Appunti di Fisica I sul moto in due dimensioni

ACCELERAZIONE COSTANTE

Si considera il moto in due dimensioni durante il quale il modulo e la direzione dell'accelerazione rimangano costanti. In questa situazione, si analizza il moto come una versione bidimensionale.

Il moto in due dimensioni può essere rappresentato come due moti indipendenti in ciascuna delle due direzioni perpendicolari associate con l'asse delle x e l'asse delle y. In altri termini, ciò che succede lungo l'asse delle y non ha effetti sul moto lungo l'asse delle x e viceversa.

Il moto di una particella può essere descritto se il suo vettore posizione è noto in ogni istante. Il vettore posizione per una particella in moto nel piano xy può essere scritto come:

dove x, y, e r variano nel tempo al muoversi della particella.

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON ACCELERAZIONE COSTANTE

Se il vettore posizione è noto, la velocità della particella può essere ottenuta:

Poiché si assume che a

componenti a ed a sono pure costanti. Pertanto si possono applicare lex yequazioni della cinematica separatamente ad entrambe le componenti x e ydel vettore velocità. Sostituendo v = v = v + a t e v = v = v + a t six xf xi x y yf yi yottiene: MOTO IN DUE DIMENSIONI CONACCELERAZIONE COSTANTE•Questo risultato afferma che la velocità v di una particella a un certo->istante t è uguale alla somma vettoriale della sua velocità iniziale v ei->della velocità addizionale a t acquistata nel tempo in conseguenza della->sua accelerazione costante. Si sa che le coordinate x e y di una particellain moto con accelerazione costante sono date da:eSostituendo queste espressioni si ottiene:MOTO IN DUE DIMENSIONI CONACCELERAZIONE COSTANTE•Questa equazione implica che il vettore posizione finale r f-è la somma vettoriale del vettore posizione iniziale r> ->ipiù uno spostamento v t,

dovuto alla velocità iniziale v_i della particella, e uno spostamento ¹/₂ a_t, risultante dalla accelerazione uniforme della particella. Si noti dal grafico b che in generale non è orientato lungo la direzione di r_i, v_i, o a, poiché la relazione tra queste grandezze è un'espressione vettoriale. Per la stessa ragione, dal grafico a, si nota che non è generalmente orientato lungo la direzione di v_i o a. Infine, se si confrontano i due grafici, vediamo che e non è nella stessa direzione. Poiché le equazioni e sono espressioni vettoriali, si possono anche scrivere le equazioni per le loro componenti x e y:

b_a = v_i + a₁θ

b_a = v_i + a₂θ

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON ACCELERAZIONE COSTANTE

costante è equivalente a duemoti indipendenti nelle direzioni x e y aventi accelerazioni costanti a exa . Quindi, non è necessario un nuovo modello per una particellaysottoposta ad accelerazione costante bidimensionale; il modelloappropriato è proprio quello della particella in moto unidimensionalesottoposta ad accelerazione costante applicato due volte, nelle direzionix e y separatamente.

MOTO DEL PROIETTILE

• Il moto di un proiettile può essere analizzato in modo semplicese si formulano le seguenti due ipotesi nel costruire un modelloper questo tipo di problemi: (1) l'accelerazione di gravità g simantiene costante per tutto il moto ed è diretta verso il basso,e (2) l'effetto della resistenza dell'aria è trascurabile. Conqueste ipotesi, il percorso di un proiettile, che si chiamatraiettoria, è sempre una parabola. Si sceglie il sistema diriferimento in modo tale che la direzione y sia verticale e siapositiva

verso l'alto, allora a = -g e a = 0. Inoltre si suppone che a t = 0 il proiettile abbandoni l'origine (punto A, x = y = 0) con una velocità vi. Se il vettore v forma un angolo θ con l'asse orizzontale, si può identificare un triangolo rettangolo nel diagramma come un modello geometrico, e dalla definizione delle funzioni coseno e seno si ha: MOTO DEL PROIETTILE Pertanto, le componenti iniziali x e y della velocità sono date da: vxi = vi * cos(θ) vyi = vi * sin(θ) Sostituendo queste espressioni nelle equazioni: xi = vxi * t yi = y + vyi * t - (1/2) * g * t^2 Con a = 0 e a = -g si ottengono le componenti della velocità e le coordinate x e y della posizione del proiettile per ogni istante t: MOTO IN DUE DIMENSIONI CON ACCELERAZIONE COSTANTE Dalla prima equazione si nota che v rimane costante nel tempo ed è pari a vxi; non c'è componente orizzontale dell'accelerazione. Pertanto, si è usato il modello del moto orizzontale di una particella con velocità costante. Per

Il moto lungo y, si nota che le equazioni per v e y sono simili alla prima e all'ultima equazione per i corpi in caduta libera. Quindi, si può applicare il modello di una particella che si muove con accelerazione costante al moto lungo y. Infatti, tutte le equazioni cinematiche sono applicabili al moto del proiettile. Se si risolve la penultima equazione rispetto a t e si sostituisce l'espressione ottenuta per t nell'ultima equazione si trova che:

Che è valida per tutti gli angoli nell'intervallo 0<θ <π/2. La traiettoria è completamente specificata se v e θ sono noti.

MOTO IN DUE DIMENSIONI CON ACCELERAZIONE COSTANTE

L'espressione vettoriale per la posizione del proiettile in funzione del tempo segue direttamente l'equazione , con a = g :

La posizione della particella può essere considerata come la sovrapposizione della sua posizione iniziale, il termine v t, che sarebbe lo spostamento

Il vettore posizione v di un proiettile la cui assenza di accelerazione, e del ½g t dovuto alla velocità iniziale nell'origine è v. Il vettore v ti all'accelerazione di gravità. In altre parole, se non ci sarebbe il vettore posizione del proiettile se fosse l'accelerazione di gravità, la particella l'accelerazione di gravità fosse assente, e il continuerebbe a muoversi di moto rettilineo nella direzione di v. Il vettore ½g t è il vettore spostamento verticale dovuto all'accelerazione di gravità. GITTATA E ALTEZZA MASSIMA DI UN PROIETTILE • Supponiamo che un proiettile venga sparato su un suolo piano dall'origine a t = 0 con una componente vy positiva. Vi sono due punti speciali che sono interessanti da analizzare: il picco A, di coordinate cartesiane (R/2, h) e il punto di atterraggio B di coordinate (R, 0). La distanza R è detta gittata del proiettile.proiettile ed h è la sua altezza massima. A causa della simmetria della traiettoria, il proiettile raggiunge la sua massima altezza h quando la sua posizione x è la metà della gittata R. Determiniamo h e R in funzione di vi, θ, e g. Possiamo determinare h, notando che nel punto più alto v = 0. Pertanto, possiamo adoperare l'equazione per determinare il tempo t che il proiettile impiega per raggiungere il punto più alto: t = (2 * vi * sin(θ)) / g Sostituendo questa espressione per t nell'equazione y = vi * sin(θ) * t - (1/2) * g * t^2 e mettendo h al posto di y otteniamo h in funzione di vi e θ: h = (vi^2 * sin^2(θ)) / (2 * g) Si nota dalla rappresentazione matematica come sia possibile aumentare l'altezza massima h: si può lanciare il proiettile con una maggiore velocità iniziale, a un angolo più grande, oppure in un posto con una minore accelerazione di gravità. La gittata R è la distanza orizzontale percorsa in un tempo doppio di t: R = vi * cos(θ) * (2 * t) = vi^2 * sin(2θ) / gquello necessario a raggiungere il punto più alto. In modo equivalente, si sta cercando la posizione del proiettile al tempo 2t. Usando l'equazione e notando che x = R per t = 2t, si trova che:

f AGITTATA E ALTEZZA MASSIMA DI UN PROIETTILE
Poiché sen^2θ = 2senθcosθ, R può essere scritta nella forma più compatta:

Si nota dall'espressione matematica come si possa aumentare la gittata R: si può lanciare il proiettile con una velocità iniziale maggiore o in un posto con una minore accelerazione di gravità. La gittata dipende anche dall'angolo formato dal vettore velocità iniziale. Il valore massimo possibile di R dall'equazione sopra riportata è dato da R = v / g. Questo risultato deriva dal fatto che il massimo valore assunto da sen 2θ è l'unità, che si verifica quando 2θ = 90°. Quindi, R ha un valore massimo quando θ = 45°. Il grafico a

fianco illustra varie traiettorie periun proiettile con un dato modulo della velocità iniziale. Come si può vedere, la gittata è massima per θ = 45°. Inoltre, per ogni θ diverso da 45°, un punto di coordinate (R, 0) può essere raggiunto usando ciascuno dei due valori complementari di θ, come 75° e 15°. Naturalmente, la massima altezza e il tempo di volo saranno diversi per questi due valori di θ.

MODELLO DI ANALISI: PARTICELLA IN MOTO CIRCOLARE UNIFORME

La figura a mostra una macchina in moto su un percorso circolare; descriviamo questo moto come moto circolare. Se la macchina si muove con una velocità di modulo v costante, tale moto si chiama moto circolare uniforme. Poiché tale moto si verifica molto spesso, esso viene classificato come un modello di analisi chiamato particella in moto circolare uniforme. Si considera l'equazione che definisce l'accelerazione media. L'accelerazione

Dipende dall'avariazione del vettore velocità. Poiché la velocità è un vettore, un'accelerazione può essere prodotta in due modi: da una variazione nel modulo della velocità o da una variazione nella direzione della velocità. È quest'ultima circostanza che si verifica per un oggetto che si muove lungo un percorso circolare con velocità in modulo costante.