Istituzioni di matematica - Appunti con formule e dimostrazioni

I NUMERI REALI

1. Richiami sugli insiemi numerici

Si definisce insieme una collezione di oggetti, detti elementi.

Gli insiemi sono normalmente contrassegnati da lettere maiuscole, mentre i loro elementi da lettere

minuscole.

Si denota l’insieme dei numeri naturali, così composto:

{ }

Si denota l’insieme dei numeri interi relativi, così composto: |

{ } { } { }

Si denota l’insieme dei numeri razionali, così composto:

{ | }

Si denota l’insieme dei numeri reali, tale che:

Sono elementi dell’insieme i numeri irrazionali algebrici (come la radice quadrata di 2) e trascendenti

(come π).

2. Rappresentazione geometrica dei numeri reali

Essendo l’insieme R infinitamente denso, si può stabilire una corrispondenza biunivoca tra i numeri reali e i

punti di una retta, detta retta numerica o retta reale, ottenendo la seguente rappresentazione.

3. Assioma di completezza

Siano A e B due insiemi non vuoti di numeri reali per i quali valga la seguente proprietà:

Necessariamente, esiste almeno un numero reale c tale che:

NOTA: l’assioma di completezza sembra esprimere un concetto ovvio, tuttavia non è valido per tutti gli

insiemi numerici. 1

4. Valore assoluto

Si definisce valore assoluto o modulo di un numero reale a, il numero reale |a| tale che:

| | {

5. Massimo, minimo, estremi superiore ed inferiore

Sia A un generico insieme di numeri reali, cioè A є .

Si definisce massimo dell’insieme A un numero reale M є A tale che:

Si definisce minimo dell’insieme A un numero reale m є A tale che:

I numeri reali aventi le proprietà di massimo o minimo rispetto a un insieme A ma che non appartengono

ad A, si definiscono rispettivamente maggioranti o minoranti di A.

Se un insieme A ammette un maggiorante si dice limitato superiormente; se ammette un minorante si dice

limitato inferiormente; se ammette sia un maggiorante, sia un minorante è semplicemente limitato.

Si dice estremo superiore di A e si indica sup(A) il minore dei suoi maggioranti.

Si dice estremo inferiore di A e si indica inf(A) il maggiore dei suoi minoranti.

NOTA: non tutti gli insiemi di numeri reali comprendono necessariamente un massimo o un minimo, né

sono necessariamente limitati. 2

LE FUNZIONI REALI

6. Definizione di funzione

Siano A e B due insiemi non vuoti. 

Si dice funzione (o applicazione) definita in A e a valori in B, una legge f: A B che ad ogni elemento di A

associa uno e un solo elemento di B.

In questo caso, l’insieme A costituisce il dominio della funzione f, l’insieme B il codominio.

Si definisce immagine della funzione f il sottoinsieme di B (al più coincidente con B) i cui elementi (detti

immagini) sono associati agli elementi dell’insieme A (detti controimmagini o preimmagini) attraverso f.

7. Funzione inversa



Sia f: A B una generica funzione definita nell’insieme A e a valori in B.



-1

Si definisce inversa della funzione f la funzione f : B A definita in B e a valori in A, tale che:

( ))

( ( ))

(

NOTA: le funzioni che ammettono la definizione dell’inversa si dicono invertibili e non tutte lo sono.

8. Composizione di funzioni

 

Siano f: A B e g: B C due generiche funzioni, l’una definita in A e a valori in B, l’altra definita in B e a

valori in C.

Si dice composta di f e g la funzione così definita:

( )( ) [ ( )]

Essa è ottenuta a partire da f(x) (detta funzione interna), applicando a quest’ultima la funzione g (funzione

esterna)

Perché due funzioni siano componibili è necessario che il dominio della funzione esterna coincida con

l’immagine della funzione interna.

9. Classificazione insiemistica delle funzioni



Sia f: A B una generica funzione definita in A e a valori in B.

La funzione f è iniettiva se e solo se ad elementi distinti del dominio A associa elementi distinti del

codominio B, cioè se è tale che: ( ) ( )

La funzione f è suriettiva se e solo se la sua immagine coincide con il codominio B, cioè se:

( )

|

La funzione f è biiettiva o biunivoca se è sia iniettiva, sia suriettiva.

3

NOTA: le funzioni biunivoche sono le sole invertibili.

10. Rappresentazione grafica delle funzioni



Sia f: A B una funzione definita in A e a valori in B, con A, B є .

Costituisce il grafico della funzione f l’insieme G delle coppie ordinate (a,b) così definito:

)

{( | ( )}

Nella rappresentazione cartesiana di tale grafico, si considerano due rette perpendicolari dette assi (l’una

ascissa, l’altra ordinata), che si intersecano in un punto O detto origine degli assi. Fissata una direzione

positiva delle rette ed un’unità di misura, ogni valore della funzione f da rappresentare corrisponde a un

punto (a,b) la cui distanza lungo l’asse delle ascisse corrisponde alla lunghezza del segmento Oa e lungo

l’asse delle ordinate alla lunghezza del segmento Ob.

11. Funzioni crescenti e decrescenti

Sia f una funzione definita in un insieme A.

La funzione f è crescente se: ( ) ( )

La funzione f è strettamente crescente se: ( ) ( )

La funzione f è decrescente se: ( ) ( )

La funzione f è strettamente decrescente se: ( ) ( )

NOTA: le funzioni che rispettano una delle suddette condizioni si dicono monotòne e strettamente

monotòne se sono strettamente crescenti o strettamente decrescenti; in ogni caso sono sempre invertibili.

12. Funzioni lineari: la retta

Si definisce funzione lineare una funzione reale f della forma:

( )

La funzione f così definita rappresenta graficamente una retta.

I parametri m e q sono valori di e sono detti rispettivamente coefficiente angolare (o pendenza) e

intercetta. Il primo determina l’inclinazione della retta nel piano cartesiano, il secondo il suo spiazzamento

rispetto all’origine degli assi.

NOTA: le funzioni lineari sono definite per ogni valore di e sono sempre monotòne; sono strettamente

monotòne, e quindi invertibili, se m ≠ 0, cioè se non sono costanti (rette orizzontali).

4

13. Funzioni polinomiali

Si definisce monomio un’espressione algebrica formata dal prodotto di coefficiente noto (costante),

appartenente a un determinato insieme numerico, e di una o più variabili.

Si definisce polinomio un’espressione algebrica formata dalla somma algebrica di più monomi.

Si definisce grado di un polinomio il maggiore esponente fra i suoi termini, cioè fra gli elementi che lo

compongono.

Sono polinomiali le funzioni espresse nella forma di polinomi.

Le funzioni lineari (le rette) sono funzioni polinomiali di primo grado.

2

Le parabole, cioè le funzioni nella forma y = ax + bx + c, sono funzioni polinomiali di secondo grado.

14. La funzione modulo o valore assoluto

Si definisce funzione modulo o funzione valore assoluto la funzione f così definita:

( ) | | {

Per definizione, la funzione modulo ammette le seguenti proprietà:

| |

| |

| | | |

| | | | | |

| |

| | | |

15. La funzione potenza

Sia n un numero naturale, cioè n є .

Si definisce funzione potenza o potenza n-esima di un numero reale x, una funzione reale f della forma:

( ) ( )

La variabile reale x prende il nome di base della potenza, mentre n è detto esponente.

La funzione potenza è definite per ogni valore di e non è sempre invertibile su tutto il suo dominio.

Se la base x ≠ 0, si attribuisce significato anche alla potenza con esponente nullo, e precisamente:

Inoltre, valgono le seguenti proprietà:

( ) ( ) 5

( )

16. La funzione radice

Si definisce funzione radice o radice n-esima di un numero reale x, una funzione reale f della forma:

( ) √

La variabile reale x prende il nome di radicando, mentre n è detto indice della radice.

La radice è l’inversa della funzione potenza, eventualmente ristretta, in quanto non invertibile, ad un

intervallo del suo dominio (x ≥ 0 per n pari).

Equivale a un elevamento a potenza a esponente razionale, dove il numeratore rappresenta il grado del

radicando e il denominatore l’indice della radice.

17. La funzione esponenziale

Si dice esponenziale la funzione f così definita: ( )

La base è un numero reale a > 0 fissato, mentre la variabile x appare in luogo dell’esponente.

La funzione esponenziale è sempre positiva e definita per ogni valore di .

In particolare, è strettamente crescente se a > 1 e strettamente decrescente se a < 1. In entrambi i casi è

ovviamente invertibile, mentre è costante (e non invertibile) esclusivamente per a = 1.

NOTA: tipicamente, si definisce esponenziale la funzione avente per base il numero reale trascendente e,

detto costante di Nepero, pari a circa 2,72.

18. Il logaritmo

Si definisce logaritmo in base a di x la funzione f così definita:

( ) |

Il logaritmo è l’inversa della funzione esponenziale ed essendo quest’ultima sempre positiva il suo dominio

è ristretto a x > 0.

È una funzione strettamente crescente se la base a > 1, mentre è strettamente decrescente per 0 < a < 1.

Inoltre, gode delle seguenti proprietà:

( )

( )

NOTA: quando non si riporta l’indicazione della base si intende tipicamente il logaritmo naturale, denotato

anche ln, cioè il logaritmo in base e. 6

19. Funzioni trigonometriche: seno, coseno, tangente

Fissato un sistema di riferimento cartesiano, si definisce circonferenza goniometrica la circonferenza di

raggio 1 centrata nell’origine degli assi.

Per un generico angolo x, tracciato a partire dall’asse delle ascisse secondo una direzione positiva

(tipicamente in senso antiorario), si definiscono le funzioni seno (sen) e coseno (cos) come l’ordinata e

l’ascissa del punto della circonferenza goniometrica in cui termine l’arco descritto dall’angolo x.

Le funzioni seno e coseno sono definite per ogni valore di . Per definizione, si ha che:

Inoltre, valgono le seguenti proprietà:

( )

( )

Infine, si dice tangente (tan o tg) la funzione f così definita:

Il valore della tangente equivale alla lunghezza del segmento che, nella circonferenza goniometrica,

interseca l’asse delle ascisse al termine del raggio e la prosecuzione immaginaria del segmento ottenuto

tracciando l’angolo x.

È definita per ogni valore di diverso da kπ/2 con k є .

Le funzioni seno, coseno e tangente sono funzioni periodiche, cioè il loro valore si ripete a intervalli

regolari, la cui lunghezza è detta periodo. Precisamente, seno e coseno hanno periodo pari a 2π, la

tangente ha periodo pari a π.

20. Funzioni trigonometriche inverse

In quanto funzioni periodiche, seno, coseno e tangente son