Riassunto esame Fisica Matematica e trattamento delle osservazioni statistiche, Prof. Ruggeri Tommaso, libro consigliato Introduzione alla termomeccanica dei continui, Tommaso Ruggeri

FISICA MATEMATICA

VETTORE

MODULO

CONVENZIONE DI EINSTEIN

OPERATORI MATRICIALI SU VETTORI

• PRODOTTO SCALARE

IN COMPONENTI

• PRODOTTO VETTORIALE

IN COMPONENTI

SIMBOLO DI LEVI-CIVITA

SI SCRIVONO SOLO I TERMINI CHE SOPRAVVIVONO.

COMPLEMENTO ALGEBRICO

OPERATORE MATRICIALE LINEARE: UN OPERATORE LINEARE TRASFORMA UN GENERICO VETTORE IN UN ALTRO VETTORE

IN COMPONENTI

IL VETTORE DIPENDE DA E DA MA NON DALLA BASE

ESSENDO OPERATORE LINEARE VALGONO LE PROPRIETÀ:

GENRICO VETTORE: Vi = uᵢ eᵢ

• Le componenti del generico vettore dipendono dal vettore stesso v e dalla base {eᵢ}.
• Operatore Identità: È l’operatore lineare I che trasforma un qualunque vettore v in sé stesso v = Iv, I = ||δᵢⱼ||

Simbolo di Kronecker δᵢⱼ = 0 per i ≠ j, 1 per i = j.

• Prodotto di uno scalare per un operatore particolare: C = λA
• Operatore Isotropo: C = λI =

  ⎡ λ 0 0 ⎤

  ⎢ 0 λ 0 ⎥

  ⎣ 0 0 λ ⎦

• L’operatore risultante dal prodotto tra un numero e l’operatore identità.
• Somma di due operatori: Cv = Av + Bv → C = A + B cᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
• Prodotto di due operatori: Cv = A·B·v → C = A·B cᵢⱼ = aᵢₖ bₖⱼ
• Il prodotto fra operatori non gode della proprietà commutativa, AB ≠ BA. In tal caso in cui verifica AB = BA si dice che i due operatori commutano tra loro. Un qualunque operatore A commuta con l’operatore identità → AI = IA
• Operatore Trasposto: Aᵀ si ottiene scambiando le righe con le colonne della matrice associata all’operatore A
• AV•w = v•Aᵀw aᵢⱼ = aⱼᵢᵀ
• Traccia di un operatore: tr A = Aᵢᵢ è lo scalare ottenuto sommando gli elementi sulla diagonale principale della matrice A.
• Se operatore A ha traccia nulla si dice deviatore.
• tr A = 0
• • Proprietà: tr (A + B) = tr A + tr B
  • tr (λA) = λ tr A
  • tr I = m
  • tr A = tr Aᵀ
  • tr (AB) = tr (BA)
  • tr (ABC) = tr (CAB) = tr (BCA)
• Determinante di un operatore: È lo scalare calcolato come combinazione lineare di m determinanti di operatori di ordine (m-1) Aᵢⱼᶦ (Aᵘᵘ è la matrice ottenuta da A eliminando la i-esima riga e la j-esima colonna)
• det A = Σ_j=1^m (-1)ᶦ⁺ʲ Aᵢⱼ det Aᵢⱼᶦ
• • Proprietà: det A = det Aᵀ
  • det (λA) = λᵐ det A
  • det (AB) = det A det B → Teorema di Binet
• det A = 0 → op. A singolare
• det A ≠ 0 → op. A non singolare
• Operatore inverso: È l’operatore che permette di effettuare la trasformazione inversa a quella effettuata da A: w = A·v = v = A⁻¹w;
• Si dice che un operatore A è invertibile se esiste un operatore B tale che BA = AB = I, esso è unico e si chiama inverso di A
• A⁻¹ = Aᵀ ÷ det A → A invertibile se e solo se det A ≠ 0

Operatori Definiti di Segno

Un operatore A si dice definito positivo o definito negativo se sono verificate rispettivamente le seguenti condizioni:

• A∙v > 0 ∀v ≠ 0
• A∙v < 0 ∀v ≠ 0
• A∙v = 0 v = 0

Gli operatori definiti positivi e definiti negativi trasformano un generico vettore v in un vettore w=A∙v che forma un angolo rispettivamente θ < π/2 e θ > π/2.

Un operatore A si dice semidefinito positivo o semidefinito negativo se sono verificate rispettivamente le seguenti condizioni:

• A∙v ≥ 0 ∀v
• A∙v ≤ 0 ∀v
• A∙v = 0 ∃v ≠ 0

Questi operatori trasformano un generico vettore v in un vettore w=A∙v che forma un angolo rispettivamente θ ≤ π/2 e θ ≥ π/2.

Proprietà:

• Gli autovalori di un operatore A simmetrico definito positivo sono tutti strettamente positivi:
• A∙v = λ₁y₁² + λ₂y₂² + λ₃y₃² > 0 → λ_i > 0
• Gli autovalori di un operatore A simmetrico definito negativo sono tutti strettamente negativi:
• A∙v < 0 → λ_i < 0

Un operatore A definito come A=F^T∙F con F operatore non singolare è simmetrico e definito positivo:

• A= (F^T)∙F = F^T∙A
• A∙v = (F∙F^T)∙v = F∙(F^T∙v) = F∙v∙Fv = (Fv)² con det F ≠ 0

Criterio di Sylvester:

Si effettua tale criterio per verificare se un operatore A simmetrico è definito o semidefinito di segno.

• Δ_k = det |A₁₁ A₁₂ ... A_1k| |A₂₁ A₂₂ ... A_2k| |A_k1 ... A_kk|
• L'operatore A è definito positivo se e solo se Δ_k > 0 per k=1,2,...,m
• L'operatore A è definito negativo se e solo se (-1)^kΔ_k > 0 per k=1,2,...,m
• Δ_k = det |A_i1 A_i2 ... A_i(ik)| |A_i21 A_i22 ... A_i2k| |A_im1 ... A_mik|
• L'operatore A è semidefinito positivo se e solo se tutti i Δ_k sono non negativi e almeno uno nullo
• L'operatore A è semidefinito negativo se e solo se tutti i Δ_i di ordine pari sono non negativi e tutti i Δ_k di ordine dispari sono non positivi e almeno uno nullo

In un operatore A non simmetrico si riconduce allo studio del segno della sua parte simmetrica A': A∙v∙v = (A^T A) ∙ v ∙v = A'v ∙v

FORZE IN UN CONTINUO

In genere possiamo avere forze di diverso tipo agenti su un corpo continuo.

1. Forze esterne di volume (o di massa): in ogni punto interno P e C si considera un elemento dV di volume attinga a P di sua dm una massa.

   \[\int f \, dv = \int dm \, a \] \[F = \rho \cdot b \cdot dV \]

2. Forze esterne superficiali: agiscono sui punti P e C della frontiera \(\int f \, d\Sigma\).

3. Forze interne di contatto: \(\int f \, dm \, d\sigma\)

   Sia \(\pi\) si consideri \(\pi m\) e il piano passante per il punto nel quale si agiscono le. \(\pi\) nel contorno di \(\pi\) in approssimazione che la risultante \(\pi m\) d\sigma sono le forze di contatto che le molecole della pagina positiva dot\(\pi\) esercitano su quelle della pagina negativa dot\(\sigma\).

   t_m - sforzo specifico e ha le dimensioni di una forza per unità di superficie per il principio azione - reazione: \(t_{-m} = -t_{m}

TEOREMA DI CAUCHY

Si dice che in infiniti forze specifica nel punto P esiste tale ternera che permette di ottenere t_m escendo solo gli sforzi specifici nelle tre direzioni normali corrispondenti ai versori della base e₁, e₂, e₃.

\(t_m = t₁m₁ + t₂m₂ + t₃m₃

Si considera il corpo in equilibrio quindi la 1 legge cardinale della statica ci dice che la risultante di tutte le forze esterne deve essere nulla per una generica parte del continuo di volume \Delta V e di superficie \Delta \Gamma (tetraedro);

\[\Re e^0 = 0 \rightarrow \int_{\Delta V} f dv + \int_{\Delta \Gamma} t_{m} d\Gamma = 0\]

\[\int_{\Delta V} f dv + \oint_{\Delta \Gamma} t_{m} d\Gamma \oint_{\Delta \Gamma^1} t_{1} d\sigma_1 - \oint_{\Delta \Gamma^2} t_{2} d\sigma_2 -\oint_{\Delta \Gamma^3} t_{3} d\sigma_3 = 0\]

APPLICANDO IL TEOREMA DELLA MEDIA

\(\int_{a}^{b} f(x) dx = f(\hat{x}) (b-a)\)

Integrale di volume: \(\int_{v} f(\rho) dv = f(\rho_{i}) \Delta v\)

Integrale di superficie: \(\int_{\Gamma} f(\rho) d\Gamma = f(\rho_{i}) \Delta_\Gamma\)

Allora la risultante diventa: \( F(\rho) \Delta v + t_{m}(\rho) \Delta \Gamma - t_{2} (\rho) \Delta t_2 \Delta t_3 \Delta t_1 \)

Per un tetraedro sappiamo che \(\Delta V = \frac{\Delta_{0} h}{3}\) è \(\Delta \Gamma_i\) su tutte \(\oint m_{i} d_\Gamma\)