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Cinematica di punto materiale
-
Moto rettilineo
- x(t) = xo quiete
- x(t) variabile
velocità media scalare ha distanza percorsa al numeratore
se punto iniziale ≠ punto finale vm ≠ ϕ
velocità istantanea v = dx/dt
se la velocità varia nel tempo nasce l'accelerazione
a = dv/dt acc. istantanea grandezza fisica derivata
-
Moto rettilineo uniforme
- v cost. V = x-xo/t
- x(t) = xo+Vt legge oraria per posizione
- velocità istantanea e media sono le stesse
- accelerazione è ϕ
-
Moto rett. uniformemente accelerato
a ≠ cost ≠ ϕ
- a = Δv/Δt => v = vo+at (1)
- x = xo+vot+½at² (1)
- Vm = x-xo/t = v₀+v/2
xo e vo sono condizioni iniziali.
1
sostituendo t = (da 1) si ottiene formula che lega a, v, x senza t:
X = X0 + V0t + 1/2 a(x-x0) = V2 - V02/2a + V1V1 - V202 V2 + 2aV0
conoscendo V iniziale a X iniziale e finale si trova v senza passare dal tempo
es:
V0t 1/2 gT2 9.8 m/s2 a: = g
nell'instante finale:
tempo che che si muove su una linea certa impiega a cadere sol. altorniaria: o = 1/2gt2 = 6(V0, gT) grave
Nm = 1000h m = 3,6 kg/hr = 1 m/s
XA(t) = VAt + 1/2at2
V2B 2B V2A + au(x-x0) d
a (T) XA(t) o xB(t) VA(t) o xB(t)
posizione tende ad annullarsi
si derima
si integra
\(\vec{v} = \frac{d\vec{s}}{dt}\) velocità sempre tangente alla traiettoria
\(\Delta t \neq 0\) se è spazio completo, ds non è zero, è spazio percorso \(\Rightarrow ds \geq 0\)
conoscendo le coord. cartesiane \(x(t), y(t)\) si può trovare traiettoria con \(y = f(x)\), velocità ed accelerazione, con le coord. intrinseche moto è determinato
\(\vec{v} = \frac{d\vec{s}}{dt}\vec{t}\Rightarrow \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \vec{a}_m \approx \frac{em}{\Delta t \rightarrow 0}\)
\(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt}\)
\(\vec{v} = \frac{d\vec{s}}{dt} \vec{t} + \frac{d\vec{u}}{dt}\)
\(\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac{d [\vec{u} t + \vec{u} \frac{d\vec{u}}{dt}]}{dt}\)
vettore ha sempre modulo 1 e può
\(\omega \omega\) ruotare
DERIVATE TEMPORALI DI UN VETTORE
\(\vec{u}(t)\) \(\Delta \vec{u} = \vec{u}(t + \Delta t) - \vec{u}(t)\)
Quando \(\Delta t \rightarrow 0\), \(\Delta \vec{u}\) diventa tg alla traiettoria
visto che \(|\vec{u}(t)| = 1(t + \Delta t)| = 1\) linea e arco di circonferenza
Mandando \(\Delta t \to 0\) so che e la corda coincide con
\(\hat{v}\) \(\frac{d\vec{u}}{dt} = \frac{d\phi \ \vec{v}}{dt \rightarrow 0}\)
Mandando \(\Delta t \to 0\) il vettore diventa tangente
alla circonferenza e perpendicolare a \(\hat{v}\)
\(\frac{d\vec{u}}{dt} = \hat{v} \frac{d\phi}{dt}\) la derivata di un versore è
sempre ⊥al versore stesso
\(\frac{d\vec{u}}{dt}\) \(\vec{l} \neq 1\) La derivata di un versore \(\pi u\) non avere
modulo 1
Moto circolare non uniforme
d2r + ânr = 2(t) > 0es. moto circolare uniformemente acc.2(t) = 20w = w0 + 20tθ = θ0 + w0t + 1/2 20t2
w2 = dθ/dt
A w si può associareun oggetto vettorialeAvendo un moto circolare a w si associa un vettore val piano
w modulo w(t)direzione ⊥ alpiano circonferenzae verso tale che nelmodo in cui metto la freccia si muove in senso antiorario.
v = w × rv2 = v ×w Vx = wRa = dv/dt = (w × r) - 2 × v + w × v
ar2 + ânr2 = 1/2 ∫(v/r)2 + (dv/dt)2
a2 = d
Vp = 100 km/h â = 22π m/sât = 1 m/s2 R = 20 mâw = Vp2/R = w2R V2wR ât = 1m/s2
Partendo dalla forza f deve avere immagine forma:
es F con R(zz) ⨁fi d3com
xa xb x ⨁ xb
ya ⨁ y0 yb ⨁ yc
Fz - mgy
LABCD = LAB + LC + LB + LC, LD ≠ o
L = ∫ (-mgŷi) d3
(LAB, ⨁ mg (ya - yb))
(LC, ⨁ mg (yc - yd))
(etc...) mg (yb-ya)
sono opposti.
forza pos non cons F con
posizionale
∮F d3 non dip. da γ
1D F conservativa ⇔ F posizionale (cond. nec. e suff.)
2B F conservativa → F posizionale (cond. nec.)
3D
F = ∫fx x ŷBC
posizione BC e ⨁ alla forza ⇔ L ⨁ o
LABCD → ∫AB - ∫x1 (fxy d3 + ∫∫ fx x ŷ d3)
= - ∫0XA(ya-yb) - ∫0XB(Ys-Yb)= N0 ⨁
F non conservativa
centro di massa
rcm = rc = Σimiri/Σmi = Σimiri/M
punto individuato dal vettore posizione definito come la media pesata delle posizioni sulle masse
G di solito non è uno dei punti del sistema
_xcm = Σimixi/M _ycm = Σimiyi/M _zcm = Σimizi/M
- non dipende dal sistema la posizione di G
r = rcm + ri
ricm = rcm + ri
velocità centro di massa
Vcm = drcm/dt = d/dt [Σpmiri/M] = ΣpmiVi/M = P/M = P_ = MVcm
accelerazione di cm
acm = dVcm/dt = d/dt [ΣpmiVi/M] = ΣFext / M = R_
ΣFext = Rub + ΣiFi/n = ΣiFi/i = [ΣFi/i]
= Rab_ = Macm
- teorema del moto del cdm o leggi cardinali
esempio calcolo cdm
- _
- m1
- _
- _
L x
m1 * _ * Am1 = x
m*2 *2m
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