Appunti di Fisica dello Stato Solido

Grandezza fisica misurabile (chiamiamola osservabile)

Operatore hermitiano

\[\hat{G} \Psi = \eta \Psi\]

\[\hat{H} = \hat{E}_{cin} + \hat{E}_{pot}\]

\[\hat{H} \Psi = E \Psi\]

Un sistema fisico occupa uno stato che è combinazione lineare di autostati:

\[\Psi = \sum_i c_i \Psi_i\]

da cui

\[E = \langle \Psi | \hat{H} | \Psi \rangle = \sum_i c_i^2 \langle \Psi_i | \hat{H} | \Psi_i \rangle = \sum_i c_i^2 E_i\]

partizionate la media sulle energie come se ci = pi

Evoluzione temporale (se non si isola):

\[\hat{H} |\Psi\rangle = i \hbar \frac{\partial}{\partial t} |\Psi\rangle\]

Schrödinger

Momenti Cinetici

L̂ = r̂ x p̂ = -p̂ x r̂

Proprietà di L̂:

• [L̂_i, L̂_j] = iħ ε_ijk L̂_k
• L̂², L̂_i] = 0

L̂² | l, m> = l(l+1)ħ

L̂_i | l, m> = m_lħ

Teoria Perturbazioni

Ĥ = Ĥ_o + Ŵ

Scriviamo:

Ĥ(λ) = Ĥ_o + λ Ŵ_o

-Ĥ(λ) Ψ(λ) > = E(λ) |Ψ(λ)>

E(λ) = E_o + λE_l + ... λ^qE_q ...

|Ψ(λ)> = |0> + λ|1> + ... λ^q|q>

Sostituendo:

[ Ĥ_o + λ Ŵ_o |Σ^q_a=0 λ^q|a> ] - [Σ^∞_b=0 λ^bE_b |

Σ^∞_n=0 λ^q|a> ]

Atomi Idrogenoidi

(1 Carica Pos.)

μ = massa ridotta = ^m₁m₂/_{m1 + m2}

r = |r₁ - r₂|

Pert. cui:

^ħ⁄_2μ∇² - (Ze²⁄r) Ψ(r) = ℰ Ψ(r)

Esempi:

• Positronio (e⁺ + e^-) μ = m_e / 2 a_positronio = 2a_H E̅_positronio = ½ E_H
• Antidrogeno μ ≈ m_e a_antiH = a_H E_antiH = E_H

Atomi ionizzati con un solo elettrone

E_P = - (Ze²⁄r) - [(ħ²⁄2m_e)∇² - Ze²⁄r] Ψ(r) = ℰ Ψ(r)

I risultati dell'atomo di H si possono intuire:

Ψ(r) ∝ e^-r/a_H

a_e = ^a_H⁄_Z

Ψ(r) ∝ e^-Zr/a_H

E_n = - m_ee⁴/2ħ²n²

→ E_n = - 2m_ee⁴⁄n²ħ² = ^Z2⁄_n² E_H

E_i: Helium⁺

• a_He⁺: 0.265 Å
• E_iHe⁺ ≈ 54.4 eV

A temperatura ≠ 0, il riempimento degli stati avviene secondo la fermi Dirac:

f(E) = ¹/_{e^(E-μ)/kT + 1}

lim _T→0 μ = E_f

μ è il potenziale chimico (la ΔE media causato da una port. che lascia il sistema).

Si può calcolare la densità di una quals. grandezza Q come a Qk.

S_a = ∫a^b Q(E(k)) f(E(k)) ^dk/_dT^3

S_a = ∫a^o Q(E(k)) f₁(E(k)) 4πk²dk

E = ^ℏ2k2/_2m

Si può passare alla variabile energia sapendo:

dE = ^ℏ2k/_2m

dE = ^ℏ2km/_m dk = ^m/_k dE

si arriva a:

S_a = ∫ Q(E(k)) f(E(k)) g(E) dE

g(E) = ^g_n(E)/_{n π²kT ℏ³} dE

• g(E) = n° livelli aventi energia E per un volume e un anerg. [cm^-3]
• f(E) = probabilità che teli livi siano occupati.
• Q(E) = contributo a Q da parte di ogni stato avente in E.
• n(E) = g(E)f(E) = n° elettroni per un vol E and energ. fra E e E+dE
• n(E)dE = n° elettrons per un volume ad energia E, E+dE

Calore specifico

C_p/_Cv = (^∂P/_∂T)_V/(^∂P/_∂V)_T = ^B_s/_BT

Gli esperimenti mostrano a basse T:

• Metalli: C_p = βT³ + σT
• Isolanti: C_p = βT³

Si forma quindi uno spazio di punti K distanti 2π_i...

analoghi al reticolo di Bravais uno nello spazio reciproco.

K̲ = n₁b̲₁ + n₂b̲₂ + n₃b̲₃

b̲₁ = a₂ x a₃

a₁ . (a₂ x a₃)

b̲₂ = 2π a₃ x a₁

a₁ . (a₂ x a₃)

b̲₃ = 2π a₁ x a₂

a₁ . (a₂ x a₃)

b_i . a_j = 2πδ_ij

Primo zona di Brillouin

È la cella di Wigner-Seitz del reticolo reciproco

Il suo volume è b₁ . (b₂ x b₃) = (2π)³/V_ws

• Le K (maiusc.) descrivono una funzione che ha la periodicità di una cella di WS
• Le K (minusc.) periodicità del reticolo (ma non WS) Es: filo battimentos...

Modello di Bloch

Ipotesi:

• Reticolo statico (ogni ione occupa sempre il suo sito)
• Reticolo perfetto (nessun difetto reticolare)
• Nessuna interazione fra elettroni, a parte Pauli.

[ -ħ²/2m ∇² + U( r̲ ) ] ψ = E ψ

Il potenziale ha la periodicità della cella di WS

U( r̲ )

È periodico → U( r̲ + R̲ ) = U( r̲ ) → Ĥ( r̲ + R̲ ) = Ĥ( r̲ )

In definitiva:

¹/₄ ∑_{α i,j} ∂²ɛ_nk(k) / ∂k_i∂k_j q_αq_β → ∑_i ^ħ2/_m ⟨u_nk | u_nk⟩ ≠ ∑_k'≠k ^{|⟨u_nk| (q ⋅ ∇)| u_mk⟩|2}/_{ɛnk – ɛmk}

A meno del fattore ℏ² _∇² della massa:

è la tensione massa efficace

Potenziale debole → Il pot viene considerato perturbazione dellostato imperturbato che ha solo energia cinetica → autofunzioni: duale piano

Ψ_k (r) = ∑_K C_K-K e^{i ⋅ ⟨K-K⟩r}

^ħ2/_2m (k-K)² – E = ∑_K' ⟨ V_K'-K C_K'-K = 0

Nel caso imperturbato, U → 0 → E_i⁰ =^ħ2q2/_2m

(E⁰ - E) C_K-K = 0 → E(K): = E_j =^ħ2q2/_2m

Abbiamo:

Ψ_k ∝ e^{i ⟨k-k⟩r}

Se c'è degenerazione:

E_{K-K1 = EK-K2 = … = EK-Km}

Al variare di K, E(K) descrive una parabola centrata in

Il potenziale armonico è comunemente indicato come

U_harm = 1/2k ∑_n [u(m, 0) - u(n+1, 0)]²

dove k è la costante elastica

Catena lineare monoatomica

Consideriamo interazioni solo tra i "primi vicini"

L'eq del moto sarà:

M ü(il qualsiasi caso).(m,a) - dU_harm/du(m,a) = -K [2u(m,a) - u(n+1,a) - u(n-1,a)]

Possiamo applicare le BYK, u(n+1,a) = e^{(ikna - ωt)}

u(0) = u(Na)

Dato che è un problema armonico cerchiamo soluzioni di

u[(N+n)a,t] = u(na,t) -> e^(ikNa) = 1 -> k = 2π/a * 1/m m ∊ N

Sostituendo l'espressione nell'equazione del moto:

-M ω² e^{(ikna - ωt)} = -K [2 - e^-ika - e^ika] e^{(ikna - ωt)}

M ω² = 2K(1 - cos(ka))

Dispersione Relazione catena monoatomica 1D