Appunti di Fisica Tecnica (Trasmissione del calore)

Il flusso termico non passa per l'asse di simmetria. Inoltre, per calcolarlo, il modo più semplice è quello di

calcolare il flusso attraverso la dell'aletta: il flusso che entra attraverso la sezione di base, deve poi uscire

attraverso tutta la superficie dell'aletta.

Tuttavia, poiché , si può scrivere che:

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Sostituendo, risulta che:

Si definisce efficienza dell'aletta il rapporto tra il flusso per unità di profondità e il flusso in un caso ideale,

cioè quando tutta l'aletta si trova alla temperatura alla base, cioè quando .

Poiché:

si trova un'espressione alternativa dell'efficienza:

L'efficienza non è un parametro di merito: se è elevato non significa necessariamente avere una buona

aletta. Infatti, se vuol dire che l'aletta è troppo corta.

L'efficacia è definita come il rapporto tra la potenza scambiata per unità di profondità e la potenza che si

scambia senza l'utilizzo dell'aletta.

In altra parole, l'efficacia indica quanto migliora lo scambio termico rispetto allo stesso scambio effettuato

il mancanza di aletta.

1.9. Mezzo semi-infinito con gradino di temperatura

Si consideri uno spazio semi-infinito, inizialmente alla temperatura uniforme . Si ipotizzi poi che

all'istante iniziale la faccia posta in venga istantaneamente postata alla temperatura . Il

problema risulta essere monodimensionale, cioè .

È inoltre fondamentale imporre che la soluzione debba rimanere limitata e .

Si sfrutti ora un'adimensionalizzazione della temperatura.

Le condizioni diventano quindi le seguenti:

Per trovare la soluzione di applichi il metodo delle variabili di similitudine.

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L'equazione perciò diventa:

Ponendo l'equazione differenziale è invariante rispetto alla trasformazione. Inoltre, se è

soluzione del problema, anche lo è. Questo suggerisce che sia funzione di una variabile

, detta variabile di similitudine, invariante rispetto alla trasformazione applicata.

Si ha quindi la variabile:

e di conseguenza .

Differenziando, si ha:

Sostituendo i risultati nell'equazione differenziale:

Per far sparire le costanti è utili scegliere di porre . In questo modo:

Questo significa che, per avere la stessa temperatura, quando lo spazio raddoppia, il tempo deve

quadruplicare.

Conseguentemente, l'equazione differenziale diventa:

Chiamando :

Risolvendo questa nuova equazione differenziale, si ottiene che:

Esplicitando la y:

Tuttavia:

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Integrando nell'intervallo e ponendo le condizioni:

L'integrale che ne deriva converge a :

Di conseguenza, .

Quindi:

La quantità viene detta distribuzione gaussiana e il secondo termina dell'espressione è detto

funzione degli errori erf. Di conseguenza, , cioè funzione degli errori

complementare.

Il flusso termico per unità di superficie è dato da:

In base alle soluzioni precedenti, allora risulta che:

dove si è sfruttato anche il concetto di diffusività termica .

La quantità è detta coefficiente di penetrazione termica o effusività termica e quantifica la capacità

di un flusso termico di penetrare all'interno di un corpo.

1.10. Mezzo semi-infinito con flusso termico variabile sinusoidalmente nel tempo.

Si consideri il caso di un mezzo semi-infinito, attraversato da un flusso termico variabile sinuisoidalmente

nel tempo , come può essere un laser. Le condizioni saranno:

La prima equazione è la Legge di Fourier applicata a questo caso, la seconda è la forzante applicata al

sistema.

L'espressione della temperatura è:

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Da essa si ricava che:

Sostituendo nella prima equazione, si ottiene:

Semplificando e portando a sinistra:

Ne risulta una equazione differenziale, la cui soluzione è:

Poichè è positiva, il primo termine della soluzione tende a infinito, ma poiché il problema richiede che la

temperatura sia limitata, allora deve necessariamente essere che . Inoltre, poiché:

la soluzione diventa:

dove è la lunghezza di diffusione termica:

Utilizzando ora la seconda condizione:

Semplificando e valutando per , si ottiene il valore di :

Sostituendo anche questo valore nella soluzione dell'equazione differenziale, si ottiene l'espressione

completa della temperatura:

Il primo esponenziale individua lo smorzamento indotto dalla forzante, mentre il secondo determina

l'oscillazione nel tempo. Le altre quantità rappresentano l'ampiezza della temperatura, che subisce anche

uno sfasamento di 45°. Esso è determinato dall'espressione , ottenuta applicando le proprietà dei

numeri complessi.

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2. Irraggiamento

L’irraggiamento è il trasferimento di energia tra due corpi per mezzo di onde elettromagnetiche. Poiché le

onde elettromagnetiche non hanno bisogno di materia per diffondersi, l’irraggiamento può avvenire anche

nel vuoto. La presenza del vuoto impedisce lo scambio per conduzione e per convezione. L’irraggiamento

altro non è che il meccanismo di emissione legato all’energia emessa in conseguenza delle oscillazioni e

delle transizioni degli elettroni. La radiazione termica è quindi la potenza emessa da un corpo a causa della

sua temperatura. Una teoria interpreta la radiazione come la propagazione di un insieme di particelle dette

fotoni o quanti, un’altra come propagazione attraverso onde elettromagnetiche di frequenza , lunghezza

e velocità , secondo la relazione:

Nello spettro della radiazione elettromagnetica si susseguono, in ordine crescente di lunghezza d’onda

raggi gamma, raggi X, raggi ultravioletti, radiazione visibile, infrarossi, microonde e onde radio.

2.1. Definizione di radianza spettrale direzionale, potere emissivo spettrale e potere

emissivo totale.

Considerando una calotta semisferica, la radianza spettrale direzionale è definita come:

è la superficie apparente, cioè la superficie nella direzione alla normale considerata: in questo

modo si annulla l’effetto della prospettiva.

è l’angolo solido. Infatti, data l’area infinitesimale , l’angolo solido è definito come:

Il potere emissivo misura la potenza emessa sotto forma di radiazione per unità di superficie. In particolare

il potere emissivo spettrale è definito come la potenza di lunghezza d’onda emessa nello spazio in tutte

le direzioni nella calotta emisferica, per unità di superficie e per unità di intervallo di lunghezza d’onda.

Il potere emissivo totale , invece, è definito come la potenza alla quale viene emessa la radiazione per

unità di superficie in tutte le direzioni e a tutte le lunghezze d’onda.

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2.2. Definizione delle proprietà di un corpo nero.

Il corpo nero funge da riferimento rispetto al quale vengono confrontate le proprietà radiative delle

superfici reali. Esso è una superficie ideale e gode di tre proprietà fondamentali:

1. Per ogni temperatura T e per ogni lunghezza d’onda λ il corpo nero emette più di ogni altra

superficie reale;

2. Il corpo nero assorbe tutta la radiazione incidente indipendentemente dalla lunghezza d’onda e

dalla direzione di provenienza;

3. Il corpo nero è un emettitore Lambertiano (diffuso): non dipende da e da .

Considerando una cavità con un foro, la radiazione che entra perde gradualmente tutta la sua energia ogni

volta che subisce una riflessione contro le pareti della cavità. Il foro può essere paragonato ad un corpo

nero, mentre la cavità approssima il suo comportamento (altro esempio: portone chiesa in estate).

2.3. Legge di Plank e legge di Wien.

Il potere emissivo spettrale di un corpo nero è stato determinato da Planck nella seguente legge:

dove sta per corpo nero, la sua temperatura assoluta. Le due costanti e sono definite a partire

dalle costanti di Plank e Boltzmann e dalla velocità della luce.

Il grafico della legge di Planck è caratterizzata da una serie di curve a campana, il cui massimo si sposta in

basso e verso destra al diminuire della temperatura. Tale spostamento è determinato dalla Legge dello

spostamento di Wien. Infatti, derivando la Legge di Planck rispetto a e ponendo il risultato uguale a zero,

si ottiene che:

In particolare, al di fuori dell’atmosfera, il Sole emette radiazione come un corpo nero a 5600 K e il nostro

occhio si è incentrato sul del Sole.

2.4. Legge di Stefan-Boltzmann.

Sostituendo la Legge di Planck nella formula del potere emissivo totale si ottiene:

nota come legge di Stefan-Boltzmann, la cui costante vale:

Questa legge consente di calcolare la quantità di radiazione emessa in tutte le direzioni e su tutte le

lunghezze d’onda, partendo dalla conoscenza della temperatura del corpo nero.

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2.5. Definizione di emissività e corpo grigio.

Il grafico del potere emissivo di corpo reale è una curva frastagliata e più bassa rispetto a quella che

descrive il potere emissivo di un corpo nero. Per questo motivo è utile definire l’emissività spettrale

come il rapporto tra il potere emissivo spettrale di una superficie e quello di un corpo nero alla stessa

temperatura e alla stessa lunghezza d’onda.

L’emissività totale è definita invece come il rapporto tra il potere emissivo totale di una superficie e

quello di un corpo nero alla stessa temperatura.

Un corpo grigio è un corpo reale di emissività totale : il suo grafico risulta simile a quello di un corpo nero

alla stessa temperatura, con un punto di massimo alla stessa lunghezza d’onda. In generale i metalli hanno

emissività piuttosto bassa e crescente con la temperatura, mentre i non metalli (in cui vanno inclusi anche

gli ossidi metallici) hanno emissività relativamente elevata e decrescente al crescere della temperatura.

2.6. Coefficienti di trasmissione, riflessione e assorbimento.

Considerando la potenza fornita da una irradiazione incidente ad una superficie, si ha che una parte di

essa viene riflessa, un