutata in g, e dalla derivata della funzione g, cioè:
( ))] ( ))
[ ( ( ( )
46. Derivata della funzione inversa
Sia f una generica funzione derivabile in x, che ammetta funzione inversa.
-1
La derivata della funzione inversa f è così definita:
( )]
[ ( )]
[
47. Punti stazionari: massimi e minimi
Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b). Sia un generico punto x є
0
(a,b) tale che f’(x ) = 0.
0
Il punto x è un massimo locale della funzione f se e solo se:
0 ( ) ( ) ( ) ( )
Il punto x è un minimo locale della funzione f se e solo se:
0 ( ) ( ) ( ) ( )
NOTA: estendendo le nozioni di massimo e minimo locale all’intero dominio della funzione f è possibile
stabilirne l’eventuale natura di punti di massimo o minimo assoluti della funzione stessa.
48. Teorema di Fermat
Sia f una funzione reale derivabile in un punto x interno al dominio della funzione e massimo o minimo per
0
essa.
Allora la derivata della funzione f’(x ) = 0.
0
Dimostrazione
Si suppone che il punto x sia un massimo relativo della funzione f.
0 16
Necessariamente, esisterà un intorno I(x , δ) con δ > 0 tale che (per definizione di massimo):
0 ( ) ( ) ( )
Preso un valore h tale che |h| < δ dovrà anche valere che:
( ) ( )
Infatti, f(x + h) è ancora un punto dell’intorno I(x , δ).
0 0
In particolare, il rapporto incrementale definito per il tratto compreso tra i punti (x , f(x )) e (x + h, f(x + h))
0 0 0 0
avrà la seguente caratteristica:
( ) ( ) ( )
{ ( )
Al limite, cioè per h 0 da destra o da sinistra, il segno del rapporto incrementale rispetterà le stesse
condizioni. Ma poiché, per ipotesi, la funzione f è derivabile nel punto x dovrà risultare che:
0
( ) ( ) ( )
NOTA: si può condurre una dimostrazione analoga ipotizzando che x sia un punto di minimo relativo per la
0
funzione f.
49. Teorema di Rolle
Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b).
Se f(a) = f(b) esiste necessariamente un punto x є (a,b) per cui f’(x ) = 0. In altre parole:
0 0
( ) ( ) ( ) ( )
|
Dimostrazione
Si considerano due punti x , x є [a,b], rispettivamente minimo e massimo assoluti della funzione f, e si
1 2
pone f(a) = f(b).
Varrà la seguente relazione: ( ) ( ) ( ) [ ]
L’esistenza dei punti x e x è comprovata dal teorema di Weierstrass.
1 2
Se almeno uno dei due punti x e x è interno all’intervallo [a,b] (cioè non coincidente con gli estremi) la
1 2
derivata di f in quel punto dovrà essere nulla, stando al teorema di Fermat.
Nel caso particolare in cui i punti x e x non siano interni all’intervallo [a,b], si avrà che a = x e b = x (o
1 2 1 2
viceversa) e si potrà scrivere che: ( ) ( ) ( ) [ ]
Ma essendo, per ipotesi, f(a) = f(b): ( ) ( ) ( ) [ ]
Ne consegue che la funzione f è costante nell’intervallo [a,b] ed f’(x) = 0 per ogni x є [a,b].
50. Teorema di Lagrange
Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b).
17
Esiste necessariamente un punto x є (a,b) per cui f’(x ) è pari al coefficiente angolare della retta passante
0 0
per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). In altre parole: ( ) ( )
( ) ( )
|
Dimostrazione
Si sottrae alla funzione f l’equazione della retta secante i punti (a, f(a) e (b, f(b) per eliminarne l’inclinazione
e ricondursi al caso del teorema di Rolle (che pone f(a) = f(b)).
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ( )]
Infatti, la nuova funzione g risulta uguale ponendo x = a e x = b, cioè g(a) = g(b) = 0.
Ora, essendo la funzione g definita a partire da f e perciò derivabile nell’intervallo (a,b), si può calcolarne la
derivata come segue: ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Per il teorema di Rolle, ora applicabile, dovrà esistere un punto x є (a,b) per cui g’(x ) = 0.
0 0
Dunque, riprendendo la formula della derivata della funzione g, si conclude che:
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
51. Criterio di monotonia
Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b).
La funzione f è strettamente crescente nell’intervallo (a,b) se e solo se:
( ) ( )
La funzione f è strettamente decrescente nell’intervallo (a,b) se e solo se:
( ) ( )
Dimostrazione
Si considerano due punti x e x dell’intervallo (a,b) tali che x < x .
1 2 1 2
Se la funzione f è strettamente crescente nell’intervallo (a,b) deve risultare che f(x ) < f(x ).
1 2
Per il teorema di Lagrange, deve esistere nell’intervallo [x , x ] incluso in (a,b), un punto x tale che:
1 2 0
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Poiché la derivata f’(x ) è positiva per ipotesi e così la differenza x - x , perché valga l’uguaglianza anche
0 2 1
f(x ) - f(x ) deve essere maggiore di 0.
2 1
Si può pertanto concludere che: ( ) ( ) ( ) ( )
18
52. Regola di de l’Hôpital
Siano f e g due funzioni reali definite e derivabili nell’intorno I di un punto x (finito o infinito) escluso x
0 0
stesso, tali che: ( )
( ) ( ) ( )
( )
Allora, vale la seguente regola: ( ) ( )
( ) ( )
NOTA: la regole di de l’Hôpital consente di sciogliere alcune forme determinate del tipo ∞/∞.
53. Derivata seconda
Sia f una generica funzione reale derivabile in un dato intervallo e sia f’ la funzione derivata di f, anch’essa
derivabile.
Si definisce derivata seconda (o del secondo ordine) della funzione f e si indica f’’ la derivata di f’.
NOTA: allo stesso modo è possibile definire per la funzione f le derivate di ordine superiore (n-esimo).
54. Funzioni concave, convesse e punti di flesso
Sia f una generica funzione reale definita in un intervallo [a,b] e x , x due punti di I tali che x < x . Sia P il
1 2 1 2
punto della funzione f di coordinate (x , f(x )) e Q il punto della funzione f di coordinate (x , f(x )).
1 1 2 2
La funzione f è convessa (o concava verso l’alto) nell’intervallo (a,b) se e solo se il segmento PQ si trova
interamente sopra il grafico della funzione.
La funzione f è concava (o concava verso il basso) nell’intervallo (a,b) se e solo se il segmento PQ si trova
interamente sotto il grafico della funzione.
Se la funzione f è derivabile due volte nell’intervallo [a,b] essa è convessa nell’intervallo se e solo se:
( ) ( )
Analogamente, se la funzione f è derivabile due volte in [a,b] essa è concava nell’intervallo se e solo se:
( ) ( )
Un punto x є (a,b) tale che la funzione f abbia concavità opposta negli intorni destro e sinistro di x si
0 0
definisce punto di flesso di f ed è tale che: ( )
NOTA: in corrispondenza di un punto di flesso la funzione f attraversa la retta tangente la funzione in quel
punto.
55. Sviluppi di Taylor
Sia una funzione reale f derivabile n volte in un punto x del suo intervallo di definizione.
0
Esiste un unico polinomio T(x) di grado minore o uguale a n detto polinomio di Taylor di ordine n centrato
in x , così definito:
0 19
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