Appunti di Fisica I sull'energia di un sistema

LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

Un modello che descrive un sistema fisico comune, in cui la forza varia con la posizione, è indicato in figura. Il sistema è costituito da un

blocco, su una superficie orizzontale liscia, collegato a una molla. Se la molla è allungata o compressa di un piccolo tratto dalla sua posizione di

equilibrio, essa eserciterà una forza sul blocco che può essere descritta matematicamente da:

= −

dove x è la posizione del blocco rispetto alla sua posizione di equilibrio (x = 0) e k è una costante positiva detta costante elastica della molla.

La forza necessaria per allungare o per comprimere una molla è proporzionale all’entità dell’allungamento o della compressione x. Questa legge

per le molle è nota come legge di Hooke. Il valore di k è una misura della rigidità della molla. Molle rigide hanno alti valori di k mentre quelle

soffici hanno valori di k più bassi. Le dimensioni di k sono N/m. La forma vettoriale dell’equazione precedente è:

→ = î = − î

dove abbiamo scelto come asse x la direzione lungo la quale la molla viene allungata o compressa.

LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

Il segno negativo nelle equazioni precedenti significa che la

forza esercitata dalla molla è sempre diretta in verso opposto

a quello dello spostamento dalla posizione di equilibrio.

Quando x > 0, come in figura a, il blocco si trova a a destra

della posizione di equilibrio e la forza della molla è rivolta a

sinistra, cioè è rivolta nel verso negativo dell’asse x. Se x <

0 come in figura c, il blocco si trova a sinistra della

posizione di equilibrio e la forza della molla è rivolta a destra,

nel verso positivo dell’asse x. Quando x = 0, come in figura

b, la molla non è deformata ed Fm = 0. Essendo la forza

della molla sempre diretta verso la posizione di equilibrio, essa

è talvolta indicata col nome di forza di richiamo.

LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

Una volta che il blocco è spostato ad una certa posizione -x e quindi lasciato libero, esso si muoverà da -x a +x , passando attraverso lo zero. Esso

max max max

inverte il suo moto, torna indietro fino a -x e continua ad oscillare avanti e indietro. Si suppone che la particella sia spinta verso sinistra fino a -x e

max max

quindi venga rilasciata. Identifichiamo il blocco come il nostro sistema e calcoliamo il lavoro, W , fatto dalla molla sul blocco quando il blocco si muove da x =

m i

-x a x = 0. Applicando l’equazione precedente in blu ed assumendo che il blocco si possa assimilare ad una particella, si ha:

max f 0 1

∫ ∫ ∫

→

→ 2

(− ( (− )

= ∙ = î) ∙ î) = = 2

−

dove abbiamo utilizzato l’integrale ∫x dx = x /(n + 1) con n = 1. Il lavoro svolto dalla forza elastica sul blocco è positivo poiché la forza della molla ha il

n n+1

medesimo verso dello spostamento. Dal momento che il blocco arriva ad x = 0 con una velocità diversa da zero, continuerà a muoversi fintanto che non

arriverà alla posizione +x . Il lavoro compiuto dalla forza della molla sul blocco quando si muove da x =0 a x = +x è dato da W = -½k . Il lavoro è

2max

max i f max m

negativo poiché per questa parte del moto lo spostamento è rivolto verso destra e la forza della molla è diretta verso sinistra. Pertanto, il lavoro totale svolto

dalla forza della molla mentre il blocco si muove da x = -x a x = x è zero.

i max f max

LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

La figura d riporta in grafico la funzione Fm in funzione di x. Il lavoro calcolato servendosi dell’equazione in verde, è equivalente all’area del triangolo

ombreggiato, corrispondente allo spostamento da -x a 0. Poiché il triangolo ha base x ed altezza kx , l’area di questo triangolo è in accordo con il

max max max

lavoro compiuto dalla molla determinato mediante l’equazione in verde. Se il blocco compie uno spostamento arbitrario da x = xi a x = xf , il lavoro svolto

dalla forza della molla è dato da:

∫ ( )

= − = −

LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

Dall’equazione in arancione vede che il lavoro compiuto dalla forza della molla sul

blocco è zero per qualsiasi moto i cui punti estremi coincidano (x = x ). Le

i f

equazioni in verde e arancione descrivono il lavoro svolto dalla forza della molla sul

blocco. Si considera il lavoro compiuto sul blocco da un agente esterno che applichi

una forza al blocco determinandone lo spostamento molto lento da x = -x a

i max

x =0, come mostrato in figura. Si può calcolare facilmente questo lavoro

f

considerando che la forza applicata, app, è uguale ed opposta alla forza della molla,

F , per qualsiasi valore dello spostamento, così che F = F î= -F = -(-kxî) =

->app ->m

m app

kxî. Dunque, il lavoro svolto da questa forza applicata sul blocco è uguale a:

0 1

∫ ∫ ∫

→ → 2

= ∙ = ( î) ∙ ( î) = = − 2

−

LAVORO SVOLTO DA UNA MOLLA

È da notare che questo lavoro è uguale ma di segno contrario al lavoro svolto dalla forza della molla sul blocco nel medesimo

spostamento. Il lavoro è negativo perché l’agente esterno deve comprimere la molla per impedire che essa si allunghi, e questa

direzione è opposta alla direzione dello spostamento del punto di applicazione della forza dato che il blocco si muove da -x a

max

0. Per uno spostamento arbitrario del blocco, il lavoro fatto sul sistema dall’agente esterno è:

1 1

∫ 2 2

= = −

2 2

ENERGIA CINETICA E TEOREMA DELL’ENERGIA

CINETICA

Il lavoro è un’influenza che l’ambiente esercita sul sistema, ma non abbiamo ancora discusso gli effetti prodotti sul sistema da questa influenza. Una possibile conseguenza del lavoro

compiuto sul sistema è che la velocità di quest’ultimo cambi. In questo paragrafo questa situazione viene analizzata e viene introdotta la prima forma di energia che il sistema può

possedere, chiamata energia cinetica. Consideriamo un sistema composto da un singolo oggetto. La figura a fianco mostra un blocco assimilato a una particella di massa m in moto

verso destra lungo l’asse x sotto l’azione di una forza risultante ΣF anch’essa rivolta verso destra. Sappiamo dalla seconda legge di Newton che il blocco si muove con accelerazione

->

a . Se lo spostamento del blocco (e quindi della forza) è Δr = Δxî = (x – x )î, il lavoro totale compiuto dalla forza esterna ΣF sul blocco è:

-> -> ->

f i

∫ ∑

=

Si può sostituire al modulo della forza risultante ΣF = ma e poi usando la regola della derivata di una funzione composta sull’integrando:

∫ ∫ ∫ ∫

= = = =

1 1

2 2

= −

2 2

dove v è la velocità del blocco ad x = x e v la velocità ad x .

i i f f

ENERGIA CINETICA E TEOREMA DELL’ENERGIA

CINETICA

Essa ci dice che il lavoro svolto dalla forza risultante su una particella di massa m è uguale alla differenza fra i valori finale e

iniziale della grandezza ½mv . Questa grandezza è così importante che le è stato assegnato il nome specifico di energia cinetica:

2

1 2

≡ 2

L’energia cinetica rappresenta l’energia associata al moto della particella. L’energia cinetica è una grandezza scalare e ha le

stesse unità di misura del lavoro. L’equazione in rosa asserisce che il lavoro compiuto su di una particella da una forza risultante

ΣF-> agente su di essa è pari alla variazione dell’energia cinetica della particella. È spesso conveniente scrivere l’equazione in

rosa nella forma:

= − = ∆

Un altro modo di scriverla è K = K + W , che ci dice che l’energia cinetica finale dell’oggetto è pari all’energia cinetica

f i EST

posseduta inizialmente più il cambiamento in energia dovuto al lavoro fatto su di esso.

ENERGIA CINETICA E TEOREMA DELL’ENERGIA

CINETICA

L’equazione precedente è un risultato importante noto come teorema dell’energia cinetica:

QUANDO È SVOLTO LAVORO SU UN SISTEMA E LA SOLA VARIAZIONE NEL SISTEMA È IL MODULO DELLA SUA

VELOCITÀ, IL LAVORO COMPIUTO DALLA FORZA RISULTANTE È UGUALE ALLA VARIAZIONE DELL’ENERGIA

CINETICA DEL SISTEMA.

Il teorema dell’energia cinetica afferma inoltre che la velocità della particella aumenta se il lavoro totale compiuto su di essa è

positivo, giacché l’energia cinetica finale sarà maggiore di quella iniziale. La velocità decrescerà se il lavoro totale è negativo,

poiché l’energia cinetica finale risulterà minore di quella iniziale. Un altro tipo di moto è quello rotatorio, nel quale un oggetto ruota

attorno ad un asse. Il teorema dell’energia cinetica è valido anche per sistemi che mostrano variazioni nella velocità di rotazione

in conseguenza di lavoro che viene svolto su di essi. Si considera ora un sistema composto da due o più

particelle od oggetti che interagiscano tra loro mediante

ENERGIA una forza interna al sistema. L’energia cinetica di tale

sistema è la somma algebrica di tutte le energie cinetiche

POTENZIALE DI dei componenti del sistema. Ci potrebbero però essere

sistemi in cui uno dei componenti è dotato di massa

UN SISTEMA enormemente maggiore di quella degli altri da poter

essere considerato stazionario e pertanto privo di

energia