Appunti di Fisica Tecnica (Trasmissione del calore)

POLITECNICO DI MILANO

Facoltà di Ingegneria Aerospaziale

Appunti del corso di:

Fisica Tecnica

(Trasmissione del Calore)

prof. A. Salerno

a cura di

Giorgio Montorfano

e

Riccardo Rota

A.A. 2013/2014

Disclaimer

(Note dagli autori)

Questa dispensa è una raccolta di appunti presi durante le lezioni del corso di Fisica Tecnica

(relativamente alla sola parte di trasmissione del calore), tenute dal professor Antonio Salerno

presso il Politecnico di Milano, nell'Anno Accademico 2013/2014. Essa è strutturata come una

serie di risposte ad un elenco di domande che coprono l'intero programma del corso. Tale

elenco è fornito dal professore stesso, che lo utilizza durante il colloquio orale per torchiare lo

studente valutare la preparazione dello studente.

Per questo motivo essa è da intendersi come uno strumento per seguire con più facilità le

lezioni e le esercitazioni, per ripassare velocemente prima dell'esame e per chiarire eventuali

dubbi sorti durante le spiegazioni (quelli per cui non si alza la mano per chiedere al docente,

insomma...): non è dunque assolutamente concepita come un sostituto dei libri di testo o

(soprattutto) della frequenza alle lezioni (fondamentali per comprendere e interiorizzare i

concetti).

La dispensa è frutto di un profondo impegno (spesso e volentieri quotidiano) volto ad ottenere

un risultato quanto più possibile sintetico, preciso e completo. Sfortunatamente - nonostante

la grande dedizione posta dagli autori nella stesura di questi appunti - in questo mondo non

esiste nulla di perfetto e, pertanto, anche questa dispensa sarà ben lungi dall'essere corretta e

comprensibile in ogni sua parte. Per questo motivo gli autori saranno più che felici (e

orgogliosi) di ricevere qualsiasi tipo di suggerimento e correzioni per sopperire alle carenze di

quest'opera.

Buono studio! Gli autori,

Giorgio Montorfano

Riccardo Rota

- - - - - - - - -

Contatti (per info e suggerimenti):

39gmont93@gmail.com

riccardoxrota@gmail.com

Appunti del corso di: Fisica Tecnica v.1.0 G. Montorfano, R. Rota

Sommario

Descrizione degli argomenti trattati ....................................................................................................... III

1. Conduzione ........................................................................................................................................ 1

1.1. Postulato ed equazione di Fourier. ........................................................................................................ 1

1.1.1. Problema della parete – Senza generazione di potenza ................................................................. 2

1.1.2. Problema della parete con generazione della potenza ................................................................... 2

1.2. Metodo delle resistenze termiche. ........................................................................................................ 3

1.3. Ricavare espressione di T per cilindro cavo senza generazione di potenza e T di parete imposte.

(Simmetria cilindrica)..................................................................................................................................... 4

1.4. Ricavare espressione di T per cilindro pieno con generazione di potenza. (Simmetria cilindrica) ........ 5

1.5. Problema del raggio critico. .................................................................................................................... 6

1.6. Problema del corpo con Bi<<1 immerso in un fluido a temperatura costante. ..................................... 7

1.7. Problema del corpo con Bi<<1 immerso in un fluido a temperatura variabile sinusoidalmente nel

tempo. ........................................................................................................................................................... 9

1.8. Soluzione del problema dell’aletta sottile. ........................................................................................... 10

1.9. Mezzo semi-infinito con gradino di temperatura ................................................................................. 12

1.10. Mezzo semi-infinito con flusso termico variabile sinusoidalmente nel tempo. ................................. 14

2. Irraggiamento .................................................................................................................................. 16

2.1. Definizione di radianza spettrale direzionale, potere emissivo spettrale e potere emissivo totale. ... 16

2.2. Definizione delle proprietà di un corpo nero. ...................................................................................... 17

2.3. Legge di Plank e legge di Wien. ............................................................................................................ 17

2.4. Legge di Stefan-Boltzmann. .................................................................................................................. 17

2.5. Definizione di emissività e corpo grigio. ............................................................................................... 18

2.6. Coefficienti di trasmissione, riflessione e assorbimento. ..................................................................... 18

2.7. Legge di Kirchhoff. ................................................................................................................................ 18

2.8.a. Irraggiamento tra parete nera e grigia affacciate. ............................................................................ 19

2.8.b. Irraggiamento tra due pareti nere con schermo interposto. ............................................................ 19

2.9. Definizione di fattore di vista. .............................................................................................................. 19

2.10. Regola della reciprocità e della somma per il fattore di vista. ........................................................... 20

2.11. Funzione di radiazione e calcolo della potenza termica emessa da un corpo nero tra due lunghezze

d’onda. ......................................................................................................................................................... 21

2.12. Metodo delle resistenze termiche radiative. ..................................................................................... 22

2.13. Irraggiamento tra superfici. ................................................................................................................ 23

prof. A. Salerno I A.A. 2013/2014

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3. Convezione ...................................................................................................................................... 24

3.1. Definizione di viscosità dinamica e cinematica. ................................................................................... 24

3.2. Convezione forzata: numeri di Nusselt, Reynolds, Prandtl. ................................................................. 24

3.3.a. Convezione forzata su lastra piana: definizione di strato limite. ...................................................... 25

3.3.b. Convezione forzata su lastra piana: relazioni semi-empiriche per lo scambio termico. ................... 26

3.4. Convezione dentro i tubi. ..................................................................................................................... 26

3.5.a. Convezione dentro i tubi: calcolo di T a costante. ....................................................................... 27

3.5.b. Convezione dentro ai tubi: calcolo di T a Ts costante. ...................................................................... 27

3.6. Convezione naturale: fenomenologia, condizioni necessarie, numero di Rayleigh, esempi. .............. 27

3.7. Tipologia e problemi degli scambiatori di calore. ................................................................................ 28

3.8. Relazioni di scambio termico per scambiatori di calore in equicorrente e in controcorrente. ........... 29

3.9.a. Efflussi da serbatoi e equazione di Hugoniot. ................................................................................... 30

3.9.b. Determinazione delle condizioni di blocco sonico. ........................................................................... 31

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Descrizione degli argomenti trattati

1. Introduzione alla trasmissione del calore e conduzione.

Meccanismi di trasporto dell’energia. Similitudine e analisi dimensionale. Conduzione: legge di

Fourier e conduttività termica, equazione della diffusione termica. Conduzione in regime staziona-

rio: geometria monodimensionale piana, cilindrica e sferica; resistenze termiche e reti elettriche

equivalenti; alette: equazione della conduzione, efficienza ed efficacia. Conduzione in regime

variabile: approssimazione a parametri concentrati, il numero di Biot; cenni al caso di mezzo semi

infinito.

2. Convezione.

Caratteristiche. Convezione forzata all’esterno di superfici e all’interno di condotti: fe-

nomenologia, numeri adimensionali di Reynolds, Nusselt, Prandtl, e uso di correlazioni

adimensionali. Temperatura di miscelamento adiabatico e suo andamento lungo un condotto;

differenza media logaritmica di temperatura. Introduzione alla convezione naturale, numeri

adimensionali di Grashof e Rayleigh. Scambiatori di calore: classificazione, andamento delle

temperature negli scambiatori equicorrente e controcorrente; potenza massima ed efficienza.

3. Irraggiamento.

Radiazione termica: natura, intensità di radiazione e grandezze caratteristiche monocromatiche

e totali. Corpo nero: proprietà e leggi caratteristiche, emissione di banda. Superfici reali:

emissività, superfici diffuse, grigie e selettive; coefficienti di riflessione, assorbimento e

trasmissione, superfici semitrasparenti (cenni all’effetto serra); relazione fra emissione e

assorbimento (teorema di Kirchhoff), radiatori. Scambio termico radiativo tra superfici grigie e

diffuse: fattore di vista e sue proprietà, calcolo della potenza termica netta irraggiata tra due

superfici grigie.

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1. Conduzione

Il calore è una forma di energia che si propaga da un punto ad un altro tramite una differenza di

temperatura: il calore è in questo senso un vettore. Per conduzione si intende la trasmissione di calore che

avviene in un mezzo solido solo dalle zone a temperatura maggiore verso quelle con temperatura minore

senza movimento di materia. Il trasferimento è dovuto alle sole vibrazioni degli atomi che costituiscono il

corpo.

1.1. Postulato ed equazione di Fourier.

Attraverso varie osservazioni sperimentali è stato ricavato che:

cioè che la potenza termica è direttamente proporzionale alla differenza di temperatura tra due corpi, alla

loro superficie e alla conduttività termica (k) del materiale di cui sono fatti. Il segno meno indica il verso

dello scambio termico, che è positivo quando va da temperature maggiori a temperature minori.

La quantità di calore scambiata e la potenza termica per unità si superficie sono rispettivamente:

In termini infinitesimi, nel caso bidimensionale la formula di partenza prende il nome di Postulato di

Fourier:

Nel caso tridimensionale, invece, si può scrivere che:

Quest’ultima formula giustifica la presenza del segno meno: il gradiente va verso il massimo, mentre il

calore va verso il minimo. Inoltre, il vettore flusso termico è sempre perpendicolare alle isoterme.

All’interno di un sistema può esserci una generazione di potenza termica – generalmente per mezzo di

effetto Joule, reazioni nucleari e radiazioni elettromagnetiche. In ogni caso la differenza tra le potenze

termiche in entrata e in uscita in un certo intervallo di tempo deve essere pari alla variazione di energia.

Utilizzando Taylor, si può dire che:

Sostituendo nella formula precedente:

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La formula ricavata è nota come equazione di Fourier (nel caso bidimensionale) ed è valida solo con i solidi.

Essa consente di determinare la distribuzione di temperatura all'interno di un mezzo (in cui avviene uno

scambio termico conduttivo, in funzione della posizione geometrica e dell'istante temporale).

Nel caso tridimensionale, essa ha validità generale e la sua forma è:

dove è il Laplaciano (grandezza scalare) della temperatura, cioè la divergenza del gradiente e quindi la

somma delle derivate seconde della temperatura rispetto a xy e z.

Dividendo tutto per si ottiene il coefficiente di diffusività termica:

Le condizioni al contorno, grazie alle quali è possibile utilizzare l’equazione di Fourier sono:

I. Temperatura sul contorno imposta;

II. Flusso termico imposto (isolamento termico);

III. Flusso dipendente dalla temperatura.

1.1.1. Problema della parete – Senza generazione di potenza

Si consideri una parete, di spessore L, attraversata da un flusso termico, in condizioni stazionarie e senza

generazione di potenza. Si ha allora che:

Le condizioni al contorno sono:

Integrando due volte, si ottiene:

Sfruttando le condizioni si ottengono i valori di A e B. Inserendoli nella relazione trovata:

Ciò significa che, in condizioni stazionarie e senza generazione di potenza, la temperatura nella parete

decresce con la distanza.

1.1.2. Problema della parete con generazione della potenza

Si consideri una parete, di spessore L, isolata da un lato e attraversata da un flusso termico dall’altra, in

condizioni stazionarie e con generazione di potenza. Si ha allora che:

Le condizioni al contorno sono:

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Integrando due volte si ottiene:

Applicando la prima condizione al contorno si ottiene . B lo si trova invece tramite la seconda:

Esplicitando, si ottiene:

Sostituendo i valori ottenuti nell’equazione della temperatura:

Nel problema equivalente simmetrico, la seconda condizione al contorno è priva del segno meno al primo

termine in modo tale da mantenere la concordanza dei segni tra i due termini.

Considerando un esempio che comprende entrambi i casi simmetrici, sull’asse di simmetria il flusso termico

è nullo e inoltre non si dimezza perché non dipende dal volume.

1.2. Metodo delle resistenze termiche.

Considerando una parete piana, si ha che:

Istituendo un confronto che l’elettrotecnica, possiamo considerare la differenza di temperatura come una

caduta di potenziale e la potenza termica come una corrente elettrica: di conseguenza risulta che, per una

parete piana:

Di conseguenza, considerando:

- due pareti in serie, cioè percorse dallo stesso flusso termico:

- due pareti in parallelo, cioè aventi la stessa differenza di temperatura ai capi:

Tutti gli altri casi possono essere ricondotti ad un equivalente elettrico.

In realtà, nel caso di pareti a contatto, è necessario considerare il fatto che esse non siano perfettamente

lisce: la presenza di spazio vuoto tra le pareti ostacola ulteriormente il passaggio del flusso termico. Tale

ostacolo può essere considerato come un’ulteriore resistenza.

Considerando la convezione, si ha che:

dove h è il coefficiente di convezione termica del materiale e la resistenza termica convettiva.

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1.3. Ricavare espressione di T per cilindro cavo senza generazione di potenza e T di

parete imposte. (Simmetria cilindrica)

Nei problemi a simmetria cilindrica le grandezze non variano al variare di θ e z, ma solo di r.

Conseguentemente, in simmetria cilindrica, il Laplaciano risulta essere:

Considerando il caso di un flusso attraverso un cilindro cavo senza generazione di potenza e temperatura di

parete imposte, si ha:

Utilizzando Taylor:

Semplificando:

Semplificando ulteriormente ed eliminando l’ultimo termine poiché è un infinitesimo di ordine superiore:

Applicando il postulato di Fourier:

L’ultima formula può esser vista come una versione alternativa del Laplaciano della temperatura:

Integrando due volte si ottiene:

E applicando le condizioni al contorno:

Sottraendo membro a membro, si ottien