Appunti di Fisica

Fisica

Moto in una dimensione

I vettori sono grandezze caratterizzate, oltre che da un valore assoluto (modulo), anche da una direzione

(fascio di rette parallele dove poggia il vettore) ed un verso (descritto dalla punta del vettore stesso).

Seguono inoltre regole matematiche per le operazioni, come l’addizione e la moltiplicazione:

 Addizione: la somma di due vettori è definita dalla diagonale del parallelogramma formato dai due

vettori

 Moltiplicazione: la moltiplicazione di un vettore per uno scalare è uguale ad un vettore con modulo pari

al modulo del vettore per il valore dello scalare

Vettore posizione, velocità, accelerazione

In cinematica (scienza che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi) il moto di una

particella è descritta da vettori che ne indicano la posizione, la velocità e l’accelerazione

 Vettore posizione: se una particella si muove, il suo andamento è descritto, in ogni momento, dal

vettore r = xi + yj+ zk dove i, j, k sono versori (vettori utilizzati per indicare una determinata direzione e

verso)

 Velocità: la velocità media è definita come il rapporto tra lo spostamento ed il tempo percorso da esso

∆

= ∆

Dove il vettore Δr è moltiplicato per lo scalare 1/t in modo che il vettore v abbia stessa direzione e verso del

vettore r ; la velocità media dipende solo dalla sua posizione all’inizio ed alla fine.

Per conoscere la velocità istantanea abbassiamo l’intervallo di tempo fino ad avere che questo valore tende

∆

lim

a zero, perciò avremmo che: v ist = →0 ∆

Accelerazione: La velocità di una particella può variare sia in modulo, sia in direzione che verso; questa

variazione di velocità in rapporto ad un intervallo di tempo corrisponde all’accelerazione:

∆

= ∆ ∆

lim

L’accelerazione istantanea è: a ist= = →0 ∆

Cinematica unidirezionale

Nella cinematica unidirezionale una particella si muove solamente su una linea retta, alcuni esempi sono:

1. Posizione ferma: la particella occupa sempre la stessa posizione x(t) = A

2. Velocità costante: se diagrammiamo la velocità in funzione del tempo avremmo una retta x(t) = A + Bt

3. Moto accelerato: poiché la velocità rappresenta la pendenza della retta x(t), nel moto accelerato si

assiste ad una variazione di questa pendenza x(t) = A + Bt + Ct² che assomiglierà ad una curva

Moto uniformemente accelerato

Supponiamo che un moto si svolga lungo l’asse x con una accelerazione costante, allora sia l’ che l’acc. Ist.

∆ −

a = = =

coincidono, per questo motivo: allora avremo che:

∆ −0

vx = vox + at

consideriamo ora come varia la posizione in funzione del tempo, la velocità media corrisponde a:

1

= +

2 1 2

= + +

Sostituendo le opportune equazioni otterremmo: 2

Fisica

Moto in una dimensione

I vettori sono grandezze caratterizzate, oltre che da un valore assoluto (modulo), anche da una direzione

(fascio di rette parallele dove poggia il vettore) ed un verso (descritto dalla punta del vettore stesso).

Seguono inoltre regole matematiche per le operazioni, come l’addizione e la moltiplicazione:

 Addizione: la somma di due vettori è definita dalla diagonale del parallelogramma formato dai due

vettori

 Moltiplicazione: la moltiplicazione di un vettore per uno scalare è uguale ad un vettore con modulo pari

al modulo del vettore per il valore dello scalare

Vettore posizione, velocità, accelerazione

In cinematica (scienza che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi) il moto di una

particella è descritta da vettori che ne indicano la posizione, la velocità e l’accelerazione

 Vettore posizione: se una particella si muove, il suo andamento è descritto, in ogni momento, dal

vettore r = xi + yj+ zk dove i, j, k sono versori (vettori utilizzati per indicare una determinata direzione e

verso)

 Velocità: la velocità media è definita come il rapporto tra lo spostamento ed il tempo percorso da esso

∆

= ∆

Dove il vettore Δr è moltiplicato per lo scalare 1/t in modo che il vettore v abbia stessa direzione e verso del

vettore r ; la velocità media dipende solo dalla sua posizione all’inizio ed alla fine.

Per conoscere la velocità istantanea abbassiamo l’intervallo di tempo fino ad avere che questo valore tende

∆

lim

a zero, perciò avremmo che: v ist = ∆

→0

Accelerazione: La velocità di una particella può variare sia in modulo, sia in direzione che verso; questa

variazione di velocità in rapporto ad un intervallo di tempo corrisponde all’accelerazione:

∆

= ∆ ∆

lim

L’accelerazione istantanea è: a ist = ∆

→0

Cinematica unidirezionale

Nella cinematica unidirezionale una particella si muove solamente su una linea retta, alcuni esempi sono:

1. Posizione ferma: la particella occupa sempre la stessa posizione x(t) = A

2. Velocità costante: se diagrammiamo la velocità in funzione del tempo avremmo una retta x(t) = A + Bt

3. Moto accelerato: poiché la velocità rappresenta la pendenza della retta x(t), nel moto accelerato si

assiste ad una variazione di questa pendenza x(t) = A + Bt + Ct² che assomiglierà ad una curva

Moto uniformemente accelerato

Supponiamo che un moto si svolga lungo l’asse x con una accelerazione costante, allora sia l’ che l’acc. Ist.

∆ −

a = = =

coincidono, per questo motivo: allora avremo che:

∆ −0

vx = vox + at

consideriamo ora come varia la posizione in funzione del tempo, la velocità media corrisponde a:

1

= +

2 1 2

= + +

Sostituendo le opportune equazioni otterremmo: 2

Uno degli esempi più conosciuti di moto uniformemente accelerato è quello di un corpo che cade

liberamente; infatti, trascurando la resistenza dell’aria, tutti i corpi in caduta libera sono sottoposti alla

medesima accelerazione. Questa accelerazione è denominata accelerazione gravitazionale (corrisponde a

9.81 m/s²); le due equazioni del moto uniformemente accelerato diventano:

= −

1

= + − ²

2

Le 3 leggi di Newton

1° legge di Newton

Per mantenere un corpo in un moto uniforme non occorre nessuna forza, ma solamente per avviare questo

corpo. Newton ha assunto questo principio come la prima legge del moto:

“Considerate un corpo su cui agisca una forza netta nulla. Se il corpo è a riposo, in tale condizioni rimane; se

invece è in moto esso continuerà a procedere a velocità costante” .

In alternativa può esser definita come: “la somma delle forze esercitate su un corpo fermo è nulla”

In base alla prima legge di Newton una forza nulla implica un accelerazione nulla, questo perché la forza

corrisponde a quella grandezza vettoriale che perturba lo stato di quiete di un corpo. E’ il prodotto tra

l’accelerazione del corpo in esame sia la sua massa, viene espressa da SI in Newton (kg*m/s²); mentre la

massa corrisponde alla proprietà di un corpo di opporsi alla variazione dello stato di moto.

2° legge di Newton

Afferma che l’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla sommatoria delle forza su di esso

applicate ed inversamente proporzionale alla massa del corpo stesso, per questo motivo la formulazione

della prima legge di Newton diviene:

dove F= sommatorie delle forze che agiscono su un corpo.

3° legge di Newton

Si consta sperimentalmente che, quando un corpo esercita una forza su un secondo corpo, esiste sempre

un’altra forza esercitata dal secondo sul primo. Inoltre risulta che le due forze sono sempre uguali in valore

assoluto e agiscono sulla stessa direzione con versi opposti. Ciò è quello che sostiene la 3° legge di Newton

che può essere riassunta come: “ ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”

Per esempio: un libro appoggiato su un tavolo è sottoposto alla forza di gravità che lo spinge verso il basso

ed a una forza che dal centro della terra spinge il libro verso l’alto; le 2 forze possiedono lo stesso valore ma

di segno opposto, per questo motivo il libro è fermo nella sua posizione.

Differenza tra massa e peso

Il peso è una forza orientata verticalmente verso il basso, quindi essendo una forza, verrà espresso in

Newton e sarà uguale a prodotto tra la massa del corpo e l’accelerazione gravitazionale g. Per questo

motivo il peso di un corpo è differente sulla terra e sulla luna. La massa è la resistenza che imprime un

corpo se sottoposto ad una forza Moto in 2 e 3 dimensioni

Forma vettoriale della legge di Newton in 3 dimensioni

La seconda legge di Newton ingloba in essa tre equazioni relative ai 3 componenti dello spazio (x, y e z), le

quali devono essere soddisfatte simultaneamente; infatti essendo m uno scalare e a un vettore, allora

avremo che F corrisponde al vettore somma di tutte le forze agenti sulla particella . Anche la terza legge di

Newton è espressa in forma vettoriale e corrisponde: F = - F

AB BA

Moto di un proiettile

Il moto di un proiettile è un esempio di moto a due dimensioni: la sua velocità iniziale è vo con angolo detto

∑ ∑

= − ; = 0

di alzo; l’unica forza a cui è sottoposto il proiettile è la forza di gravità ( ) e la

componente orizzontale dell’accelerazione è ovunque zero, mentre quella verticale vale sempre –g .

(vedi foglio)

La gittata R di un proiettile è definita come la distanza orizzontale tra il punto di lancio e il punto in cui il

proiettile ripassa attraverso la medesima quota di lancio, la gittata massima di un proiettile si ha se l’angolo

di alzo è di 45°. : dove x = gittata: vo= velocità iniziale

Resistenza del me zzo

Se applichiamo la legge per un corpo in caduta libera alle gocce di pioggia, avremo che queste cadono ad

una velocità tale da essere letali, ma ciò non avviene poiché agisce la resistenza del mezzo: una forza

frenante che è tanto più forte tanto più è alta la velocità.

=

Dove D è la resistenza del mezzo, b è una costante che dipende dalle caratteristiche fisiche del mezzo. Per

questo motivo la seconda legge di Newton diviene:

− =

Alla fine la resistenza del mezzo eguaglierà il peso del corpo quindi anche la velocità di caduta rimane

costante. Moto circolare uniforme

Nel moto circolare uniforme la velocità rimane costante ma cambia la direzione; un esempio è: una biglia

che viene legata ad una corda e fatta roteare; questo oggetto è sottoposto ad una forza diretta verso il

centro e definita forza centripeta che ha lo stesso valore assoluto della forza centrifuga (forza diretta verso

l’esterno).All’accelerazione centrifuga si da il nome di accelerazione istantanea, la sua formula corrisponde

2

vcosθ−vcosθ v sin

( ) ( )

a = a = −

a v²/ r, ricavata dalla combinazione di varie equazioni (t= 2rθ, , , e si

x y

t r θ

esprime come l’accelerazione: m/s²

Applicazione delle leggi di Newton

Le equazioni trattate precedentemente, riferite al moto, ci permettevano di calcolare gli effetti delle forze e

non le cause; i fisici hanno individuato 4 tipi di queste forza (definite fondamentali):

 Forza gravitazionale: che dipende dalla quantità di materia

 Forza elettrostatica: basata su interazioni elettriche e magnetiche e responsabile dei legami tra atomi

 Forza nucleare debole: responsabile dei processi di decadimento nucleare

 Forza nucleare forte: che tiene insieme il nucleo dell’atomo

Tensione

Se trainiamo una cassa con una corda, la forza che permette a quest’ultima di muoversi non è direttamente

provocata dall’operaio, ma dalla corda e viene definita tensione. La fune che tira la cassa imprime una

forza, ma secondo la 3° legge di Newton anche la cassa imprime una forza alla corda, di stessa intensità ,ma

differente segno. Forza Normale

Un libro appoggiato su un tavolo è spinto verso il basso dalla forza di gravità e rispettando la terza legge vi

deve essere anche una forza che spinge il libro dal basso verso l’alto e che ha la stessa intensitò della forza

gravitazionale, ma con segno opposto. Questa forza è chiamata Forza Normale ed grazie ad essa che

quando camminiamo non sprofondiamo nel pavimento.

La Forza Normale e la tensione sono esempi di forze da contatto, ossia esercitate da corpi a contatto tra di

loro, ciò è permesso solo se questa forza non supera le forze interatomiche esistenti tra gli atomi dei due

corpi in esame. Attrito

Un blocco che scorre su una superficie ad un certo istante si ferma, ciò è dovuta ad un accelerazione diretta

in senso opposto rispetto a quella del blocco; questa forza esercitata dalla superficie sul blocco è chiamata

attrito, se il blocco è fermo allora l’attrito è definito statico. Una volta avviato il blocco, la forza di attrito

tende a diminuire e viene chiamato attrito dinamico, in questo caso il rapporto tra l’intensità della forza di

attrito dinamico e la forza normale corrisponde al coefficiente di attrito dinamico riferito alla coppia di

superfici in esame. Dinamica del moto circolare uniforme

Un corpo di massa m si muove su un cerchio di raggio r a velocità uniforme v, è soggetto a un’accelerazione

radiale o centripeta di intensità v²/r. Quindi la seconda legge di Newton diviene:

2

∑ = =

Pendolo conico

Un corpo appeso ad un filo e fatto roteare a velocità costante su un orbita giacente ad un piano orizzontale,

θ

viene definito pendolo conico. Se il filo forma un angolo rispetto all’angolo verticale, il raggio dell’orbita è

R= Lsinθ (dove L è la lunghezza del filo); θ − = 0

le forze agenti sulla componente verticali sono: 2

( )

− = =

mentre riferita alla componente radiale (essendo l’accelerazione istantanea):

=

Eliminando T e unendo le due equazioni otteniamo: √θ

=

Il tempo necessario per effettuare una rivoluzione è uguale a : 2πR/v

Sostituendo a v l’equazione scritta precedentemente e apportando modifiche si ha:

θ

= 2√ g

Quantità di moto

Urti

In un urto tra due corpi sono ben visibili 3 distinti momenti: Prima e dopo gli oggetti sono distanti tra di

loro, mentre durante l’urto si esercitano forze di uguale intensità ma opposto segno, ciò provoca un

cambiamento del moto dei due corpi. Le forze che agiscono in un tempo brevissimo rispetto alla durata

dell’osservazione vengono definite forze impulsive. Per analizzare gli urti utilizzeremo una nuova

grandezza: la quantità di moto (p); corrisponde al prodotto tra la massa e la velocità ed essendo questa

grandezza il prodotto di uno scalare per un vettore allora anch’essa sarà un vettore. In alternativa può esser

definita come: “la derivata rispetto al tempo della quantità di moto è uguale alla risultante delle forze”

Conservazione della quantità di moto

In un urto elastico tra due particelle, la quantità di moto di esse prima e dopo è uguale; se la forza che

agisce su questi due corpi è nulla allora la quantità di moto rimane costante (principio di conservazione

della quantità di moto). Essendo la quantità di moto una grandezza vettoriale, tutte e tre le componenti di

essa devono rimanere costanti per fare in modo che la legge sia confermata.

11 + 22 = 12 + 22 1 1 − 1 = 2 2 − 2

Tipologie di urti:

 11 + 22 = 1 + 2

Urto anelastico: i due corpi dopo l’urto rimangono attaccati

 11 + 22 = 12 + 22

Urto frontale: se avviene in unna stessa direzione

 Se una delle due particelle è inizialmente a riposo (v2i = 0) in questo modo conoscendo applicando il

principio di conservazione è possibile risalire alla quantità di moto iniziale

 Esplosivo: se la velocità dei due oggetti dopo l’urto è maggiore di quella di partenza

Urti unidirezionali nel sistema di riferimento del centro di massa

In fisica esistono due tipi di sistemi di riferimento: di laboratorio e del centro di massa; quest’ultimo è

largamente utilizzato dai fisici per studiare gli urti tra le particelle subatomiche, ossia si considera l’intera

massa di un corpo di un solo punto.

Le velocità implicate in un urto nel c.d.m. sono parallele all’asse x, in questo modo si elimina l’indice x per le

velocitò; il sistema di riferimento in cui all’inizio la quantità di moto totale del sistema è nulla.

11 + 22

= 1 + 2

Se viaggiamo a questa velocità e osserviamo l’urto , il moto dei due corpi prima di esso ci si presenta come

se i due corpi avessero la stessa quantità di moto, ma con segno opposto (ciò anche se i due oggetti hanno

masse differenti) Riassunto capitoli 7-8-9

I capitoli 7-8-9 trattano di oggetti rigidi ch