Istituzioni di matematica - Appunti con formule e dimostrazioni

( ) ( ) ( )

| ( )

In questo caso, si dice che f tende al limite L da destra per x che tende a x , e si scrive:

0

( )

Similmente, si definisce limite sinistro della funzione f per x che tende a x un numero reale L є tale che:

0

( ) ( ) ( )

| ( )

In questo caso, si dice che f tende al limite L da sinistra per x che tende a x , e si scrive:

0

( )

25. Algebra dei limiti

Siano f e g due funzioni reali che ammettono limite per x che tende a x .

0

Valgono le seguenti proprietà:

( ) ( )

( ) ( )]

[ ( ) ( )

( ) ( )]

[ ( ) ( )

26. Teorema del confronto (o dei due carabinieri)

Siano f, g e h tre funzioni reali definite in un intervallo A e un punto di accumulazione x є A.

0



Se i limiti delle funzioni f e h per x x coincidono, cioè se:

0 ( ) ( )

Se esiste un intorno U di x tale che:

0 ( ) ( ) ( ) { }



Allora anche il limite della funzione g per x x sarà pari a l, ossia:

0 ( )

Dimostrazione

Secondo la definizione di limite, per ogni numero reale ε > 0 esiste un intorno U di x appartenente al

0

dominio della funzione considerata.

Date tre funzioni f, g e h definite in uno stesso intervallo, eccettuato al più il punto x , varrà quindi che:

0

( ) { }

( ) { } 

Il numero reale l è il valore dei limiti delle funzioni f e h per x x (uguali secondo il teorema), mentre U e

0 1

U sono gli intorni del punto x per tali limiti.

2 0

Ipotizzando che la funzione g sia compresa tra f e h, cioè che f(x) ≤ g(x) ≤ h(x), si potrà affermare che:

( ) { }

( ) ( ) 9

( ) { }



In altre parole, anche il limite di g per x x vale l.

0

27. Forme indeterminate

Nell’ambito del calcolo dei limiti, si definiscono forme indeterminate (o forme di indecisione) le situazioni

che seguono:

Le forme indeterminate non sono risolvibili valutando le funzioni per x tendente a un determinato valore.

Spesso richiedono alcune semplificazioni algebriche o l’applicazione di metodi particolari.



28. Risoluzione della forma indeterminata senx/x per x 0



Si dimostra che il limite per x 0 della funzione f(x) = sen x/x, riconducibile alla forma indeterminata 0/0, è

pari a 1.

Dimostrazione

La circonferenza goniometrica mostra che, per gli angoli di ampiezza x compresa nell’intervallo (0, π/2),

vale la relazione seguente:

Ricordando che la tangente è pari al rapporto di seno e coseno, si calcola il reciproco di ciascun termine e lo

si moltiplica per sen x: 

Stando al teorema del confronto e poiché cos x = 1 per x 0, il rapporto sen x/x non può che tendere

anch’esso ad 1.

29. Funzioni equivalenti (o asintotiche)

Siano f e g due generiche funzione reali ed x є .

0

La funzione f si definisce equivalente o asintotica alla funzione g per x che tende a x se esiste il limite del

0

rapporto di f e g ed è pari a 1. In altre parole: ( )

( )

NOTA: nel limite di un prodotto o di un rapporto di funzioni è possibile sostituire queste ultime con funzioni

equivalenti per sciogliere alcune forme indeterminate.

10

30. Funzioni trascurabili (o funzioni “o piccolo”)

Siano f e g due generiche funzione reali ed x є .

0

La funzione f si definisce trascurabile o “o piccolo” o infinitesima rispetto alla funzione g per x che tende a

x se esiste il limite del rapporto di f e g ed è pari a 0. In altre parole:

0 ( )

( ) ( )



NOTA: in questo caso, il limite per x x della somma (algebrica) delle funzioni f e g, con f = o(g) è pari al

0

limite di g per la stessa tendenza.

31. Relazione tra funzioni equivalenti e trascurabili

Date le definizioni di funzione equivalente e di funzione trascurabile, si stabilisce il seguente legame:

( ) ( ) ( ( ))

Infatti, con un semplice passaggio algebrico si dimostra che: ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ricorrendo alle nozioni di funzione equivalente e di funzione trascurabile, è quindi possibile stabilire che

una funzione g è trascurabile rispetto a una funzione f se quest’ultima è un infinito di ordine superiore o un

infinitesimo di ordine inferiore rispetto a g, per x tendente a un valore determinato.

32. Gli asintoti

Sia f una generica funzione reale.

Si definisce asintoto per f una retta verticale, orizzontale o obliqua a cui si avvicina la funzione f per x

tendente a un determinato valore.

È asintoto verticale per la funzione f la retta verticale x = x tale che:

0

( )

NOTA: una funzione può tendere a un asintoto verticale solo da destra o solo da sinistra, o anche in modo

disgiunto da ambedue i lati.

È asintoto orizzontale per la funzione f la retta orizzontale y = k tale che:

( )

È asintoto obliquo per la funzione f la retta obliqua y = mx + q tale che:

( ) ( ) 

NOTA: se una funzione ammette asintoto orizzontale per x ±∞ non può ammettere asintoto obliquo per

la stessa tendenza (e viceversa). 11

33. Definizione di funzione continua

Sia f una generica funzione reale ed x є .

0

La funzione f è continua nel punto x se e solo se esiste il limite (bilatero) della funzione per x che tende a x

0 0

ed è pari a f(x ). In altre parole se:

0 ( )

( ) ( )

NOTA: la classe delle funzioni continue è chiusa rispetto all’operazione di composizione, cioè le funzioni

risultanti dalla composizione di funzioni continue sono a loro volta continue.

34. Classificazione delle discontinuità

Sia f una generica funzione reale definita in un intervallo [a,b] a meno, eventualmente, di un punto di

accumulazione x є [a,b].

0

La funzione f presenta nel punto x una discontinuità di prima specie (o salto) se i limiti destro e sinistro

0

della funzione per x che tende a x sono finiti ma non coincidono, cioè se:

0 ( ) ( )

NOTA: un tipico esempio di discontinuità di prima specie si ha nel caso della funzione seguente, che è

definita per ogni x ≠ 0 e vale 1 se x > 0, -1 se x < 0. ( ) | |

La funzione f presenta nel punto x una discontinuità di seconda specie se almeno uno tra limite destro e

0

limite sinistro della funzione per x che tende a x è infinito o inesistente.

0 

NOTA: tipici esempi di discontinuità di seconda specie si hanno nel caso dell’iperbole per x 0 e della



tangente per x π/2.

La funzione f presenta nel punto x una discontinuità di terza specie (o discontinuità eliminabile) se

0

esistono, coincidono e sono finiti il limite destro e il limite sinistro della funzione per x che tende a x , ma il

0

loro valore è diverso da f(x ), ossia:

0 ( )

( ) ( )

NOTA: un esempio di discontinuità di terza specie si ha per la funzione seguente, ponendo f(0) pari al limite



della funzione per x 0 (cioè 1). ( )

35. Teorema di Weierstrass

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato.

La funzione f assume necessariamente massimo e minimo in [a,b], cioè:

( )

[ ] [ ]

| ( ) ( )

12

36. Teorema di Bolzano (o degli zeri)

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato, tale che:

( ) ( )

Esiste necessariamente un valore x є (a,b) in corrispondenza del quale la funzione f si annulla, cioè:

0 ( ) ( )

|

37. Teorema dei valori intermedi

Sia f una funzione continua in un intervallo [a,b] chiuso e limitato.

La funzione f assume necessariamente nell’intervallo (a,b) tutti i valori compresi tra gli estremi superiore e

inferiore per l’intervallo, cioè: ( ) ( )

| |

[ ] [ ]

13

CALCOLO DIFFERENZIALE

38. Il rapporto incrementale

Sia f una generica funzione reale e h є un valore reale non nullo detto incremento della variabile

indipendente x.

Si definisce rapporto incrementale della funzione f per l’incremento h, il rapporto:

( ) ( )

( )

Il rapporto incrementale esprime l’incremento che la funzione f subisce nel tratto compreso tra x e (x + h)

ed equivale al coefficiente angolare della retta secante la funzione nei punti (x, f(x)) e (x + h, f(x + h)).

39. La derivata

Sia f una generica funzione reale ed R (x) il rapporto incrementale della funzione f per un determinato

h

incremento h є della variabile x, ovviamente non nullo.

Si definisce derivata prima della funzione f e si indica f’ il limite del rapporto incrementale così definito:

( ) ( )

( )

Al tendere di h a 0, il rapporto incrementale R (x) tende a coincidere con il coefficiente angolare della retta

h

tangente la funzione in x, pertanto la derivata prima della funzione indica la sua pendenza in quel punto.

NOTA: in conseguenza di ciò, l’equazione della retta tangente la funzione f nel determinato punto (x , f(x ))

0 0

è data dalla seguente espressione. ( ) ( ) ( )

40. La funzione derivata

Sia f una generica funzione reale e A’ l’insieme dei valori di x tale che:

( )

È possibile definire sull’insieme A’ la funzione derivata f’ della funzione f, che associa ad ogni valore x є A’ la

sua derivata.

41. Derivata destra e derivata sinistra

Sia f una generica funzione reale ed x є .

0

La funzione f è derivabile nel punto x se è continua per x = x ed esistono, coincidono e sono finiti il limite

0 0

destro e il limite sinistro del rapporto incrementale di f(x ), cioè se:

0

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Tali limiti si dicono rispettivamente derivata sinistra e derivata destra della funzione f nel punto x .

0

14

42. Regole di derivazione elementari

Sia f una generica funzione reale.

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) √

( ) ( ) √

43. Derivata del prodotto

Siano f e g due generiche funzioni reali, entrambe derivabili in x.

( ) ( )

[ ( ) ( )] ( ) ( )

Dimostrazione

Stando alla definizione di derivata come limite del rapporto incrementale vale la scrittura:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )]

[

Sottraendo e sommando il parametro f(x + h) ∙ g(x) al numeratore del rapporto incrementale si ottiene che:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )]

[

E raccogliendo nell’ordine i parametri f(x + h) e g(x), risulta:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )] ( )

[ ( )



Infine, ricordando che h 0 e che il limite è un’operazione lineare rispetto alla somma, tale scrittura

esprime la seguente uguaglianza: 15

( ) ( )] ( ) ( )

[ ( ) ( )

44. Derivata del quoziente

Siano f e g due generiche funzioni reali, entrambe derivabili in x con g(x) ≠ 0.

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[

( ) ( )]

45. Derivata della funzione composta

Siano f e g due generiche funzioni reali, entrambe derivabili in x.

La derivata della funzione composta f[g(x)] è data dal prodotto della derivata della funzione esterna f,

valutata in g, e dalla derivata della funzione g, cioè:

( ))] ( ))

[ ( ( ( )

46. Derivata della funzione inversa

Sia f una generica funzione derivabile in x, che ammetta funzione inversa.

-1

La derivata della funzione inversa f è così definita:

( )]

[ ( )]

[

47. Punti stazionari: massimi e minimi

Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b). Sia un generico punto x є

0

(a,b) tale che f’(x ) = 0.

0

Il punto x è un massimo locale della funzione f se e solo se:

0 ( ) ( ) ( ) ( )

Il punto x è un minimo locale della funzione f se e solo se:

0 ( ) ( ) ( ) ( )

NOTA: estendendo le nozioni di massimo e minimo locale all’intero dominio della funzione f è possibile

stabilirne l’eventuale natura di punti di massimo o minimo assoluti della funzione stessa.

48. Teorema di Fermat

Sia f una funzione reale derivabile in un punto x interno al dominio della funzione e massimo o minimo per

0

essa.

Allora la derivata della funzione f’(x ) = 0.

0

Dimostrazione

Si suppone che il punto x sia un massimo relativo della funzione f.

0 16

Necessariamente, esisterà un intorno I(x , δ) con δ > 0 tale che (per definizione di massimo):

0 ( ) ( ) ( )

Preso un valore h tale che |h| < δ dovrà anche valere che:

( ) ( )

Infatti, f(x + h) è ancora un punto dell’intorno I(x , δ).

0 0

In particolare, il rapporto incrementale definito per il tratto compreso tra i punti (x , f(x )) e (x + h, f(x + h))

0 0 0 0

avrà la seguente caratteristica:

( ) ( ) ( )

{ ( )



Al limite, cioè per h 0 da destra o da sinistra, il segno del rapporto incrementale rispetterà le stesse

condizioni. Ma poiché, per ipotesi, la funzione f è derivabile nel punto x dovrà risultare che:

0

( ) ( ) ( )

NOTA: si può condurre una dimostrazione analoga ipotizzando che x sia un punto di minimo relativo per la

0

funzione f.

49. Teorema di Rolle

Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b).

Se f(a) = f(b) esiste necessariamente un punto x є (a,b) per cui f’(x ) = 0. In altre parole:

0 0

( ) ( ) ( ) ( )

|

Dimostrazione

Si considerano due punti x , x є [a,b], rispettivamente minimo e massimo assoluti della funzione f, e si

1 2

pone f(a) = f(b).

Varrà la seguente relazione: ( ) ( ) ( ) [ ]

L’esistenza dei punti x e x è comprovata dal teorema di Weierstrass.

1 2

Se almeno uno dei due punti x e x è interno all’intervallo [a,b] (cioè non coincidente con gli estremi) la

1 2

derivata di f in quel punto dovrà essere nulla, stando al teorema di Fermat.

Nel caso particolare in cui i punti x e x non siano interni all’intervallo [a,b], si avrà che a = x e b = x (o

1 2 1 2

viceversa) e si potrà scrivere che: ( ) ( ) ( ) [ ]

Ma essendo, per ipotesi, f(a) = f(b): ( ) ( ) ( ) [ ]

Ne consegue che la funzione f è costante nell’intervallo [a,b] ed f’(x) = 0 per ogni x є [a,b].

50. Teorema di Lagrange

Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b).

17

Esiste necessariamente un punto x є (a,b) per cui f’(x ) è pari al coefficiente angolare della retta passante

0 0

per i punti (a, f(a)) e (b, f(b)). In altre parole: ( ) ( )

( ) ( )

|

Dimostrazione

Si sottrae alla funzione f l’equazione della retta secante i punti (a, f(a) e (b, f(b) per eliminarne l’inclinazione

e ricondursi al caso del teorema di Rolle (che pone f(a) = f(b)).

( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ( )]

Infatti, la nuova funzione g risulta uguale ponendo x = a e x = b, cioè g(a) = g(b) = 0.

Ora, essendo la funzione g definita a partire da f e perciò derivabile nell’intervallo (a,b), si può calcolarne la

derivata come segue: ( ) ( )

( ) ( ) ( )

Per il teorema di Rolle, ora applicabile, dovrà esistere un punto x є (a,b) per cui g’(x ) = 0.

0 0

Dunque, riprendendo la formula della derivata della funzione g, si conclude che:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

51. Criterio di monotonia

Sia f una funzione reale continua in un intervallo chiuso [a,b] e derivabile in (a,b).

La funzione f è strettamente crescente nell’intervallo (a,b) se e solo se:

( ) ( )

La funzione f è strettamente decrescente nell’intervallo (a,b) se e solo se:

( ) ( )

Dimostrazione

Si considerano due punti x e x dell’intervallo (a,b) tali che x < x .

1 2 1 2

Se la funzione f è strettamente crescente nell’intervallo (a,b) deve risultare che f(x ) < f(x ).

1 2

Per il teorema di Lagrange, deve esistere nell’intervallo [x , x ] incluso in (a,b), un punto x tale che:

1 2 0

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Poiché la derivata f’(x ) è positiva per ipotesi e così la differenza x - x , perché valga l’uguaglianza anche

0 2 1

f(x ) - f(x ) deve essere maggiore di 0.

2 1

Si può pertanto concludere che: ( ) ( ) ( ) ( )

18

52. Regola di de l’Hôpital

Siano f e g due funzioni reali definite e derivabili nell’intorno I di un punto x (finito o infinito) escluso x

0 0

stesso, tali che: ( )

( ) ( ) ( )

( )

Allora, vale la seguente regola: ( ) ( )

( ) ( )

NOTA: la regole di de l’Hôpital consente di sciogliere alcune forme determinate del tipo ∞/∞.

53. Derivata seconda

Sia f una generica funzione reale derivabile in un dato intervallo e sia f’ la funzione derivata di f, anch’essa

derivabile.

Si definisce derivata seconda (o del secondo ordine) della funzione f e si indica f’’ la derivata di f’.

NOTA: allo stesso modo è possibile definire per la funzione f le derivate di ordine superiore (n-esimo).

54. Funzioni concave, convesse e punti di flesso

Sia f una generica funzione reale definita in un intervallo [a,b] e x , x due punti di I tali che x < x . Sia P il

1 2 1 2

punto della funzione f di coordinate (x , f(x )) e Q il punto della funzione f di coordinate (x , f(x )).

1 1 2 2

La funzione f è convessa (o concava verso l’alto) nell’intervallo (a,b) se e solo se il segmento PQ si trova

interamente sopra il grafico della funzione.

La funzione f è concava (o concava verso il basso) nell’intervallo (a,b) se e solo se il segmento PQ si trova

interamente sotto il grafico della funzione.

Se la funzione f è derivabile due volte nell’intervallo [a,b] essa è convessa nell’intervallo se e solo se:

( ) ( )

Analogamente, se la funzione f è derivabile due volte in [a,b] essa è concava nell’intervallo se e solo se:

( ) ( )

Un punto x є (a,b) tale che la funzione f abbia concavità opposta negli intorni destro e sinistro di x si

0 0

definisce punto di flesso di f ed è tale che: ( )

NOTA: in corrispondenza di un punto di flesso la funzione f attraversa la retta tangente la funzione in quel

punto.

55. Sviluppi di Taylor

Sia una funzione reale f derivabile n volte in un punto x del suo intervallo di definizione.

0

Esiste un unico polinomio T(x) di grado minore o uguale a n detto polinomio di Taylor di ordine n centrato

in x , così definito:

0 19