Appunti di Fisica modulo A

La fisica

La meccanica studia il moto dei corpi, spiega la relazione che esiste tra le cause che generano il moto e le caratteristiche di esso esprimendole con leggi quantitative. Essa si divide in due parti:

Divisione della meccanica

• Cinematica: si occupa della descrizione del moto degli oggetti
• Dinamica: studia le cause che determinano il moto

Metodo sperimentale

Per descrivere un fenomeno, la fisica usa il metodo sperimentale, che si sviluppa in diversi punti:

• Schematizzazione del fenomeno tenendo presenti le cause dominanti
• Sostituzione del fenomeno con un modello semplificato
• Individuazione delle grandezze fisiche essenziali nello studio del modello
• Misura di tali grandezze per stabilire relazioni quantitative fra di esse
• Formulazione di leggi previsione di nuovi fenomeni
• Verifica sperimentale delle previsioni

Grandezza fisica

Una grandezza fisica è una proprietà misurabile di un fenomeno, corpo o sostanza, che può essere distinta qualitativamente e determinata quantitativamente. Esistono diversi tipi di grandezze fisiche, come lo spostamento e la velocità. Esiste un’altra definizione di grandezza fisica, anche detta “operativa”, cioè tramite le modalità di misurazione. Una grandezza fisica può essere:

• Scalare, cioè determinata da un numero;
• Vettoriale, cioè determinata da un numero (anche detto modulo), una direzione e un verso.

Queste grandezze si stabiliscono tramite tre criteri: uguaglianza, somma e unità di misura. Inoltre si distinguono in fondamentali e derivate. Una grandezza ha significato solo se si può misurare. Infatti, occorre definire: un campione e una procedura per confrontare la grandezza con il campione. Il risultato del campione sarà un numero e un’unità di misura.

La distanza

Si definisce distanza tra due punti la lunghezza del segmento che li congiunge. In questo caso come grandezza fisica abbiamo la lunghezza, mentre il suo campione è il metro. Nel corso del tempo la sua definizione è cambiata molto:

• Nasce con la Rivoluzione Francese (1791) ➢ 1m = 1/40.000.000 parte della lunghezza del meridiano terrestre passante per Parigi
• 1m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino tenuta a 0°C
• 1889: 1^a Conferenza Generale di Pesi e Misure ➢ 1m = distanza tra due tacche di una sbarra di platino-iridio
• 1960: 11^a Conferenza Generale di Pesi e Misure ➢ 1m = 1.650.763,73 lunghezze d’onda della luce emessa dal 86Kr
• 1983: 17^a Conferenza Generale di Pesi e Misure ➢ 1m = distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un intervallo di tempo pari a 1/299.792.458 secondi

Sistema di riferimento cartesiano su retta

Per descrivere un moto, dobbiamo trovare un modo per rappresentare la posizione di un corpo rispetto agli altri e per descrivere come essa varia in funzione del tempo. Innanzitutto occorre definire un asse di riferimento per rappresentare la posizione del punto materiale. Per poterlo fare è necessario fissare l’origine e il verso di percorrenza. La posizione del punto risulterà positiva se il punto segue l’origine; negativa se la precede.

Sistema di riferimento nel piano (coordinate cartesiane)

Se ci muoviamo in un piano, abbiamo bisogno di due assi cartesiani e quindi di due coordinate. Il punto P sarà individuato dalle coordinate x, y. I punti proiezioni Px e Py si ottengono mandando le perpendicolari da P rispettivamente agli assi x e y.

Sistema di riferimento nel piano (coordinate polari)

La posizione di P nel piano può essere anche specificata in coordinate polari (r, θ) dove r (numero reale e positivo) è la distanza di P dall’origine del sistema di riferimento; mentre θ è l’angolo formato dal segmento OP con un asse fissato arbitrariamente nel piano.

Sistema di riferimento nello spazio (coordinate cartesiane)

Per indicare la posizione di un punto nello spazio occorrono tre assi orientati x, y, z ortogonali tra loro. Essa si ottiene facendo la proiezione di P sul piano xy e determinando le coordinate di Px e Py, mentre z si ottiene facendo la perpendicolare di P su z.

La misura del tempo

Il tempo è una grandezza molto importante in fisica, in quanto svolge una doppia funzione:

• Scandire gli eventi
• Misurare degli intervalli di tempo

Il tempo viene misurato tramite dei fenomeni periodici, oppure si contano il numero dei cicli e delle frazioni di ciclo del fenomeno contenute nell’intervallo di tempo che si vuole misurare. Il campione del tempo è il secondo, che nel tempo ha avuto le seguenti definizioni:

• da sempre ➢ 1s = 1/86400 del giorno solare medio
• 1960 11^a CGPM ➢ 1s = 1/31556925.97474 dell’anno tropicale (intervallo tra due equinozi di Primavera)
• 1967 13^a CGPM (orologio atomico) 133Cs ➢ 1s = 9 192 631 770 periodi della radiazione assorbita dal nella transizione tra i due stati iperfini del suo stato fondamentale
• introdotta una nuova scala di tempo: il Tempo Atomico Internazionale (TAI)

Gli orologi a fontana di cesio raffreddati, sono caratterizzati da una precisione relativa dell’ordine di 10^-15 con orologi a ioni di mercurio si prevede che si raggiungerà una precisione di 10^-18.

Sistema internazionale (SI)

Una qualsiasi grandezza che può essere misurata con un campione può essere scelta come fondamentale. I campioni delle grandezze fondamentali devono essere: accessibili, riproducibili, invariabili e sicuri.

Il Sistema Internazionale è un sistema completo, coerente, assoluto e decimale. Multipli e sottomultipli di qualsiasi unità di misura si ottengono moltiplicando o dividendo per 10.

Multipli e sottomultipli

Equazioni dimensionali

Ad ogni grandezza misurata si associa una dimensione, indipendente dall’unità di misura con la quale viene espressa. Ad esempio la velocità media ha le dimensioni di una lunghezza diviso un tempo, che si può esprimere mediante l’equazione dimensionale: [] = [L][T]^-1. Due quantità possono essere eguagliate se sono dimensionalmente compatibili. Le grandezze adimensionali sono definite come rapporto fra grandezze omogenee, indipendenti dalle unità di misura fondamentali.

Angolo solido

L’angolo solido si misura in steradianti.

Angolo piano e solido

Se l’arco è l’intera circonferenza (angolo giro) l’angolo corrispondente misura 2π radianti. Se la superficie è l’intera superficie sferica l’angolo solido corrispondente misura 4π radianti.

I vettori

I vettori si possono indicare con il grassetto oppure con una freccetta sopra la lettera. Il modulo di un generico vettore V non è altro che la lunghezza del segmento OB. La direzione di un vettore V si può considerare o con i coseni direttori (cos α, cos β, cos γ) o con le coordinate del punto P. Se il vettore V avrà componenti (V_X, V_Y, V_Z), tali componenti sono proprio le proiezioni di OB sui tre assi. Esse avranno segno + o – a seconda che risultino concordi o meno con il verso positivo degli assi. Se però il primo estremo di V non coincide con l’origine (0, 0, 0), le sue componenti saranno: V_X = x_B - x_A; V_Y = y_B - y_A; V_Z = z_B - z_A. Osserviamo che il vettore -V ha lo stesso modulo e direzione di V ma verso opposto. Si dice versore ogni vettore che ha lunghezza unitaria, cioè con modulo pari a 1.

Algebra vettoriale

Prodotto di un vettore per uno scalare

Il prodotto di un vettore A per uno scalare m, è un altro vettore che ha per componenti quelle del vettore A, moltiplicate per lo scalare m. Tale vettore, che chiamiamo B, sarà parallelo al vettore A. Il modulo di B è così calcolato: ||B|| = |m| ||A||. Il suo verso sarà:

• Concorde col verso di A se m>0;
• Discorde col verso di A se m<0.

Somma di due vettori A e B

La somma di due vettori darà vita ad un vettore che ha per componenti la somma delle componenti dei due vettori: A + B = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z). In un piano XY, la somma tra due vettori non è altro che la diagonale del parallelogramma che ha per lati proprio i due vettori.

Somma di N vettori

Avviene come per la somma tra due vettori. Cambia solo la rappresentazione in un piano: sarà il vettore che congiunge il primo estremo di A₁ con il secondo estremo di A_N.

Differenza di due vettori

La differenza di due vettori A - B è uguale alla somma di due vettori: A + (-B). Cambia solo la rappresentazione in un piano XY, in quanto sarà la diagonale del parallelogramma che congiunge proprio A e B.

Scomposizione di un vettore A lungo due direzioni orientate r ed s

Il vettore A può essere scritto come somma di due vettori se determiniamo due vettori paralleli a r e s (vettori componenti). Analogamente avviene se vogliamo scomporre il vettore A lungo gli assi cartesiani; dato che scriveremo A come somma delle sue componenti moltiplicati per i versori degli assi: A = A_Xi + A_Yj + A_Zk.

Prodotto scalare tra due vettori A e B

Il prodotto scalare tra vettori è una grandezza scalare che può essere calcolata in due modi:

1. A · B = ||A|| ||B|| cosΘ
2. A · B = (A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z)

Il prodotto scalare A · B = 0 se A ⊥ B. Esso soddisfa queste proprietà:

• A · A = ||A||² (perché cosΘ = 1, quindi Θ = 0)
• i · i = j · j = k · k = 1
• i · j = i · k = j · k = 0
• A · B = B · A (proprietà commutativa)
• A · (B + C) = A · B + A · C (proprietà distributiva)

Somma di due vettori: modulo di A+B

Il teorema del coseno è una generalizzazione del teorema di Pitagora:

||A + B||² = ||A||² + ||B||² + 2||A|| ||B|| cosΘ

Poiché Θ (l’angolo tra i vettori) è supplementare di Ω (angolo opposto a c), abbiamo:

||A + B||² = ||A||² + ||B||² + 2||A|| ||B|| cosΘ

Coseni direttori

Dimostriamo che cosα² + cosβ² + cosγ² = 1. Sia V un vettore:

||V||² = V_x² + V_y² + V_z² = ||V||² (cosα² + cosβ² + cosγ²)

Quindi, cosα² + cosβ² + cosγ² = 1.

Prodotto vettoriale di due vettori A e B

Si può indicare con A × B o A ∧ B. In questo caso:

• Il modulo di A × B = ||A|| ||B|| sinΘ
• La direzione di C è perpendicolare al piano definito da A e B
• Il verso di C è definito da una delle seguenti regole: regola della mano destra

Il prodotto vettoriale soddisfa tali proprietà:

• A ∧ B = -B ∧ A (proprietà anti commutativa)
• A ∧ (B + C) = A ∧ B + A ∧ C (proprietà distributiva)
• A ∧ A = 0
• i ∧ i = j ∧ j = k ∧ k = 0
• i ∧ j = k; j ∧ k = i; k ∧ i = j
• j ∧ i = -k; k ∧ j = -i; i ∧ k = -j

Il prodotto vettoriale si calcola facendo il determinante rispetto alla prima riga di tale matrice:

(A ∧ B) · C = |A B C|

Prodotto triplo misto di tre vettori

Si calcola facendo il determinante di tale matrice:

(A ∧ B) · C = |A B C|

Il prodotto misto soddisfa questa proprietà: (A ∧ B) · C = A · (B ∧ C).

Derivata di un vettore

Sia A un vettore, (dA/dt) è la sua derivata, avremo:

(d/dt)(A + ΔA) - (d/dt)(A) = lim(Δt → 0) (ΔA / Δt) = ΔA / Δt

(d/dt)(mA) = m(dA/dt) + (dm/dt)A se m è costante

(d/dt)(A ∧ B) = A ∧ (dB/dt) + (dA/dt) ∧ B

Se un vettore è scritto in coordinate cartesiane, allora la sua derivata sarà la somma delle derivate di ogni componente.

La cinematica

La cinematica si occupa della descrizione del moto, indipendentemente dalle cause. Definisce le grandezze fisiche e tutte le loro relazioni che consentono di descrivere come un corpo cambia la propria posizione rispetto agli altri, con il passare del tempo.

Il punto materiale

Il punto materiale, o particella, è un corpo privo di dimensioni o con dimensioni trascurabili rispetto a quelle dello spazio. Lo studio del punto materiale permette di definire nel modo più semplice alcune grandezze meccaniche fondamentali e di capirne subito il significato. Il suo moto è determinato se si conosce la sua posizione in funzione del tempo in un determinato sistema di riferimento. Quando un corpo non è in movimento possiamo dire che è in quiete.

Moto rettilineo

La traiettoria è il luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento. La traiettoria più semplice è quella rettilinea. Il moto rettilineo si svolge lungo una retta dove vengono fissati, in modo arbitrario, origine e verso di percorrenza. Consideriamo un punto materiale e definiamo un sistema di riferimento sulla retta, e quindi un verso di percorrenza e un’origine. La posizione (coordinata) x del punto P sarà:

• La distanza di P dall’origine O se P viene dopo O
• Meno la distanza di P’ dall’origine O se P’ viene prima di O

Per descrivere questo moto abbiamo tre fasi:

1. Usare un orologio per trovare la corrispondenza tra l’istante di tempo e la posizione del punto materiale;
2. Organizzare i dati in una tabella e successivamente in un grafico detto grafico orario;
3. Esprimere il grafico orario mediante un’espressione, anche detta legge oraria.

Per descrivere il moto di un punto fermo, si usa una retta parallela all’asse delle ascisse, quindi con una legge oraria x(t) = x₀. Se il punto materiale percorre tratti uguali in intervalli di tempo uguali, supponendo che all’inizio si trovi nella posizione x₀, avrà una legge oraria la cui pendenza dipende dalla velocità: tanα = Δs/Δt = v → x(t) = x₀ + vt.

Significato di Δ e d

• Δ applicato a una qualsiasi grandezza indica una differenza (finita) tra il valore finale della grandezza e quello iniziale
• d, applicato a una qualsiasi grandezza indica una differenza (infinitesima) tra il valore finale della grandezza e quello iniziale; viene anche detto differenziale.

Velocità media e istantanea

La velocità media esprime la rapidità con cui avviene lo spostamento. Essa dà un’informazione complessiva senza fornire nessuna indicazione di come avviene il moto nell’intervallo di tempo considerato. Definiamo la velocità scalare media (sempre positiva): v_sm = Δs/Δt.

Osserviamo che la velocità è una grandezza derivata dalla lunghezza e dal tempo. Se risulta s(t), suddiviso in un numero elevatissimo di intervalli ciascuno percorso nel tempo Δt, si può definire velocità istantanea all’istante t₁ il seguente limite:

v(t₁) = lim_Δt→0 [(s(t₁ + Δt) - s(t₁)) / Δt]

Se ripetiamo l’operazione di limite per ogni istante di tempo dell’intervallo di osservazione del moto, possiamo ricavare la velocità istantanea in funzione del tempo.

Accelerazione media e istantanea

Se la velocità di un corpo varia nel tempo, ci possiamo chiedere con che rapidità varia. Si definisce accelerazione media il seguente rapporto: a_m = Δv/Δt.