Appunti di Fisica I sul moto in due dimensioni

MOTO IN DUE

DIMENSIONI

Qui si trattala cinematica di un oggetto

con il modello del punto materiale che si

muove su un piano. Questo è il moto

INTRODUZIONE bidimensionale. Si studia una particella

in moto circolare uniforme e discuteremo

vari aspetti delle particelle che si

muovono su traiettorie curvilinee.

VETTORI DI POSIZIONE, VELOCITÀ

E ACCELERAZIONE

•

Si descrive la posizione di una particella con un vettore di posizione ,

tracciato a partire dall’origine del sistema di riferimento alla posizione

della particella posta nel piano xy. All’istante ti, la particella è nel punto

A, e a un qualche istante successivo t , la particella è in B, dove i pedici i

f

e f si riferiscono ai valori iniziale e finale. Quando la particella si muove

da A a B nell’intervallo di tempo Δt = t - t , il vettore posizione cambia

f i

da r a r . Lo spostamento di una particella è la differenza fra la

->i ->f

posizione finale e quella iniziale:

VETTORI DI POSIZIONE, VELOCITÀ

E ACCELERAZIONE

•

Si definisce la velocità media della particella durante l’intervallo di tempo ∆t come

il rapporto fra lo spostamento e l’intervallo di tempo:

Poiché lo spostamento è una grandezza vettoriale e l’intervallo di tempo è una

grandezza scalare, concludiamo che la velocità media è una grandezza vettoriale

diretta lungo Δr . La velocità media fra i punti A e B è indipendente dal percorso fra

->

i due punti. Ciò in quanto la velocità media è proporzionale allo spostamento, che a

sua volta dipende solamente dai vettori posizione iniziale e finale e non dalla

traiettoria fra questi due punti. Quando gli intervalli di tempo nei quali osserviamo il

moto diventano sempre più piccoli, la direzione dello spostamento tende a quella

della tangente alla traiettoria nel punto A.

VETTORI DI POSIZIONE, VELOCITÀ

E ACCELERAZIONE

•

La velocità istantanea è definita come il limite della velocità media Δr /Δt

->

quando Δt tende a 0:

Cioè, la velocità istantanea è uguale alla derivata del vettore posizione

rispetto al tempo. La direzione del vettore velocità istantanea in ogni punto

della traiettoria di una particella è quella della retta tangente alla traiettoria

in quel punto e nel verso del moto. Il modulo del vettore velocità istantanea si

chiama velocità scalare. Quando una particella si muove da A a B lungo un

percorso arbitrario, il suo vettore velocità istantanea cambia da v al tempo t

->i i

a v al tempo t .

->f f

VETTORI DI POSIZIONE, VELOCITÀ

E ACCELERAZIONE

•

L’accelerazione media della particella in un intervallo di tempo è definita come il

rapporto della variazione del vettore velocità ∆v istantanea e l’intervallo di tempo ∆t:

->

Poiché l’accelerazione media è il rapporto di una grandezza vettoriale ∆v e di una

->

grandezza scalare ∆t, si conclude che a è una grandezza vettoriale diretta lungo ∆v

m-> -

. La direzione di ∆v si trova aggiungendo il vettore –vi (l’opposto di v ) al vettore

> -> -> ->

i

v , poiché per definizione Δv = v -v . L’accelerazione istantanea è definita come il

f-> -> f-> i->

valore limite del rapporto che tende a zero:

L’accelerazione istantanea è uguale alla derivata del vettore velocità rispetto al tempo.

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON

ACCELERAZIONE COSTANTE

•

Si considera il moto in due dimensioni durante il quale il modulo e la direzione

dell’accelerazione rimangano costanti. In questa situazione, si analizza il moto come

una versione bidimensionale.

Il moto in due dimensioni può essere rappresentato come due moti indipendenti in

ciascuna delle due direzioni perpendicolari associate con l’asse delle x e l’asse delle y.

In altri termini, ciò che succede lungo l’asse delle y non ha effetti sul moto lungo

l’asse delle x e viceversa.

Il moto di una particella può essere descritto se il suo vettore posizione è noto in ogni

istante. Il vettore posizione per una particella in moto nel piano xy può essere scritto:

dove x, y, e r variano nel tempo al muoversi della particella.

->

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON

ACCELERAZIONE COSTANTE

•

Se il vettore posizione è noto, la velocità della particella può essere ottenuta:

Poiché si assume che a sia costante in questa discussione, le sue

->

componenti a ed a sono pure costanti. Pertanto si possono applicare le

x y

equazioni della cinematica separatamente ad entrambe le componenti x e y

del vettore velocità. Sostituendo v = v = v + a t e v = v = v + a t si

x xf xi x y yf yi y

ottiene: MOTO IN DUE DIMENSIONI CON

ACCELERAZIONE COSTANTE

•

Questo risultato afferma che la velocità v di una particella a un certo

->

istante t è uguale alla somma vettoriale della sua velocità iniziale v e

i->

della velocità addizionale a t acquistata nel tempo in conseguenza della

->

sua accelerazione costante. Si sa che le coordinate x e y di una particella

in moto con accelerazione costante sono date da:

e

Sostituendo queste espressioni si ottiene:

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON

ACCELERAZIONE COSTANTE

•

Questa equazione implica che il vettore posizione finale r f-

è la somma vettoriale del vettore posizione iniziale r

> ->

i

più uno spostamento v t, dovuto alla velocità iniziale

i->

della particella, e uno spostamento ½a t , risultante

-> 2

dall’accelerazione uniforme della particella. Si noti dal

grafico b che in generale non è orientato lungo la

direzione di r->i, v->i, o a->, poiché la relazione tra queste

grandezze è un’espressione vettoriale. Per la stessa

ragione, dal grafico a, si nota che non è generalmente

orientato lungo la direzione di vi-> o a->. Infine, se si

confrontano i due grafici, vediamo che e non sono nella

stessa direzione. Poiché le equazioni e sono espressioni

vettoriali, si possono anche scrivere le equazioni per le

loro componenti x e y:

b

a � �

=� +� � �

=� +�

1° �� �� � � � � � �

equazione 1 1

2° equazione 2 2

� � � � �

= +� + � � � � �

= +� +

� � �� � � � � � �

2 2

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON

ACCELERAZ