Appunti di Fisica

Fisica: moto in una dimensione

I vettori

I vettori sono grandezze caratterizzate, oltre che da un valore assoluto (modulo), anche da una direzione (fascio di rette parallele dove poggia il vettore) ed un verso (descritto dalla punta del vettore stesso).

Seguono inoltre regole matematiche per le operazioni, come l’addizione e la moltiplicazione:

• Addizione: la somma di due vettori è definita dalla diagonale del parallelogramma formato dai due vettori.
• Moltiplicazione: la moltiplicazione di un vettore per uno scalare è uguale ad un vettore con modulo pari al modulo del vettore per il valore dello scalare.

Vettore posizione, velocità, accelerazione

In cinematica (scienza che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi) il moto di una particella è descritto da vettori che ne indicano la posizione, la velocità e l’accelerazione.

• Vettore posizione: se una particella si muove, il suo andamento è descritto, in ogni momento, dal vettore r = xi + yj + zk dove i, j, k sono versori (vettori utilizzati per indicare una determinata direzione e verso).
• Velocità: la velocità media è definita come il rapporto tra lo spostamento ed il tempo percorso da esso Δ = Δ.

Dove il vettore Δr è moltiplicato per lo scalare 1/t in modo che il vettore v abbia stessa direzione e verso del vettore r; la velocità media dipende solo dalla sua posizione all’inizio ed alla fine.

Per conoscere la velocità istantanea abbassiamo l’intervallo di tempo fino ad avere che questo valore tende Δ lim a zero, perciò avremmo che: v ist = →0 Δ.

Accelerazione: la velocità di una particella può variare sia in modulo, sia in direzione che verso; questa variazione di velocità in rapporto ad un intervallo di tempo corrisponde all’accelerazione: Δ = Δ Δ lim.

L’accelerazione istantanea è: a ist = = →0 Δ.

Cinematica unidirezionale

Nella cinematica unidirezionale una particella si muove solamente su una linea retta, alcuni esempi sono:

• Posizione ferma: la particella occupa sempre la stessa posizione x(t) = A.
• Velocità costante: se diagrammiamo la velocità in funzione del tempo avremmo una retta x(t) = A + Bt.
• Moto accelerato: poiché la velocità rappresenta la pendenza della retta x(t), nel moto accelerato si assiste ad una variazione di questa pendenza x(t) = A + Bt + Ct² che assomiglierà ad una curva.

Moto uniformemente accelerato

Supponiamo che un moto si svolga lungo l’asse x con una accelerazione costante, allora sia l’ che l’acc. Ist. Δ −a = = = coincidono, per questo motivo: allora avremo che: Δ −0 vx = vox + at.

Consideriamo ora come varia la posizione in funzione del tempo, la velocità media corrisponde a: 1 = + 2 1 2 = + +. Sostituendo le opportune equazioni otterremmo: 2.

Fisica: moto in una dimensione

I vettori

I vettori sono grandezze caratterizzate, oltre che da un valore assoluto (modulo), anche da una direzione (fascio di rette parallele dove poggia il vettore) ed un verso (descritto dalla punta del vettore stesso).

Seguono inoltre regole matematiche per le operazioni, come l’addizione e la moltiplicazione:

• Addizione: la somma di due vettori è definita dalla diagonale del parallelogramma formato dai due vettori.
• Moltiplicazione: la moltiplicazione di un vettore per uno scalare è uguale ad un vettore con modulo pari al modulo del vettore per il valore dello scalare.

Vettore posizione, velocità, accelerazione

In cinematica (scienza che si occupa di descrivere quantitativamente il moto dei corpi) il moto di una particella è descritta da vettori che ne indicano la posizione, la velocità e l’accelerazione.

• Vettore posizione: se una particella si muove, il suo andamento è descritto, in ogni momento, dal vettore r = xi + yj + zk dove i, j, k sono versori (vettori utilizzati per indicare una determinata direzione e verso).
• Velocità: la velocità media è definita come il rapporto tra lo spostamento ed il tempo percorso da esso Δ = Δ.

Dove il vettore Δr è moltiplicato per lo scalare 1/t in modo che il vettore v abbia stessa direzione e verso del vettore r; la velocità media dipende solo dalla sua posizione all’inizio ed alla fine.

Per conoscere la velocità istantanea abbassiamo l’intervallo di tempo fino ad avere che questo valore tende Δ lim a zero, perciò avremmo che: v ist = Δ→0.

Accelerazione: la velocità di una particella può variare sia in modulo, sia in direzione che verso; questa variazione di velocità in rapporto ad un intervallo di tempo corrisponde all’accelerazione: Δ = Δ Δ lim.

L’accelerazione istantanea è: a ist = Δ→0.

Cinematica unidirezionale

Nella cinematica unidirezionale una particella si muove solamente su una linea retta, alcuni esempi sono:

• Posizione ferma: la particella occupa sempre la stessa posizione x(t) = A.
• Velocità costante: se diagrammiamo la velocità in funzione del tempo avremmo una retta x(t) = A + Bt.
• Moto accelerato: poiché la velocità rappresenta la pendenza della retta x(t), nel moto accelerato si assiste ad una variazione di questa pendenza x(t) = A + Bt + Ct² che assomiglierà ad una curva.

Moto uniformemente accelerato

Supponiamo che un moto si svolga lungo l’asse x con una accelerazione costante, allora sia l’ che l’acc. Ist. Δ −a = = = coincidono, per questo motivo: allora avremo che: Δ −0 vx = vox + at.

Consideriamo ora come varia la posizione in funzione del tempo, la velocità media corrisponde a: 1 = + 2 1 2 = + +. Sostituendo le opportune equazioni otterremmo: 2.

Uno degli esempi più conosciuti di moto uniformemente accelerato è quello di un corpo che cade liberamente; infatti, trascurando la resistenza dell’aria, tutti i corpi in caduta libera sono sottoposti alla medesima accelerazione. Questa accelerazione è denominata accelerazione gravitazionale (corrisponde a 9.81 m/s²); le due equazioni del moto uniformemente accelerato diventano: = − 1 = + − ² 2.

Le 3 leggi di Newton

1° legge di Newton

Per mantenere un corpo in un moto uniforme non occorre nessuna forza, ma solamente per avviare questo corpo. Newton ha assunto questo principio come la prima legge del moto:

“Considerate un corpo su cui agisca una forza netta nulla. Se il corpo è a riposo, in tale condizioni rimane; se invece è in moto esso continuerà a procedere a velocità costante”.

In alternativa può esser definita come: “La somma delle forze esercitate su un corpo fermo è nulla”.

In base alla prima legge di Newton una forza nulla implica un accelerazione nulla, questo perché la forza corrisponde a quella grandezza vettoriale che perturba lo stato di quiete di un corpo. È il prodotto tra l’accelerazione del corpo in esame sia la sua massa, viene espressa da SI in Newton (kg*m/s²); mentre la massa corrisponde alla proprietà di un corpo di opporsi alla variazione dello stato di moto.

2° legge di Newton

Afferma che l’accelerazione di un corpo è direttamente proporzionale alla sommatoria delle forza su di esso applicate ed inversamente proporzionale alla massa del corpo stesso, per questo motivo la formulazione della prima legge di Newton diviene: dove F = sommatorie delle forze che agiscono su un corpo.

3° legge di Newton

Si constata sperimentalmente che, quando un corpo esercita una forza su un secondo corpo, esiste sempre un’altra forza esercitata dal secondo sul primo. Inoltre risulta che le due forze sono sempre uguali in valore assoluto e agiscono sulla stessa direzione con versi opposti. Ciò è quello che sostiene la 3° legge di Newton che può essere riassunta come: “Ad ogni azione corrisponde una reazione uguale e contraria”.

Per esempio: un libro appoggiato su un tavolo è sottoposto alla forza di gravità che lo spinge verso il basso ed a una forza che dal centro della terra spinge il libro verso l’alto; le 2 forze possiedono lo stesso valore ma di segno opposto, per questo motivo il libro è fermo nella sua posizione.

Differenza tra massa e peso

Il peso è una forza orientata verticalmente verso il basso, quindi essendo una forza, verrà espresso in Newton e sarà uguale a prodotto tra la massa del corpo e l’accelerazione gravitazionale g. Per questo motivo il peso di un corpo è differente sulla terra e sulla luna. La massa è la resistenza che imprime un corpo se sottoposto ad una forza.

Moto in 2 e 3 dimensioni

Forma vettoriale della legge di Newton in 3 dimensioni

La seconda legge di Newton ingloba in essa tre equazioni relative ai 3 componenti dello spazio (x, y e z), le quali devono essere soddisfatte simultaneamente; infatti essendo m uno scalare e a un vettore, allora avremo che F corrisponde al vettore somma di tutte le forze agenti sulla particella. Anche la terza legge di Newton è espressa in forma vettoriale e corrisponde: F = - FAB BA.

Moto di un proiettile

Il moto di un proiettile è un esempio di moto a due dimensioni: la sua velocità iniziale è vo con angolo detto Σ Σ = −; = 0 di alzo; l’unica forza a cui è sottoposto il proiettile è la forza di gravità () e la componente orizzontale dell’accelerazione è ovunque zero, mentre quella verticale vale sempre –g. (vedi foglio)

La gittata R di un proiettile è definita come la distanza orizzontale tra il punto di lancio e il punto in cui il proiettile ripassa attraverso la medesima quota di lancio, la gittata massima di un proiettile si ha se l’angolo di alzo è di 45°. : dove x = gittata: vo = velocità iniziale.

Resistenza del mezzo

Se applichiamo la legge per un corpo in caduta libera alle gocce di pioggia, avremo che queste cadono ad una velocità tale da essere letali, ma ciò non avviene poiché agisce la resistenza del mezzo: una forza frenante che è tanto più forte tanto più è alta la velocità. = Dove D è la resistenza del mezzo, b è una costante che dipende dalle caratteristiche fisiche del mezzo.

Per questo motivo la seconda legge di Newton diviene: − =. Alla fine la resistenza del mezzo eguaglierà il peso del corpo quindi anche la velocità di caduta rimane costante.

Moto circolare uniforme

Nel moto circolare uniforme la velocità rimane costante ma cambia la direzione; un esempio è: una biglia che viene legata ad una corda e fatta roteare; questo oggetto è sottoposto ad una forza diretta verso il centro e definita forza centripeta che ha lo stesso valore assoluto della forza centrifuga (forza diretta verso l’esterno).

All’accelerazione centrifuga si dà il nome di accelerazione istantanea, la sua formula corrisponde 2vcosθ−vcosθ v sin( ) ( )a = a = −a v²/r, ricavata dalla combinazione di varie equazioni (t = 2rθ, , , e six yt r θ esprime come l’accelerazione: m/s².

Applicazione delle leggi di Newton

Le equazioni trattate precedentemente, riferite al moto, ci permettevano di calcolare gli effetti delle forze e non le cause; i fisici hanno individuato 4 tipi di queste forza (definite fondamentali):

• Forza gravitazionale: che dipende dalla quantità di materia.
• Forza elettrostatica: basata su interazioni elettriche e magnetiche e responsabile dei legami tra atomi.
• Forza nucleare debole: responsabile dei processi di decadimento nucleare.
• Forza nucleare forte: che tiene insieme il nucleo dell’atomo.

Tensione

Se trainiamo una cassa con una corda, la forza che permette a quest’ultima di muoversi non è direttamente provocata dall’operaio, ma dalla corda e viene definita tensione. La fune che tira la cassa imprime una forza, ma secondo la 3° legge di Newton anche la cassa imprime una forza alla corda, di stessa intensità, ma differente segno.

Forza normale

Un libro appoggiato su un tavolo è spinto verso il basso dalla forza di gravità e rispettando la terza legge vi deve essere anche una forza che spinge il libro dal basso verso l’alto e che ha la stessa intensità della forza gravitazionale, ma con segno opposto. Questa forza è chiamata forza normale ed è grazie ad essa che quando camminiamo non sprofondiamo nel pavimento.

La forza normale e la tensione sono esempi di forze da contatto, ossia esercitate da corpi a contatto tra di loro, ciò è permesso solo se questa forza non supera le forze interatomiche esistenti tra gli atomi dei due corpi in esame.

Attrito

Un blocco che scorre su una superficie ad un certo istante si ferma, ciò è dovuta ad un accelerazione diretta in senso opposto rispetto a quella del blocco; questa forza esercitata dalla superficie sul blocco è chiamata attrito, se il blocco è fermo allora l’attrito è definito statico. Una volta avviato il blocco, la forza di attrito tende a diminuire e viene chiamato attrito dinamico, in questo caso il rapporto tra l’intensità della forza di attrito dinamico e la forza normale corrisponde al coefficiente di attrito dinamico riferito alla coppia di superfici in esame.

Dinamica del moto circolare uniforme

Un corpo di massa m si muove su un cerchio di raggio r a velocità uniforme v, è soggetto a un’accelerazione radiale o centripeta di intensità v²/r. Quindi la seconda legge di Newton diviene: 2Σ = =.

Pendolo conico

Un corpo appeso ad un filo e fatto roteare a velocità costante su un orbita giacente ad un piano orizzontale, θ viene definito pendolo conico. Se il filo forma un angolo rispetto all’angolo verticale, il raggio dell’orbita è R = Lsinθ (dove L è la lunghezza del filo); θ − = 0 le forze agenti sulla componente verticali sono: 2( )− = = mentre riferita alla componente radiale (essendo l’accelerazione istantanea): =.

Eliminando T e unendo le due equazioni otteniamo: √θ =.

Il tempo necessario per effettuare una rivoluzione è uguale a: 2πR/v.

Sostituendo a v l’equazione scritta precedentemente e apportando modifiche si ha: θ = 2√g.

Quantità di moto

Urti

In un urto tra due corpi sono ben visibili 3 distinti momenti: prima e dopo gli oggetti sono distanti tra di loro, mentre durante l’urto si esercitano forze di uguale intensità ma opposto segno, ciò provoca un cambiamento del moto dei due corpi. Le forze che agiscono in un tempo brevissimo rispetto alla durata dell’osservazione vengono definite forze impulsive.

Per analizzare gli urti utilizzeremo una nuova grandezza: la quantità di moto (p); corrisponde al prodotto tra la massa e la velocità ed essendo questa grandezza il prodotto di uno scalare per un vettore allora anch’essa sarà un vettore. In alternativa può esser definita come: “La derivata rispetto al tempo della quantità di moto è uguale alla risultante delle forze”.

Conservazione della quantità di moto

In un urto elastico tra due particelle, la quantità di moto di esse prima e dopo è uguale; se la forza che agisce su questi due corpi è nulla allora la quantità di moto rimane costante (principio di conservazione della quantità di moto). Essendo la quantità di moto una grandezza vettoriale, tutte e tre le componenti di essa devono rimanere costanti per fare in modo che la legge sia confermata.

11 + 22 = 12 + 22 1 1 − 1 = 2 2 − 2.

Tipologie di urti:

• 11 + 22 = 1 + 2 Urto anelastico: i due corpi dopo l’urto rimangono attaccati.
• 11 + 22 = 12 + 22 Urto frontale: se avviene in unna stessa direzione.
• Se una delle due particelle è inizialmente a riposo (v2i = 0) in questo modo conoscendo applicando il principio di conservazione è possibile risalire alla quantità di moto iniziale.
• Esplosivo: se la velocità dei due oggetti dopo l’urto è maggiore di quella di partenza.

Urti unidirezionali nel sistema di riferimento del centro di massa

In fisica esistono due tipi di sistemi di riferimento: di laboratorio e del centro di massa; quest’ultimo è largamente utilizzato dai fisici per studiare gli urti tra le particelle subatomiche, ossia si considera l’intera massa di un corpo di un solo punto.

Le velocità implicate in un urto nel c.d.m. sono parallele all’asse x, in questo modo si elimina l’indice x per le velocità; il sistema di riferimento in cui all’inizio la quantità di moto totale del sistema è nulla.

11 + 22 = 1 + 2.

Se viaggiamo a questa velocità e osserviamo l’urto, il moto dei due corpi prima di esso ci si presenta come se i due corpi avessero la stessa quantità di moto, ma con segno opposto (ciò anche se i due oggetti hanno masse differenti).

Riassunto capitoli 7-8-9

I capitoli 7-8-9 trattano di oggetti rigidi ch