Appunti di Fisica I sull'energia di un sistema

ENERGIA DI UN

SISTEMA

La definizione di grandezze quali la posizione, la velocità, l’accelerazione e

la forza, ed i principi ad esse associati, quali la seconda legge di Newton,

ci consentono di risolvere una molteplicità di problemi. Altre grandezze

potrebbero sembrarti riconducibili alla vita ordinaria, ma assumere un

significato più specifico in fisica che nella vita ordinaria. Inizieremo questa

discussione esplorando il concetto di energia. Il concetto di energia è uno

dei più importanti nelle scienze e nell’ingegneria. Queste idee, tuttavia, non

definiscono realmente il concetto di energia. L’energia è presente

INTRODUZIONE nell’Universo in varie forme. Ogni processo fisico nell’Universo coinvolge

energia e trasferimenti o trasformazioni di energia. Il concetto di energia si

può applicare alla dinamica di un sistema meccanico senza ricorrere alle

leggi di Newton. Inoltre, questo approccio energetico ci consente di

comprendere fenomeni termici ed elettrici che verranno affrontati in

capitoli successivi del testo. Iniziamo questo nuovo approccio focalizzando

la nostra attenzione su di un sistema e sui modelli di analisi basati sul

modello di sistema. In questo capitolo introdurremo il concetto di sistema e

tre modi con cui è possibile immagazzinare energia in un sistema.

SISTEMI E AMBIENTI

Un sistema è un modello secondo il quale la nostra attenzione viene concentrata su una piccola regione dell’Universo, il sistema, ignorando i dettagli del resto

dell’Universo all’esterno del sistema stesso.

Un sistema può:

Essere un singolo oggetto o particella;

❖ Essere un insieme di oggetti o particelle;

❖ Essere una regione dello spazio;

❖ Variare in dimensioni e forma.

❖

Indipendentemente da quale sia il sistema che compare in un particolare problema, si identifica un contorno del sistema, che è una superficie immaginaria che

divide l’Universo in sistema e ambiente circostante al sistema. Si immagina una forza applicata a un oggetto nello spazio vuoto. Si può definire l’oggetto come

sistema e la sua superficie come il contorno del sistema. La forza ad esso applicata rappresenta l’influenza sul sistema da parte dell’ambiente, il quale agisce

attraverso il contorno del sistema. L’influenza da parte dell’ambiente include le forze di gravità sulla palla e sul cubo, la forza normale e d’attrito sul cubo, la forza

della puleggia sulla fune e la forza applicata di modulo F. Le forze esercitate dalla fune sulla palla e sul cubo sono interne al sistema e, quindi, non sono considerate

come un’influenza da parte dell’ambiente. Ci sono molti modi in cui un sistema può essere influenzato dal suo ambiente. Il primo tra questi che studieremo è il

lavoro. LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA COSTANTE

Si esamina la situazione in figura, dove l’oggetto (il sistema) è sottoposto ad uno

spostamento lungo una linea retta sotto l’azione di una forza costante di modulo F che

forma un angolo θ con la direzione dello spostamento.

IL LAVORO W FATTO SU UN SISTEMA DA UNA CAUSA CHE ESERCITA

UNA FORZA COSTANTE SUL SISTEMA È IL PRODOTTO DEL MODULO

DELLA FORZA F, DEL MODULO DELLO SPOSTAMENTO ΔR DEL

PUNTO DI APPLICAZIONE DELLA FORZA E DI COS Θ, ESSENDO Θ

L’ANGOLO COMPRESO TRA IL VETTORE FORZA ED IL VETTORE

SPOSTAMENTO:

≡ ∆

il lavoro è una grandezza scalare sebbene sia definito in termini di due grandezze vettoriali,

la forza F e lo spostamento Δr .

-> ->

LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA COSTANTE

Si noti anche che lo spostamento nell’equazione precedente è quello del punto di applicazione della forza.

Se la forza è applicata ad una particella oppure ad un corpo rigido che possa essere descritto come una

particella, lo spostamento sarà identico a quello della particella. Tuttavia, per un sistema deformabile, questi

spostamenti non saranno gli stessi. Una forza non compie lavoro su un corpo se essa non produce uno

spostamento. Se Δr = 0, l’equazione precedente dà W = 0. L’Equazione precedente mostra anche che il

lavoro compiuto da una forza su un oggetto che si muove è nullo se la forza è applicata perpendicolarmente

allo spostamento del suo punto di applicazione. Se θ = 90°, allora W = 0 perché cos90° = 0.

LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA COSTANTE

Per esempio, nella figura a fianco, il lavoro compiuto dalla forza normale sull’oggetto e quello compiuto dalla

forza gravitazionale sull’oggetto sono entrambi nulli perché entrambe le forze sono perpendicolari allo

spostamento ed hanno componenti nulle lungo un asse che giace lungo la direzione di Δr . Il segno del

->

lavoro dipende anche dalla direzione di F relativamente a Δr . Il lavoro compiuto dalla forza applicata al

-> ->

sistema è positivo quando la proiezione di F su Δr è nello stesso verso dello spostamento. Per esempio,

-> ->

quando un oggetto viene sollevato, il lavoro compiuto dalla forza applicata sull’oggetto è positivo perché

l’orientazione di quella forza è verso l’alto. Quando la proiezione di F su Δr è nel verso opposto allo

-> ->

spostamento, W è negativo. Per esempio, quando un oggetto viene sollevato, il lavoro compiuto dalla forza

di gravità sull’oggetto è negativo. Il fattore cosθ nella definizione di W tiene conto automaticamente del

segno. Se una forza applicata F agisce nella stessa direzione e nello stesso verso dello spostamento Δr ,

-> ->

allora θ = 0 e conseguentemente cos θ = 1. In questo caso l’equazione precedente diviene:

= ∆

LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA COSTANTE

Le dimensioni del lavoro sono quelle di una forza moltiplicata per una lunghezza. Pertanto,

nel SI le unità di misura del lavoro sono newton • metro (N • m = kg • m /s ). Questa

2 2

combinazione di unità di misura viene utilizzata così frequentemente che ha ricevuto un

nome specifico, il joule (J). Una considerazione importante nell’approccio ai problemi in

termini di sistemi è che il lavoro rappresenta un trasferimento di energia. Se W è il

lavoro compiuto su un sistema e W è positivo, l’energia viene trasferita al sistema; se W è

negativo, l’energia viene trasferita dal sistema. Pertanto, se un sistema interagisce con il

suo ambiente, questa interazione può essere descritta come un trasferimento di energia

attraverso il contorno. Il risultato è un cambiamento nell’energia immagazzinata nel

sistema. PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI

A causa del modo in cui la forza e lo spostamento vengono introdotti nell’equazione è conveniente utilizzare uno

≡ ∆ cos

strumento matematico detto prodotto scalare dei due vettori. Indichiamo il prodotto scalare di due vettori A e B come A • B

-> -> -> ->

(prodotto indicato col punto). Il prodotto scalare di due grandezze vettoriali qualsiasi, A e B , è definito come una grandezza

-> ->

scalare pari al prodotto dei moduli dei vettori per il coseno dell’angolo θ compreso tra di essi:

→ →

∙ ≡ cos

Le grandezze A e B non devono necessariamente avere le stesse dimensioni. Si può esprimere quest’ultima con un prodotto

-> ->

scalare: → →

= ∆ cos = ∆

PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI

La figura a fianco mostra i vettori A e B e l’angolo θ compreso fra essi utilizzato nella definizione di prodotto scalare. Sempre

-> ->

nella figura, Bcosθ è la proiezione di B su A . Pertanto, il prodotto di A nella prima equazione ha significato di prodotto del

-> -> -> ->

•B

modulo di A per la proiezione di B su A . Dal secondo membro dell’equazione successiva si può dedurre che il prodotto scalare

-> -> ->

è commutativo. Cioè: → → → →

∙ = ∙

Infine, il prodotto scalare ubbidisce alla proprietà distributiva della moltiplicazione, così che:

( )

→ → → → → → →

∙ + = ∙ + ∙

Il prodotto scalare è semplice da calcolare, nei casi in cui A sia perpendicolare o parallelo a B . Se A è perpendicolare a B (θ

-> -> -> ->

= 90°), allora A = 0. (Il prodotto scalare, A , è ancora uguale a zero nel caso più banale, cui o A o B siano nulli).

-> -> -> -> -> ->

•B •B

Se A e B sono due vettori paralleli e concordi (θ = 0), allora A = AB. Se A e B sono paralleli ma hanno verso opposto

-> -> -> -> -> ->

•B

(θ = 180°), allora A = -AB. Si osservi che il prodotto scalare è negativo quando 90° < θ <= 180°.

-> ->

•B

PRODOTTO SCALARE DI DUE VETTORI

I versori î, e k , giacciono, rispettivamente, lungo le direzioni positive degli assi x, y e z, di un sistema di coordinate cartesiane ortogonali. Quindi, dalla definizione di A segue

^ -> ->

ĵ •B

che il prodotto scalare di questi versori è dato da: ^ ^

î ∙ î = ĵ ∙ ĵ = ∙ =1

^ ^

î ∙ ĵ = î ∙ = ĵ ∙ =0

I due vettori A e B possono essere espressi mediante i loro componenti cartesiani ortogonali:

-> -> → ^

= î + ĵ +

→ ^

= î + ĵ +

Quindi, usando queste espressioni e le informazioni ricavate dalle equazioni in rosso, il prodotto scalare di A e B si riduce a:

-> ->

→ →

∙ = + +

Nel caso particolare in cui A = B si nota che:

-> -> → → 2 2 2

∙ = + +

LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA VARIABILE

Si considera una particella che si sposta lungo l’asse delle x sotto l’azione di una forza diretta secondo l’asse x, che varia con la posizione. La

particella si sposta nella direzione delle x crescenti da x = x a x = x . In una tale situazione, non si può usare W = FΔrcosθ per calcolare il

i f

lavoro svolto dalla forza, poiché essa si può applicare soltanto nel caso in cui la forza F è costante in modulo e direzione. Se, tuttavia, si

->

immagina che la particella compia uno spostamento Δx molto piccolo, come descritto in figura a, la componente della forza lungo l’asse x, F ,

x

può essere considerata approssimativamente costante in questo intervallo e si può esprimere il lavoro svolto dalla forza per questo piccolo

spostamento come:

≈ ∆

Che è l’area del rettangolo ombreggiato nella figura a. Se si immagina di dividere in un gran numero di tali intervalli la curva F in funzione di x,

x

allora il lavoro totale svolto, nello spostamento che va da x a x , è uguale, approssimativamente, alla somma di un grande numero di tali termini:

i f

∑

≈ ∆

LAVORO SVOLTO DA UNA FORZA VARIABILE

Se la dimensione degli spostamenti Δx tende a zero, allora il numero dei termini della sommatoria cresce all’infinito, ma il valore della sommatoria tende a un valore finito che è uguale all’area

delimitata dalla curva Fx e dall’asse delle x:

∫

∑

lim ∆ =

∆ →0

Pertanto, si può esprimere il lavoro fatto da F sulla particella mentre si muove da x ad x come:

x i f

∫

=

Questa equazione si riduce all’equazione quando la componente F = Fcosθ è costante. Se su un sistema agisce più di una forza ed esso può essere assimilato ad una particella,

≡ ∆ cos x

il lavoro totale svolto sul sistema è proprio il lavoro compiuto dalla forza risultante. Se esprimiamo la componente x della forza risultante come ΣF , il lavoro totale, o lavoro risultante, compiuto

x

sulla particella quando questa si muove da x a x è:

i f

( )

∫

∑ ∑