Appunti di Finanza matematica

P^

prezzi scontanti (t).

i

2.4 Asset Pricing Theory (APT) - Introduzione

Ricapitoliamo quali sono gli elementi che troviamo nel mercato e introduciamo la definizione di

strategia di arbitraggio:

• Vi sono N titoli di prezzo P (t) con i = 1, 2, …, N;

i

• Vi sono ν Moti Browniani indipendenti (che rappresentano le fonti di incertezza del mercato)

Z (t) con k = 1, 2, …, ν;

k Appunti di Emanuela Barbato

48

• Vi sono M variabili di stato X (t) con i = 1, 2, …, M che non verrano più nominate in quanto il

i

vettore di tali variabili è stato «assorbito» nella definizione dei parametri locali dei prezzi µ e

P i

σ che per come sono stati definiti incorporano tale vettore;

P i

• La dinamica del prezzo è la seguente: i ⁻ ⁻

dove σ è un vettore riga 1 ν, dipende da X (t) ed è non anticipativo rispetto a o a Z e a

⨯

P i

⁻

X ⁻ ⁻ ⁻

µ dipende da X (t) ed è non anticipativo rispetto a o a Z e a X ;

P i

• Ogni titolo paga dividendi D (t) con i = 1, 2, …,N;

i

• Il conto in banca è definito come segue:

dove r(t) è il processo del tasso spot;

• E la strategia autofinanziante è definita come e per ognuna di queste abbiamo

già definito il valore del portafoglio associato;

⁻

• #

(Definizione) - Si dice che è una strategia di arbitraggio se dà luogo a profitti non negativi

(ovvero maggiori uguali a zero) con probabilità 1 e positivi (ovvero strettamente positivi) con

⁻

probabilità positiva partendo da V (0)=0.

#

2.5 Teorema fondamentale dell’Asset Pricing Theory

Nell’ambito del modello base di interrimento si ha che:

(1) Non ci sono strategie (autofinanzianti) di arbitraggio;

(Implica)

⇓

(2) λ (t), λ (t), …, λ (t) (che saranno i ν prezzi di mercato dei rischio derivanti dalle ν fonti di in-

∃ 1 2 ν

certezza) processi non anticipativi tali che = 1, 2, …, N risulta che:

∀i Formula n. 2

(Implica)

⇓ ℙ ℚ,

(3) misura di probabilità equivalente a tale che, sotto risulta che:

∃ℚ Formula n. 3.1

o equivalentemente Formula n. 3.2

Appunti di Emanuela Barbato

49

(Implica)

⇓ ⁻

ℙ tale che, sotto ℚ, #

(4) misura di probabilità equivalente a per ogni strategia autofinanziante

∃ℚ ^ ⁻

risulta che {V , t [0,T]}, processo valore scontato del portafoglio, è una martingala.

# ∈ (Implica)

⇓

(1) Non ci sono strategie di arbitraggio.

Da questa catena di implicazioni risulta quindi che: (1) (2) (3) (4)

⇔ ⇔ ⇔

2.5.1 Dimostrazione

Prima parte (1) (2)

⇒

L’ipotesi in questo caso è che non vi siano strategie di arbitraggio, e quello che si vuole dimostrare è

che sotto questa valga il punto (2).

⁻

#

Sia una strategia autofinanziante, considerando l’intervallino di ampiezza infinitesima dt calcolo

⁻

#

la variazione del portafoglio associato a (paragrafo 2.3.1):

Vado, ora, a sostituire la dinamica del prezzo P (t) e vado a raccogliere a fattor comune i termini in

i

dt ottenendo:

Poiché stiamo su un intervallino infinitesimo di ampiezza dt, supponiamo che in questo intervallino

[t, t + dt] istantaneamente il portafoglio è privo di rischi. In altre parole in questo intervallino non

c’è la parte diffusiva della dinamica (ovvero non c’è la varianza): Relazione n. 1.1

Inoltre stiamo ipotizzando di essere in assenza di arbitraggi e quindi il rendimento istantaneo del

portafoglio dovrà essere pari al rendimento che lo stesso capitale darebbe se non si investisse nel

portafoglio ma si lasciasse il denaro nel conto in banca. In altre parole poiché stiamo ipotizzando

che siamo in assenza di arbitraggio dovrà necessariamente essere che il rendimento istantaneo di

portafoglio sia pari a:

Ne segue allora che nell’intervallo temporale considerato dovrà essere che: Appunti di Emanuela Barbato

50

dove

A questo punto sostituisco la definizione di valore del portafoglio e accorpo le due sommatoria al

modo seguente:

dove sicuramente dt ≠ 0 quindi sicuramente sarà pari a zero la sommatoria senza il dt (Regola del-

l’annullamento del prodotto): Relazione n. 2.1

Possiamo riscrivere questa relazione in forma matriciale al seguente modo: Relazione n. 2.2

dove

Ora, abbiamo detto che se il portafoglio è privo di rischi vale la Relazione n. 1, mentre per l’ipotesi

di assenza di arbitraggio si dà luogo alla Relazione n. 2.1 che in forma vettoriale è espressa con la

Relazione n. 2.2. Tentiamo, ora, di porre in forma vittoriale anche la Relazione n. 1:

Dato che si tratta di due somme finite di addendi, per le proprietà del prodotto rispetto alla somma

di numeri reali, nulla vieta di invertire l’ordine di sommatoria:

Poiché i Z (t) con k = 1,2, …, ν, sono Moti Browniani indipendenti, pensando di passare dalla for-

k

ma infinitesima a quella integrata sull’intervallo [t, t + dt], si ottiene: Appunti di Emanuela Barbato

51

ovvero la somma di ν integrali stocastici nulli. In altre parole dovranno essere nulli tutti i processi

integrandi: Relazione n. 3.1

che può essere scritta nella seguente forma vettoriale: Relazione n. 3.2

dove è la colonna k-esima della matrice

⁻ ⁻ ⁻

#

In conclusione per ogni U (t) (ovvero comunque prendo una strategia (t) il suo U (t) verifica quan-

to diremo) risulta che: Relazione n. 2.2

se vale la Relazione n. 3.2, ovvero se: Relazione n. 3.2

⁻ ⁻ ⁻ ⁻ ⁻

Quindi abbiamo che U (t) ortogonale ai vettori C (t), C (t), …, C (t); U (t) (Relazione 3.2); risulta

∀ 1 2 ν

⁻ ⁻ ⁻

che tale U (t) deve essere ortogonale a m (t) . Si deduce allora che m (t) deve appartenere allo spazio

3

⁻ ⁻ ⁻

vettoriale generato dai vettori C (t), C (t), …, C (t) e quindi può essere scritto come combinazione

1 2 ν

lineare di tali vettori, cioè esistono λ (t), λ (t), … λ (t) scalari tali che:

1 2 ν

che è la forma vettoriale della Formula n. 2.

Da questa dimostrazione si ottiene un elemento in più. λ (t), λ (t), … λ (t) sono quegli scalari che

1 2 ν

⁻ ⁻ ⁻

⁻

consentono di esprimere il vettore m (t) in funzione dei vettori C (t), C (t), …, C (t) e da questo si

1 2 ν

⁻

comprende da cosa dipendono gli scalari detti poc’anzi: ogni vettore C (t) ha indice k costante

k

ovvero l’indie del Moto Browniano k-esimo quindi ogni λ (t) dipende solo da quest’ultimo e non

k

⁻

dagli altri in quanto le componenti σ (t) del vettore C (t) sono i coefficienti di diffusione del prez-

Pi,k k

zo dei titoli P (t) che nella dinamica dP (t) è moltiplicato per dZ (t). In altre parole λ (t) è lo scalare

i i k k

⁻ ⁻

moltiplicato per il vettore C (t) nella combinazione lineare che dà m (t), quindi è moltiplicato per:

k

dove σ (t) nella dinamica di P (t) è il coefficiente di diffusione moltiplicato per dZ (t), infatti:

Pi,k i k

i

⁻ ⁻ ⁻ ⁻

⁻ #

3 Si tenga presente che né i vettori C (t), C (t), …, C (t) né il vettore m (t) non dipendono da (t); al con -

1 2 ν

⁻

trario di U (t). Appunti di Emanuela Barbato

52

o equivalentemente:

Seconda parte (2) (3)

⇒

Consideriamo adesso come ipotesi (2) e come tesi (3), ovvero stiamo ipotizzando che λ (t), λ (t),

∃ 1 2

…, λ (t) processi non anticipativi tali che = 1, 2, …, N risulta che:

∀i

ν Formula n. 2

ℙ ℚ

Se questo è vero allora (3) misura di probabilità equivalente a tale che sotto P (t) è pari a:

∃ℚ i

o equivalentemente

A questo punto possiamo dire che per costruzione del modello base risulta che la dinamica del prez-

zo è pari a: i

ma per ipotesi vale (2) ovvero esistono λ (t), λ (t), …, λ (t) processi non anticipativi tali che (nota

1 2 ν

che stiamo ricavando i µ (t)):

Pi

Sostituisco ora questa relazione nella dinamica del prezzo e ottengo:

dato che vi sono due sommatorie uguali posso riscrivere nel seguente modo:

dove dZ (t) - [-λ (t)] è un Moto Browniano con drift, e ne abbiamo uno per ogni k.

k k

Se vi fosse un solo Moto Browniano con drift si potrebbe applicare il Teorema di Girsanov: cam-

biando probabilità sarebbe un Moto Browniano sotto questa. Tuttavia vi sono ν Moti Browniani con

drift e quindi se applicassi Girsanov k per k otterrei ν misure di probabilità differenti; intuitivamente

ℚ, ℙ,

si deve trovare un’unica probabilità equivalente a tale che tutti i Moti Browniani con drift di-

ℚ.

vengano dei Moti Browniani dW sotto

k

In altri termini poiché abbiamo ν Moti Browniani con drift λ (t) + dZ (t) con k = 1, 2, …, ν, inoltre i

k k

Moti Browniani Z (t) con k = 1, 2, …, ν sono indipendenti per costruzione e per quello che abbiamo

k

detto prima, ciascun λ (t) dipende solo da Z (t). Da questo si deduce che si può usare Girsanov in

k k ℚ, ℙ,

maniera opportuna, per ottenere un’unica misura di probabilità equivalente a tale che per ogni

Appunti di Emanuela Barbato

53

k = 1, 2, …, ν dW (t) = Def. λ (t) + dZ (t) siano un Moti Browniani indipendenti. Si considera, per

k k k 4

ogni k = 1, 2, …, ν, la Martingala esponenziale M (t) tale che:

k

Ora, se avessi un solo Moto Browniano con drift potrei utilizzare questa per definire la nuova prob-

abilità sotto cui dZ (t) + λ (t) sia un Moto Browniano, tuttavia ne ho ν quindi pongo M(t) pari alla

k k

seguente espressione (prodotto delle M (t)):

k ℙ ℚ 5

M(t) risulta essere una martingala sotto con M(0) = 1, e mi permette di costruire probabilità

ℙ 6

equivalente a al modo seguente : ℚ,

A questo punto, si dimostra (generalizzazione del Teorema di Girsanov) che, sotto ciascun

dW (t) = λ (t) + dZ (t) è un Moto Browniano, inoltre questi sono tra di loro indipendenti (poiché lo

k k k ℚ)

sono i Z (t)). Ora, cambiando probabilità (sotto si ha che la dinamica stocastica del prezzo P (t)

k i

diventa:

o equivalentemente in forma integrata (proposizione del paragrafo 1.22):

dove in il secondo addendo all’esponente è quello che si

«salva» dal quadrato del primo addendo per la regola del prodotto di Ito e per

l’indipendenza dei W (t) per k