Appunti di Finanza matematica

Appunti di Emanuela Barbato

Finanza

Matematica

Università degli studi di Roma “La Sapienza”

Corso di laurea in Finanza e Assicurazioni

Anno accademico 2015 - 2016

1. I 6

L MODO BROWNIANO

1.1 Introduzione al Moto Browniano ....................................................................................... 6

1.2 Costruzione del Moto Browniano di dimensione uno ........................................................ 6

1.3 Proprietà della sequenza di variabile aleatorie Xn ............................................................. 9

1.4 Proprietà di X(t) ................................................................................................................. 9

1.5 Conclusione del procedimento costruttivo ....................................................................... 10

1.6 Definizione di Moto Browniano ...................................................................................... 10

1.7 Proprietà fondamentale del Moto Browniano - Non derivabilità ..................................... 11

1.7.1Variazione quadratica di una funzione ................................................................................... 11

1.7.2 Definizione di variazione quadratica nel caso di processo stocastico .................................. 12

1.7.3 Derivabilità e variazione quadratica ....................................................................................

13

1.8 Integrale stocastico ........................................................................................................... 15

1.8.1 Definizione di processi stocastici non anticipativi ................................................................

15

1.8.2 Teorema di Ito- Integrale stocastico si X rispetto a Z su [0, T] ............................................

16

1.9 Confronto fra l’integrale classico e l’integrale stocastico ................................................ 16

1.10 Proposizione - Proprietà dell’interale stocastico ............................................................ 18

1.11 Un esempio di integrale stocastico ................................................................................. 21

1.12 Definizione di processo integrale stocastico .................................................................. 23

1.12.1 Teorema - Proprietà del processo integrale ........................................................................

24

1.13 Teorema - La formula di Ito o Lemma di Ito primo caso ............................................... 24

1.14 Teorema - La formula di Ito o Lemma di Ito secondo caso ........................................... 25

Esempio 1.14.1 - Uso della formula di Ito primo caso ...................................................................

26

Esempio 1.14.2 - Uso della formula di Ito primo caso ...................................................................

27

Esempio 1.14.3 - Uso della formula di Ito secondo caso ...............................................................

27

1.15 Definizione di Moto Browniano Geometrico ................................................................. 28

1.16 Definizione - Processi stocastici di Ito ........................................................................... 29

1.17 Teorema - La formula di Ito o Lemma di Ito terzo caso ................................................ 29

1.18 Teorema – La formula di Ito o Lemma di Ito quarto caso ............................................. 30

Esempio 1.18.1 – Uso della formula di Ito terzo caso ...................................................................

30

Esempio 1.18.2 – Uso della formula di Ito terzo caso (Settembre 2015) .......................................

31

Esempio 1.18.3 – Uso della formula di Ito quarto caso ................................................................. 32

1.20 Richiami – Le Martingale .............................................................................................. 34

1.21 Definizione – Le Martingale nel tempo continuo .......................................................... 35

1.21.1 Proposizione – L’integrale stocastico come Martingala ..................................................... 35

1.21.2 Corollario derivante dalla proposizione del paragrafo 1.21.1 ...........................................

36

1.22 Generalizzazione dell’Esempio 1.14.3 ........................................................................... 36

1.23 Definizione di Martingala esponenziale ......................................................................... 39

1.23.1 Come cambiare misura di probabilità con una Martingala Esponenziale ......................... 39

Appunti di Emanuela Barbato

1

1.24 Teorema di Girsanov ..................................................................................................... 41

1.24.1 Definizione - Moto Browniano con drift .............................................................................. 41

2. M 43

ODELLO BASE DELLA FINANZA MATEMATICA A TEMPO CONTINUO

2.1 Introduzione al modello base della finanza matematica .................................................. 43

2.2 Problemi della modellizzazione della finanza classica ................................................... 45

2.3 Definizione - Strategie d’investimento ............................................................................ 46

2.3.1 Definizione - Strategia autofinanziante ................................................................................

47

2.3.2 Definizione - Valore scontato del portafoglio ........................................................................

47

2.4 Asset Pricing Theory (APT) - Introduzione ..................................................................... 48

2.5 Teorema fondamentale dell’Asset Pricing Theory ........................................................... 49

2.5.1 Dimostrazione ........................................................................................................................

50

2.6 Caso semplice di una sola fonte di incertezza - Applicazione dell’APT

.......................... 58

2.6.1 Introduzione di un derivato e Formula di Black e Scholes .................................................. 60

3. C 63

OME PREZZARE I DERIVATI

3.1 La formula di Black and Scholes per una Call Europea .................................................. 63

3.1.1 Caso t = 0 .............................................................................................................................. 64

3.1.2 Caso di t (0,T) ....................................................................................................................

67

∈

3.1.3 Put - Call Parity ....................................................................................................................

67

3.2 Copertura dinamica della Call Europea (Delta Hadging) ................................................ 68

3.3 Derivati su tasso di interesse - Introduzione .................................................................... 70

3.3.1 Teorema di Feynman Kac ...................................................................................................... 71

3.3.2 Dimostrazione ........................................................................................................................

71

3.4 Derivati su tasso di interesse - Zero Coupon Bond .......................................................... 73

3.4.1 Applicazione del Teorema di Feynman Kac allo Zero Coupon Bond P(t,T) ......................... 73

3.4.2 Definizione di dinamica affine ...............................................................................................

74

3.4.2.1 Vasicek ..................................................................................................................................... 74

3.4.2.2 CIR (Cox, Ingersoll and Ross) ............................................................................................... 76

3.4.2.3 Ho - Lee ................................................................................................................................... 77

3.4.2.4 Hull and White (Vasicek esteso) ..............................................................................................

77

3.4.2.5 Perché utilizzare dinamiche diffusive affini ............................................................................

77

3.4.3 Prezzo dello Zero Coupon Bond ............................................................................................

77

3.4.3.1 Prezzo dello Zero Coupon Bond - Modello di Vasicek ........................................................... 78

Esempio 3.4.3.1 - Trovare il prezzo corrente di uno ZCB con dr(t) di Vasicek ..................................

81

3.4.3.2 Prezzo dello Zero Coupon Bond - Modello CIR ..................................................................... 82

3.5 Dai prezzi dello Zero Coupon Bond all’andamento del tasso di interesse ....................... 87

3.5.1 Definizione del rendimento medio di P(t,T) .......................................................................... 88

3.5.2 Dal rendimento medio al tasso spot ...................................................................................... 88

Appunti di Emanuela Barbato

2

3.5.3 Definizione di contratto Forward e di prezzo Forward ......................................................... 89

3.5.4 Rendimento medio Forward e definizione di tasso Forward ...............................................

89

3.6 Introduzione della dinamica del tasso Forward con σ costante ....................................... 92

3.6.1 Determinazione di dr(t) conoscendo la dinamica di {f(t,T), T > t} con σ costante ...............

92

3.6.2 La derivata rispetto a T di f(0,T) in T = t .............................................................................. 94

3.6.3 La forma della funzione α(t,T) - Teorema di Heath Jarrow e Morton (σ qualsiasi)

.............. 95

3.6.3.1 Dimostrazione ......................................................................................................................... 95

3.6.3.2 Corollario (σ costante) ........................................................................................................... 96

3.6.3 Forma della dinamica di r(t) con σ costante ......................................................................... 96

3.6.4 Dalla famiglia sottostante df(t,T) con σ costante al prezzo P(t,T) ........................................

97

Esempio 3.6.1 - σ non costante .......................................................................................................

98

4. M 101

ODELLI ESPONENZIALI AFFINI

4.1 Introduzione ................................................................................................................... 101

4.2 Il caso semplice di un Moto Browniano e di una sola variabile di stato ........................ 101

4.3 Nota - σ(t,X(t)) costante ................................................................................................. 109

5. O 111

PZIONI SU TASSI DI INTERESSE

5.1 Introduzione - Definizione di prezzo Forward ..............................................................

111

5.2 Determinazione della dinamica d(fTV)(t) ......................................................................

111

5.3 Prezzo di una Call Europea passando ai prezzi Forward ............................................... 114

5.4 Legame tra tassi Forward e misure Forward .................................................................. 115

5.4.1 Nota - Misura di probabilità dipendente dalla scadenza T ................................................. 116

5.5 Applicazione dei prezzi Forward .................................................................................... 117

Esempio 5.5.1 - Titolo risk free ..................................................................................................... 117

Esempio 5.5.2 - Dinamica di Vasicek ........................................................................................... 121

6. 122

OPZIONI SU ZERO COUPON BOND

6.1 Opzioni su Zero Coupon Bond ....................................................................................... 122

6.2 Teorema di Jamshidian (1989) ....................................................................................... 123

7. O 124

PZIONI AMERICANE

7.1 Introduzione ................................................................................................................... 124

7.1.1 Definizione di Tempi di Arresto ........................................................................................... 124

7.2 Come prezzare una Call Americana ............................................................................... 124

7.3 Definizione - Premio di esercizio anticipato .................................................................. 127

7.4 Confronto fra Call Europee Call Americana .................................................................. 127

Appunti di Emanuela Barbato

3

7.5 Proposizioni ................................................................................................................... 128

7.6 Regione di Stopping e di continuazione per la Put Americana ...................................... 130

8. R 132

ISCHIO DI CREDITO

8.1 Modelli strutturali ........................................................................................................... 132

8.1.1 Interpretazioni del modello ..................................................................................................

133

8.1.2 Determinazione del rendimento medio dell’obbligazione ................................................... 135

8.2.1 Proposizione ........................................................................................................................ 138

8.2.2 Definizione di funzione di sopravvivenza ............................................................................ 138

8.2.3 Immissione sul mercato di un titolo .....................................................................................

139

8.3 Obbligazioni rischiose .................................................................................................... 140

8.4 Credit default swaps ....................................................................................................... 143

Appunti di Emanuela Barbato

4

I seguenti contenuti sono mie personali rielaborazioni di appunti presi a lezione e di ricerche

|

personali, sono quindi frutto di studio autonomo e non sono pertanto attribuibili in alcun

modo al docente titolare della cattedra né tanto meno all’università di Roma.

La Sapienza

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| Appunti di Emanuela Barbato

5

1. I L MODO BROWNIANO

1.1 Introduzione al Moto Browniano

In questa trattazione introduciamo il Moto Browniano in quanto è utilizzato per rappresentare situ-

1

azioni caotiche la cui generalizzazione è il Processo di Ito utilizzato per modellare qualsiasi cosa

che contenga il rischio. Il Moto Browniano è altamente irregolare e non permette di rappresentare i

picchi in quanto non è derivabile in alcun punto. Sappiamo che se una funzione è derivabile in un

punto esiste la retta tangente in quel punto quindi almeno localmente possiamo approssimare l’an-

damento della funzione con quello della retta tangente, nel caso del Moto Browniano non esiste un

solo punto per il quale poter tracciare la retta tangente ovvero non è possibile ottenere alcuna ap-

prossimazione di ordine lineare. Per tale ragione è stato selezionato per rappresentare le situazioni

caotiche o rischiose.

1.2 Costruzione del Moto Browniano di dimensione uno

Vediamo adesso una formalizzazione modellistica del Moto Browniano.

Partiamo da una sequenza di variabili aleatorie binomiali:

2

a) X 0 - La variabile aleatoria X è identicamente (≣) nulla, cioè X (ω) = 0 per ogni ω Ω

∈

≣

0 0 0

!, ℙ)

dove (Ω, è lo spazio di probabilità sottostante. Questa variabile viene fissata al tempo t =

0 (Figura 1.2.1) X (ω) = 0 Ω;

∀ω ∈

0

b) X = X ± √dt con probabilità (1/2, 1/2) - La variabile aleatoria X è pari alla variabile X + √dt

1 0 1 0

con probabilità 0,5 o a X - √dt con probabilità 0,5. Questo vuol dire che la variabile in ques-

0

tione è una binomiale e viene fissata al tempo t = dt (Figura 1.2.1);

c) X = X ± √dt con probabilità (1/2, 1/2) - La variabile aleatoria similmente ai casi precedenti è

2 1

una binomiale e viene fissata al tempo t = 2dt (Figura 1.2.1)

d) In generale X = X ± √dt con probabilità (1/2, 1/2) fissata al tempo ndt.

n n-1

1 In particolare in questo caso non potremo parlare di derivate, quindi si dovrà introdurre un calcolo differen

-

ziale nuovo che è il calcolo differenziale di Ito. Questo ci permetterà di studiare quello che accade nell’in-

cremento visto che non posso approssimare la funzione con retta tangente.

2 Trattandosi di una variabile aleatoria possiamo dire che, presupposto che vi sia uno spazio di probabilità,

questa dipende da ω. Appunti di Emanuela Barbato

6

| | | | | | | | |

0 dt 2dt 3dt 4dt … ndt

Figura 1.2.1 - La Figura illustra la linea del tempo in cui si evidenziano gli istanti di tempo in cui vengono fissate le

differenti variabili. |

|

2√dt

| |

√dt | | | | | | | | |

-√dt 0 dt 2dt 3dt 4dt … ndt

|

-2√dt |

|

Figura 1.2.2 - La Figura rappresenta le possibili realizzazioni delle differenti variabili X , X , …, X .

0 1 n

Ricordiamo che quello che si vuole fare è costruire il Moto Browniano che è vero che non è deriv-

abile ma è anche vero che è continuo, si va quindi ad unire per interpolazione lineare X con X , X

0 1 1

con X e cos’ via come rappresentato nella Figura 1.2.3:

2 |

|

|

2√dt |

√dt | | | | | | | | |

-√dt 0 dt 2dt 3dt 4dt … ndt

|

-2√dt |

|

Figu