Appunti di Geometria

APUNTI DI

GEOMETRIA 1

PARTE 1:

Insieme vuoto = insieme privo di elementi

(differente dall’insieme contenente l’insieme vuoto )

{ } {∅}

∅ = ≠

{

ℚ = ; , ∈ ℤ, ≠ 0, (, ) = 1}

dimostrazione che (per assurdo):

∉ ℚ

√2

2 2 2

= ⟹ = √2 ⟹ = 2 ⟹ è ⟹ è

√2 2 2 2 2 2

è ⟹ ∃ℎ ∈ ℤ ∶ 2ℎ = ⟹ 4ℎ = 2 ⟹ 2ℎ = ⟹ è ⟹ è

⟹ (, ) = 2 ≠ 1 ⟹ ∉ ℚ

√2

Matrici: = ℎ =

= ( ) ∈ (, , ℝ)

= =

Matrici a scalini: sotto il primo elemento non nullo di una riga

è una matrice a scalini e sotto ogni zero che lo precede vi sono solo

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟺

elementi nulli (partendo da sinistra)

(se una riga è nulla, allora lo sono anche tutte le successive)

Pivot:

Il pivot è il primo termine non nullo di una riga di una matrice.

presenza di un pivot nella colonna dei

Condizione sufficiente all′ = termini noti di una matrice completa

incompatibilità di un sistema

se n = numero di incognite e p = numero di pivot della matrice completa a scalini associata, allora:

−

> ⟹ ∃∞

= ⟹ ∃!

Nei sistemi compatibili le equazioni corrispondenti a righe prive di pivot sono ridondanti e possono

essere eliminate. Le incognite rappresentate da colonne prive di pivot, vanno parametrizzate.

Algoritmo di Gauss:

Procedimento che permette di costruire un sistema a scalini equivalente al sistema di partenza, cioè

di passare da una matrice qualunque, ad una a scalini, operazione sempre possibile.

(due sistemi sono equivalenti se e solo se hanno il medesimo insieme di soluzioni)

Operazioni lecite nell’algoritmo:

1. SCAMBIARE DUE EQUAZIONI (DUE RIGHE);

2. MOLTIPLICARE UN’EQUAZIONE (OGNI ELEMENTO DI UNA RIGA) PER UN NUMERO ;

∈ ℝ

0

3. SOMMARE AD UN’EQUAZIONE (RIGA) UN MULTIPLO REALE (≠ DI UN’ALTRA

0)

̃ ̃ ̃

det = 0 ⟺ det = 0 ∧ det ≠ 0 ⟺ det ≠ 0

2

Matrici quadrate:

= ( ) ∈ (, , ℝ) in tal caso si dice che A è una

⟺= ⟹ matrice quadrata di ordine n

è una matrice quadrata

⋯

11 1 dove la diagonale principale è quella formata dagli elementi , … ,

11

⋮ ⋱ ⋮

=( ) mentre la diagonale secondaria è formata dagli elementi , … ,

1 1

⋯

1

Le diagonali sono definite SOLO su matrici quadrate.

Una matrice quadrata ridotta a scalini è sempre triangolare superiore.

Matrici trasposte:

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ = ( ) ∈ (, , ℝ) è la trasposta di A

matrice che si ottiene scambiando righe con colonne nella matrice di partenza

( ) =

Somma di matrici:

= ( ), = ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ + ≔ ( + ) ∈ (, , ℝ)

Non è definita la somma fra matrici con diverso numero di righe e/o colonne.

Proprietà della somma di matrici:

1. ASSOCIATIVA: ( (

+ ) + = + + ) = + + ∀, , ∈ (, , ℝ);

2. COMMUTATIVA: + =+ ∀, ∈ (, , ℝ);

3. ESIST. dello 0: ∃ ∈ (, , ℝ) ∶ + = ∀ ∈ (, , ℝ);

4. ESIST. della M. OPPOSTA: (−)

∃ − ∈ (, , ℝ) ∶ + = ∀ ∈ (, , ℝ)

5. TRASPOSIZIONE:

( + ) = + ∀, ∈ (, , ℝ);

6. LEG. di CANCELLAZIONE: + = + ⟺ =

(la matrice opposta si ottiene cambiando segno ad ogni elemento della matrice di partenza)

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare:

= ( ) ∈ (, , ℝ), ∈ ℝ ⟹ ≔ ( ) ∈ (, , ℝ)

Proprietà della moltiplicazione di una matrice per uno scalare:

1. h() (ℎ)

= ∀ ∈ (, , ℝ), ∀, ℎ ∈ ℝ;

2. (ℎ + ) = ℎ + ∀ ∈ (, , ℝ), ∀, ℎ ∈ ℝ;

3. ( + ) = + ∀, ∈ (, , ℝ), ∀ ∈ ℝ;

Combinazione lineare di matrici:

= ( ), = ( ) ∈ (, , ℝ); , ℎ ∈ ℝ ⟹ ℎ + ≔

ℎ

(operazione eseguibile con n matrici dello stesso tipo ed n coefficienti)

Matrici simmetriche:

= ( ) ∈ (, , ℝ) ≔ ⟺ = è = ∀,

S(n) è l’insieme delle matrici simmetriche 3

Matrici antisimmetriche:

= ( ) ∈ (, , ℝ) ≔ ⟺ = − è = − ∀,

A(n) è l’insieme delle matrici simmetriche 0

La generica matrice antisimmetrica è:

2 × 2 ( )

− 0

(simmetria e antisimmetria sono definite solo per matrici quadrate)

Matrici triangolari: ⟺ = 0 ∀ >

= ( ) ∈ (, , ℝ) ≔

⟺ = 0 ∀ <

cioè, rispettivamente se tutti gli elementi sotto (sopra) la diagonale principale, sono nulli.

Se una matrice è triangolare e invertibile, la sua inversa sarà triangolare.

La triangolarità (o diagonalità) di una matrice è può essere definita solo su matrici quadrate.

Matrici diagonali:

= ( ) ∈ (, , ℝ) ≔ ⟺ = 0 ∀ ≠

cioè, se tutti gli elementi che non appartengono alla diagonale principale sono nulli.

Prodotto di matrici (righe per colonne):

= ( ) ∈ (, , ℝ), = ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ ∃ ∙ = ⟺ =

( )

= ∈ (, , ℝ) = + + ⋯

1 1 2 2

Proprietà del prodotto matriciale:

1. ASSOCIATIVA: () = () ∀ ∈ (, , ℝ); ∀ ∈ (, , ℝ); ∀ ∈ (, , ℝ);

( + ) = + ∀ ∈ (, , ℝ), ∀, ∈ (, , ℝ)

2. DISTRIBUTIVA: ( + ) = + ∀, ∈ (, , ℝ), ∀ ∈ (, , ℝ)

3. (ℎ)

ℎ() = = (ℎ) ∀ ∈ (, , ℝ); ∀ ∈ (, , ℝ); ∀ℎ ∈ ℝ

(il prodotto matriciale non è commutativo, in genere ≠ )

Matrici identità:

La matrice identità (o unità) è una matrice quadrata di ordine n con tutti gli elementi nulli eccetto

quelli che formano la diagonale principale, che valgono tutti 1.

1 0 0

( )

= 0 1 0

3 0 0 1

Matrici invertibili: −1 −1

∈ (, , ℝ) ⟹ ∃! ⟺ ∃ ∈ (, , ℝ) ∶ = = ⟹ =

L’invertibilità di una matrice si definisce solo se essa è quadrata. 4

PARTE 2:

Determinante:

( ) ||

= ∈ (1,1, ℝ) ⟹ det = =

11 11

||

=( ) ∈ (2,2, ℝ) ⟹ det = = −

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ det ≔ ( − 1)

(dopo n – 2 passaggi si giunge ad avere n determinanti di ordine 2, calcolabili elementarmente)

Il calcolo del determinante è possibile solo su matrici quadrate.

Sviluppo di LAPLACE:

+ +ℎ )

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ det = ∑(−1) det( ) = ∑(−1) det(

ℎ ℎ

=1 =1

∀ℎ, = 1, … ,

con =

Lo sviluppo di Laplace si può effettuare su qualsiasi riga o colonna di una matrice.

Matrice aggiunta: (

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ )

−

è − 1 −

Proprietà del determinante:

1.

det = det() ∀ ∈ (, , ℝ)

2. FORMULA di BINET = ( ), = ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ det() = det ∙ det

=

3. Legge di CANCELLAZIONE del PRODOTTO , , ∈ (2,2, ℝ) ⟹ ⟹=

det ≠ 0

=1

4. ∏

∈ (, , ℝ) ⟹ det =

( )

5. Se ∈ (, , ℝ) ℎ ⟹ det = 0

dimostrazione della formula di Binet (nel caso n=2):

′ ′ ′ ′

+ + ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

( )( ) ( )( )

= ( ) ⟹ det() = + + − + +

′ ′ ′ ′

+ +

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

= + + + − − − −

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

) )

= + − − = ( − − ( −

′ ′ ′ ′

( )

= − )( − = det ∙ det

Complessità del determinante:

Complessità = confronto fra algoritmi

(algoritmo = insieme finito di istruzioni che conducono ad un determinato risultato)

!

= =

2

2

Utilizzando l’algoritmo di Gauss (pertanto conviene al crescere di n)

3

~

5

Matrici inverse: 1

−

−1 −1

=( ) ∈ (2,2, ℝ) ⟹ ∃! ⟺ det ≠ 0 ⟹ = ( )

−

det

−1 −1 −1

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ ∃! ∶ = =

dimostrazione:

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ ∃ ∶ = =

= = ℎè = ℎ

supponiamo che ∃ ∶ = = ⟹ ⟹=

= = ℎè =

det

∈ (, , ℝ)

−1 +

(−1)

⟹ = det

det ≠ 0

con =

, ∈ (, , ℝ) −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

() (≠ )

⟹ ∃! , ∃! ∶ è =

det ≠ 0

det ≠ 0

Complemento algebrico: +

(−1) (

= ( ) ∈ (, , ℝ) ⟹ ̅̅̅̅

∶= det

̅̅̅̅ è . )

̅

= (

̅̅̅̅)

1

∈ (, , ℝ) ̅̅̅

−1

( )

⟹ =

det

det ≠ 0

Proprietà delle matrici invertibili: GL è l’insieme delle matrici invertibili

{

(, ℝ) = ∈ (, , ℝ) ∶ det ≠ 0}

1. −1 −1

( ) =

2. −1 −1

( ) ( )

=

3. il prodotto d matrici invertibili è invertibile

Teorema di CRAMER: A è una matrice quadrata di ordine n

è un sistema crameriano

: = ⟺ det ≠ 0

−1

: = è ⟹ ∃! (): =

oppure:

11 1 13

det

( )

= = 1,2, … , = = 21 2 23

2

det

31 2 33

Determinante e Algoritmo di Gauss:

1. scambiando due righe (o colonne) di una matrice, il determinante cambia segno

((det

(−1)

) = = )

2. se A’ si ottiene da A moltiplicando una riga (o colonna) per uno scalare k

′

(

⟹ det = det ℎ det = det )

3. sommando ad una riga (o colonna) un multiplo reale non nullo di un’altra, il determinante

non cambia. 6

Minori di una matrice ():

Un minore di una matrice A è una sottomatrice quadrata di A.

Se ′

∈ (, , ℝ) ⟹ è , è .

! !

Se ∈ (, , ℝ) ⟹ ∃ ( ) ( ) =

!(−)! !(−)!

PARTE 3:

Rango di una matrice:

Il rango di una matrice A è l’ordine del minore di ordine massimo di A con determinante non nullo.

∃ , det ≠ 0

∈ (, , ℝ) ⟹ = ⟺ ∃ + 1, det = 0

+1

Proprietà del rango:

1. ∈ ℤ ≥ 0

2. = 0 ⟺ =

∃ ℎ

3. ⟹ ≥ ℎ

det ≠ 0

ℎ

4. ∈ (, , ℝ) ⟹ =