Appunti di Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche (parte 1)

Appunti di fisica matematica e trattamento delle osservazioni statistiche

Prof. Tommaso Ruggeri

Facoltà di Architettura e Ingegneria

Laurea Magistrale in Ingegneria civile

Anno 2016-2017

Operatori Matriciali su Vettori

Gli operatori agendo su un vettore, lo trasformano in un altro.

Indicheremo con En lo spazio affine euclideo n-dimensionale reale e con V lo spazio vettoriale ad esso associato.

Indicheremo con {_ei} una generica base ortonormale di V, spazio vettoriale, utilizzando nel seguito la convenzione di Einstein sugli indici ripetuti che prevede la soppressione del simbolo di sommatoria lasciando intendere che detta somma venga eseguita rispetto all’indice ripetuto.

Le Prodotto Scalare

Tra due vettori sarà definito da:

a = (a₁, …, a_n)

b = (b₁, …, b_n)

a ⋅ b = a_ib_i = a₂b₂ + a₂b₂ + … + a_nb_n

somma delle componenti omonime

essendo a_j, b_j (j = 1,2, …, n) le componenti dei vettori a e b rispetto alla base ortonormale {e_j}.

Nel caso ∈₃ il prodotto vettoriale sarà indicato con

c = a ∧ b

c_i = ∑ε_iema_eb_m

Simbolo di Levi-Civita

ε_iem = 0 se i due indici sono uguali

1 se gli indici formano una permutazione pari dei numeri 1, 2, 3

-1 se gli indici formano una permutazione dispari dei numeri 1, 2, 3

perciò

• C₁ = ε_i23a_eb_m = ε₁₂₃a₂b₃ + ε₁₃₂a₃b₂
• C₂ = ε_2ema_eb_m = ε₂₃₁a₃b₁ + ε₂₁₃a₁b₃
• C₃ = ε_3ema_eb_m = ε₃₁₂a₁b₂ + ε₃₂₁a₂b₁

Somma di due operatori

A partire dalla definizione di trasformazione lineare di un vettore per mezzo di una operatore quantunque, si definisce immediatamente l'operatore "C" somma di due operatori "A e B" come l'operatore tale che

C

= A

+ B

∀ v

e si scrive

C= A+B

Si verifica facilmente che un tale operatore sussiste sempre e che fissata una base nella quale si rappresentino gli operatori A, B e C, ed, ognuna componente C

di C è legata alle corrispondenti componenti A

di A e B

di B dalla relazione

C

= A

+ B

Prodotto di due operatori

Possiamo anche definire l'operatore C prodotto di due operatori A e B nella maniera seguente

C

= A (B

) ∀ v

e si scrive

C= AB

Fissata una base, l'elemento C

della matrice che rappresenta l'operatore C è definito nella seguente maniera

C

= A

B

dove A

e B

rappresentano le matrici associate agli operatori A e B rispettivamente, nella stessa base in cui si rappresenta "Il C

"

È importante osservare che il prodotto tra due operatori non gode della proprietà commutativa

AB ≠ BA

È immediato verificare che per qualunque operatore A commuta con l'operatore identità I cioè

AI= IA

IDENTITÀ NOTEVOLI

(AB)^T = B^TA^T

richiamando la definizione di operatore trasposto A v, w = v, A^T w dati due vettori v e w allora

(AB) v, w = v, (AB)^T w

(AB) v, w = A (B v), w = B v, A^T w = v, B^T A^T w

confrontando si ricava che (AB)^T = B^T A^T

(AB)^-1 = B^-1 A^-1 con A e B non singolari

Siano v e w due vettori tali che

• w = (AB) v = A (B v)
• V = (AB)^-1 w
• B v = A^-1 w
• B^-1 (B v) = v = B^-1 (A^-1 w) = B^-1 A^-1 w

dunque confrontando segue (AB)^-1 = B^-1 A^-1

(AB)^C = A^C B^C

1. Data la definizione di operatore coniugato A_ij^C = (-1)^i+j det A (ij), si ha
2. (AB)_ij^C = (-1)^i+j det (AB)^ij
3. allo stesso tempo
4. (A^C B^C)_ij = A_ik^C B_kj^C

… (-1)^i+k det A^(ik) (-1)^k+j det B^(kj)

… = (-1)^i+j+k+k det A^(ik) det B^(kj)

… (-1)^i+j det ^(ik)B^(ij)

dove (-1)^2K = 1 ∀ k ∈ N ed è stato applicato il Teorema di Binet.

quindi A^(ik) B^(kj) = (AB)^(ij)

ed è possibile scrivere

(A^C B^C)_ij = (-1)^i+j det (AB)^ij

Confrontando si riconosce l'identità mostrata sopra

Vettore duale associato ad un operatore antisimmetrico

Poichè nello spazio vettoriale di dimensione n=3 le componenti lagrangiane di un operatore antisimmetrico A fanno parte di ℝ₃ (ad esempio [A₁₂, A₁₃, A₂₃]) è possibile associare ad esso un vettore, le cui componenti, nella stessa base cui sono riferite le componenti di A, sono definite come segue

W₁ = A₃₂ = -A₂₃

W₂ = A₁₃ = -A₃₁

W₃ = A₂₁ = -A₁₂

w = A*v = w∧v

A * v = | A₁₂v₂ + A₁₃v₃ -A₁₂v₁ + A₂₃v₃ |

| A₁₃v₁ - A₂₃v₂ |

| W₁ W₂ W₃ |

| V₁ |

| V₂ |

| V₃ |

A₁₂v₂ + A₁₃v₃ = W₂V₃ - W₃V₂

-A₁₂V₁ + A₂₃V₃ = W₃V₁ - W₁V₃

A₁₃V₁ - A₂₃V₂ = W₁V₂ - W₂V₁

Dunque si può scrivere:

A = | 0 -W₃ W₂ |

| W₃ 0 -W₁ |

| -W₂ W₁ 0 |

Ed è facile verificare che dato un vettore V qualunque vale la relazione

w∧V = A∧V

Che esprime il fatto che l'applicazione dell'operatore antisimmetrico A ad un V arbitrario, vettore V, equivale ad un proiettante vettorialmente il simmetrico del vettore V per il vettore duale w associato all'operatore A.

Av è sempre un vettore ortogonale a V.

L'operatore di prodotto vettoriale si può vedere come l'applicazione di un operatore antisimmetrico su un vettore.

Un vettore duale può essere definito solo in uno spazio tridimensionale.

INVARIANTI PRINCIPALI DI UN OPERATORE

Nel caso degli operatori matriciali n x n è possibile individuare n scalari indipendenti fra loro che sono invarianti rispetto ad una trasformazione di similitudine.

Nel caso n = 3 queste grandezze sono la traccia, la traccia dell'operatore complementare e il determinante.

• I₁ = tr A
• I₂ = tr A^C
• I₃ = det A

Naturalmente ogni funzione di questi tre invarianti (che prendono il nome di invarianti principali) è anch'essa una grandezza invariante.

Verifichiamo l'invarianza di I₁, I₂ e I₃ ricordando le proprietà della traccia tra parentesi che tr (ABC) = tr (BCA) = tr (CAB) e le proprietà del determinante.

Invarianza della traccia

I₁ = tr A = tr (RTAR) = tr (ARR) = tr (AI) = tr A

Invarianza della traccia dell'operatore complementare

I₂ = tr A^C = tr (RTAR)^C = tr (RT^CA^CR^C)

tr (RTACR) = tr (ACRR) = tr (ACI) = tr AC

Invarianza del determinante

I₃ = det A¹ = det (RTAR) = det R det A det R = det A

AUTOVALORI E AUTOVETTORI DI UN OPERATORE

Assegnato un operatore A e due di ordine n ha un sistema operativo tridimensionale i vettori di un nucleo V (se esiste). Tale che applicando ad essi l'operatore A il vettore che ne risulti sia parallelo al vettore v stesso ovvero i vettori v per i quali sia AV = λV per un qualche λ

Questa espressione può tenere anche riscritta nella formula: