Appunti di Fisica modulo A

MOTO CIRCOLARE

Si chiama moto circolare, un moto la cui traiettoria è una circonferenza. Considerando che la

velocità varia continuamente in direzione, l’accelerazione centripeta è sempre diversa di zero.

Questo moto può essere descritto, facendo riferimento allo spazio percorso sulla circonferenza s(t)

oppure utilizzando l’angolo θ(t) sotteso dall’arco s(t).

Nel moto circolare uniforme, la velocità è costante in modulo ed è la tangente alla circonferenza.

=

L’accelerazione tangente è nulla per cui .

̂

= = 0

all’istante

0 0 0

̂

= all’istante t

̂

∆ = = – è lo spostamento del punto P

0 0 = + .

La legge oraria del moto uniforme sarà: 0

= 2/ = 2/,

Si tratta di un moto periodico con periodo corrispondente al tempo

necessario per compiere un giro completo. Se il punto P all’istante t occupa la posizione angolare

+

θ1 e all’istante la posizione angolare θ2, nell’intervallo ha subito lo spostamento

∆ = 2 − 1. =

angolare definito da: Si definisce velocità angolare media il rapporto:

∆/∆; = /.

mentre la velocità angolare istantanea è la derivata dell’angolo θ(t): La

velocità è il rapporto tra lo spostamento e il tempo necessario per percorrere il moto:

∆ 2

= = = → =

∆

= . = → = +

Da cui otteniamo che: Integrando: (legge oraria).

∫ ∫ 0

0

0 2 2

⁄

= = = .

Come abbiamo detto, abbiamo un’accelerazione centripeta:

Se il moto circolare non è uniforme, dobbiamo considerare anche la velocità tangenziale, in

quanto diversa da zero. L’accelerazione angolare sarà la derivata della velocità angolare

istantanea: 2

= = = ( )=

2

.

= . = → = +

Da cui otteniamo: Integrando: Analogamente

∫ ∫ ∫

0

0 0

0

= +

otterremo .

∫

0 0

Un caso particolare di moto circolare uniforme, è il moto circolare uniformemente accelerato, in

= 0 = + .

cui l’accelerazione angolare è costante. Posto abbiamo: Sostituendo in

0 0

2

= + ( + ) = + + 1/2

quella precedente avremo: (legge oraria)

∫

0 0 0 0

0

Trattiamo ora ω come un vettore che avrà:

• Modulo uguale proprio alla velocità angolare istantanea;

• Direzione parallela al piano della traiettoria;

• Verso definito dalla regola della mano destra.

=

∧ .

Dalla definizione del vettore, risulta che: Da ω, per derivazione

rispetto al tempo, si ottiene il vettore accelerazione angolare che risulta parallelo

ad ω. L’accelerazione sarà quindi:

= = ∧ + ∧ = ∧ + ∧ = +

/ = ∧ .

Se il modulo di v è costante, l’accelerazione tangenziale sarà nulla e quindi:

MOTO PARABOLICO DI UN CORPO

Studiamo il moto di un punto P lanciato dall'origine O, con velocità iniziale v,

formante un angolo θ con l'asse delle ascisse. Il moto è caratterizzato da

= = −, = 0

un'accelerazione costante e le condizioni iniziali sono

= = 0,

e , al tempo istante di lancio.

0 = 0.

L’accelerazione ha componenti solo lungo l’asse delle y, quindi

Il vettore velocità ha componenti:

= → = = = → = −

0 0 0 0 0 0

Le leggi orarie del moto, che si ottengono integrando le componenti della velocità, sono:

1 2

() = () = −

(moto uniforme) (moto uniformemente accelerato)

0 0 2

La traiettoria, si ottiene eliminando t dalla funzione y(t):

2

= –

2 2

cos

0

Osserviamo che si tratta dell’equazione di una parabola. Con V

intendiamo il vertice della parabola, e con OG la gittata. La gittata si

= 0:

ottiene imponendo

2 2 2 2 2

2 cos 2 cos 2

0 0 0

= = = = 2

Con , intendiamo l’ascissa del punto massimo di altezza, per questo la gittata è due volte tale

punto (vedi grafico). Per determinare l’altezza massima bisogna determinare l’istante di tempo in

= 0 =

cui o dove e sostituire in y, oppure sostituire nell’equazione della traiettoria:

2 2

0

)

( =

L’angolo di lancio in cui è massima la gittata si ottiene ponendo:

2

2

0 2 2

− + cos = 0 → = 45°

=0→ ( )

= :

il tempo di volo è pari al tempo impiegato a percorrere OG con velocità costante 0

2

0

= =

0

MOTO NELLO SPAZIO

Questo moto può essere rappresentato come somma di tre moti rettilinei lungo gli assi di

() = () = () + () + ().

riferimento: Il vettore velocità è la derivata di r(t):

(

= = + + ) = + + = + +

L’accelerazione è la derivata di v:

= = + + = + +

Le leggi orarie del moto nello spazio sono:

′

( )′

() = + ∫

0

0

′ ′ ′

( ) ( )′

() = + ∫ → () = + ∫

0 0

0 0

′

( )′

() = + ∫

0

0

MOTO RELATIVO RETTILINEO UNIFORME

Prendiamo due sistemi di riferimento: uno “fisso” con origine in O, l’altro in

moto traslatorio uniforme rispetto al primo, con origine in O’.

= = 0

All’istante le due origini coincidono. Prendiamo un punto P con

0

(, , ) (’, ’, ’)

coordinate in O e in O’. Osserviamo che è costante lungo l’asse x, e che:

′

′ ′ ′ ′

= , = + , = − ′.

′

′ ′ ′

= − ; = ; = ; = ′.

Trasformazioni di galileo: Il tempo è assoluto, indipendente

′

dal sistema di riferimento. Se deriviamo rispetto al tempo, troveremo le componenti della velocità

′ ′ ′

= − ; = ; =

rispetto ad O’: . Infine, se deriviamo nuovamente, troveremo

′

′ ′ ′

= ; = ; =

le componenti dell’accelerazione rispetto ad O’: .

COMPOSIZIONE DEI MOTI

= ):

1. Moto nel piano (con

➢ = +

lungo X: armonico semplice + rettilineo uniforme:

➢ = : = +

lungo Y: armonico semplice con centro in

La traiettoria è un cicloide

2. Moto nello spazio:

➢ = ;

lungo X: armonico semplice:

➢ = ;

lungo Y: armonico semplice:

➢ = .

lungo Z: rettilineo uniforme:

La traiettoria è un’elica, di passo costante che ha curvatura e torsione costante.

LA DINAMICA

Per definire la dinamica abbiamo più versioni. Nella versione di Aristotele, ogni elemento ha una

sua posizione naturale: la terra e l’acqua sotto, e l’aria e il fuoco sopra. Ogni elemento cerca di

raggiungere la propria posizione naturale e, una volta raggiunta, rimane in quiete. Per mantenere

un corpo in moto occorre esercitare un’azione su di esso. La versione attuale, invece, si basa sulle

tre leggi di Newton. Esse sono considerati come dei postulati, non dimostrabili, poiché formulati

sulla base delle intuizioni dei grandi fisici, da cui si possono far discendere tutte le altre leggi che

descrivono specifici fenomeni.

LA PRIMA LEGGE DI NEWTON O LEGGE DI INERZIA DI GALILEI

I corpi isolati conservano il loro stato di moto rettilineo uniforme o di quiete.

Per la prima legge di Newton, lo stato naturale dei corpi non è la quiete, ma il moto rettilineo

uniforme, poiché non è necessaria alcuna azione affinché il corpo si mantenga in moto.

Se il corpo è isolato, cioè impossibilità di interagire con altri corpi, non c’è possibilità di cambiare la

sua velocità. Le azioni esercitate dagli altri corpi, capaci di cambiare la velocità di un corpo, si

chiamano forze. Perciò definiamo l’inerzia come la capacità di un corpo di resistere a cambiamenti

del loro moto. Questo concetto si esprime con la massa inerziale, che serve a misurare la capacità

di opporsi ai cambiamenti di velocità.

LA SECONDA LEGGE DI NEWTON

La risultante delle forze agenti su un corpo è uguale alla massa del corpo per l’accelerazione subita.

La forza è un vettore che si misura in Newton, mentre la massa è uno scalare. La seconda legge è

una relazione vettoriale che equivale a tre equazio