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Sistema Termodinamico
È una porzione di materia o spazio fisico che è oggetto di studio.
- Approccio Lagrangiano (segui particelle)
- Approccio Euleriano (studio in volume preciso nello spazio fisico)
S+A = U → Universo Termodinamico
- Superficie di controllo:
- Reale o Immaginaria
- Deformabile o Rigida
- Permeabile o Impermeabile
- Sistema Aperto
- Sistema Chiuso (non scambia materia con l'ambiente esterno)
- Sistema Isolato
Oltre ad essere chiuso, non scambia energia con l'esterno.
Proprietà:
- Interne (coordinate termodinamiche) → stato interno definito
- Esterne (grandezze cinematiche) → stato esterno definito
- Intensive (non dipendono dalla quantità di materia del sistema)
- Estensive (dipendono dalla quantità di materia del sistema)
Equilibrio Termodinamico
Un sistema si definisce in equilibrio interno se, immaginando di incapsularlo istantaneamente con una superficie di controllo che sia impermeabile ai flussi di massa e attraverso la quale non si hanno scambi di calore o lavoro con l'ambiente esterno, il suo stato rimane inalterato nel tempo.
dα/dt ≥ 0 (moto stazionario o permanente)
Disequilibrio Interno
Un sistema si definisce in equilibrio se rimuovendo idealmente la superficie che lo incapsula e quindi ponendolo in contatto con l'ambiente circostante, il suo stato continua a rimanere inalterato nel tempo.
Introducendo una piccola perturbazione, se il sistema torna nelle sue condizioni di equilibrio iniziale si dirà che è in equilibrio stabile (equilibrio termodinamico).
Trasformazione Termodinamica
È una qualsiasi modificazione che comporti la variazione nel tempo di almeno una delle proprietà interne del sistema (P, T, V...) modificandone di conseguenza lo stato interno.
Notazione di Reqs
- d: derivata dirita → proprietà del sistema
- δ: dipendono dalla trasformazione
1° Principio della Termodinamica
δQS = dU + δL
Criterio Lagrangiano
t → t+dt
δQ = dU + δL + δec + d
- Energia Totale = Interna + Cinetica (macroscopica) + Potenziale Gravitazionale
La forza applicata per lo spostamento del pistone genera un lavoro.
U = ∫mdU = ∫VcUρdVc
Ec = ∫mc2/2 dm = ∫Vcc2/2 ρ dVc
δq + δl = dU + dε+ δec
εc = ∫Vc1/2ε c2 ρdVc
A sinistra di una legge di conservazione si hanno i flussi energetici mentre a destra le proprietà del sistema.
εm = ∫VC1/2μH2 ρdVc
Approccio del continuo: in ogni cubetto elementare c'è un N0 di molecole e ciò mi permette di attribuire al baricentro del cubetto delle proprietà medie.
- Trascurabili
Qe + L = ΔU+ Δec + Δeg
δq + δl = dU + dε + δec +δew
Energia potenziale centrifuga
φ = ω ⋅ t
aθ(t) = (ṙ + ṙ ) + α̇(t)
- Fθ(t) = -2mω ar(t) - 2mω t
δQe + δL = dU + dEc + dEq + dEω ← Lagrang. rispetto a sistema di riferimento non inerziale
Qe + Li = Δi + ΔEci + ΔEqi
Qe + Li = Ai + ΔEcA + ΔEqA + ΔEωw
Lw = lavoro medio sulla sezione
Qe + Li(r) = ∫S k2 r2 dU
Eω = ∫Vc w2 ρ dV0 Rotazia
ω = Wnr = raggio medio sulla sezione
Equazione del lavoro o teorema dell'energia meccanica
F̅ = mȧ̅ = m dü̅/dt
dś = ṡ̅ dt
F̅ · dś = mȧ̅ · dś = m dü̅/dt · dś = m ȳ · dś̅/dt
δL = F̅ · dś = d(mu2/2)
ṡ2 = |ṡ̅|2 = ū̅ · ū̅
δL = δEc c = c · x2
Sistema destrorso: x̂ × ŷ = k̂
ρ dx dy dz dc/dt = ρ dy dz − (ρ + ∂c/∂x dx) dy dz
Assenza di attriti (hp) => no sforzi tangenziali
ρ dx dy dz dc/dt = − ∂ρ/∂x dx dy dz
dc/dt = −1/ρ ∂ρ/∂x
dc2/dt = −1/ρ ∇ρ ← caso generalizzato
d2L = p dy dz
(c − ∂c/∂x/2) dt − (ρ + ∂ρ/∂x dx) dy dz
+ ts (∂c/∂x dx)/2 dt
= pdydzcdt − pdy dz d2∞/2 × dx dt
dp/dt − (pdydz + ∂p/∂x dx dy dz)
+ (c + ∂c/∂x)/2 dx/2 and +1/2
ρ ∂c/∂x dy dz dt − ∂ρ/∂x c dx dy dz dt
− ∂ρ/∂x c dx dy dz dt + infinitesimi di ordine superiore
Dl/dm = ρ dx dy dz
ΔL/dm = −ρ/ ∂c/∂x − 1/ρ ∂ρ/∂x c dt
dl/dt = −1/ρ ∂∇ρ/∂x
dc − 1/ρ ∂ ∇/∂x
dL = −ρ/ ∂x dx + cdt + cdc
Lagrangiano
d(U2/2)/dt = dEC
Moto stazionario, 1D, 2 porte, momento rispetto all'asse di rotazione della macchina
Masse ∫Ac ρcw(c·n)
dAc = ṁ (rcwu - rcwa)Moto stazionario ⇔ ∫Vc racpdvc = 0
2 porte ⇒ ṁa = ṁu = ṁ
r̅a = 1/ṁ∑i miri
v̅C = 1/ṁ∑i miv̅i
═ v̅C + v̅r(r)² = v̅C² + 2v̅iv̅r(ri)²
dΣa 1/2 miv̅i² - Σi=1 miv̅C² + Σi=1 mi(v̅r(ri)²)
v̅a = v̅C + v̅ra = v̅C
DUc(ext) = dep(int) + dΣc(int) = DU + d1/2 m(v̅i² - 2)
Flussi 'Barotropici'
T dS = di - udp
T dS = dU + pdu
ccx = T(dS)/dt
Trasformazione politropica: trasformazione a calore specifico costante
cdT = di - udp ⇔ in generale
di = cp dT ⇔ per gas perfetti
(c - cp) dT = - udp
R = cp - cv
c - ce/c - cv
Flussi barotropici: flussi nei quali la legge di variazione è definita a priori
d = COST.
ρ = COST.
Λ = COST.
Ca = COST.
Li = μ (Cu1 - Cu2 ) > 0
MACCHINA MOTRICE
Sostituendo questa espressione nella (1) si ottiene
dp = c-as2 dc
dA/A + dc/C - c-as2 dc/c = 0
dA/A = (Ma2-1) dc/C
cdc = -dp/p
dc/c = -dp/p cpdT + cdc = 0
Ma2 = cVRT
Maa = caas
dp/c < dA = 0 Ma = 1 dA = O Ma > 1 Ma < 1
Comportamento da tubo di Venturi
Flusso isentropico
ṁ √(P₀/ρ₀) Au: P₀ = √(2K/K₋₁ (P₂/P₀)^(2/k) (P₂/P₀)^(K+1/K)
ṁ √(P₂/ρ₀) Au: P₀
Parametro di portata: K fissato (fluido fissato)
ṁ √(P₀/ρ₀) Au: P₀ = cost.
ṁ = cost. Au √(P₀/ρ₀)
i° = i₁ + c₁²/2
P° = cost.
i° = Cp T° = K/(K₋1) RT° = k/(k₋1) P°/ρ°
(Qe+wi = Δi°)
uᵧ dp + δw + dEc = 0
ṁ √(RT₀) Pa Au/Pᵧ Au = mᵧ Maᵧ
ṁ √(RT₁) A₁ = ṁ √(RT₁)
1ᵧ = P₁/RT₁ aₐ = √(RT₁)
ṁ RT₁/Pᵧ √(RTₐ Aₐ) = ṁ/ṁ 1√(RT₁ A₁) = C₁/√(RT₋ₐ) = Maₜ
Esercitazione 1
Gas perfetti
PV = nRT = n mRT/m
R = 8/m M: massa molecolare del gas
PV = RT
v = V/m = 1/ρ : volume specifico
R: costante elastica del gas
R: 8314 J/kmole K
CP - CV = R = relazione di Meyer
CP = costi, CV = cost.
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