Appunti di Elettrotecnica

APPUNTI DEL CORSO DI

PRINCIPI DI INGEGNERIA

ELETTRICA

(ELETTROTECNICA)

POLITECNICO DI MILANO

ANNO ACCADEMICO 2021 / 2022

Tensione, Corrente, Potenza

Tensione

• rapporto tra il lavoro necessario a spostare una carica elettrica da un punto a un altro in un campo elettrico e la carica stessa

V = _dW/_dq [_Tc = V, volt]

• è misurabile mediante il voltmetro
• è una funzione di stato
• una tensione positiva è indice di un aumento dell'energia della carica nel punto finale rispetto al punto iniziale

Corrente

• quantità di carica elettrica che attraversa una sezione di un conduttore nell'unità di tempo

i = _dq/_dt [A, ampere]

• è misurabile mediante l'amperometro

Condensatore Ideale

• tutto il lavoro elettrico diventa energia immagazzinata nel campo elettrico
• esplica la conversione degli utilizzatori
• Relazione caratteristica: i = C_dV^dt
• dove C capacita: [F.C/V, farad]
• se V costante: i=0 circuito aperto
• dE = V i dt = VC_dv^dt = C V dV = dW

Energia Immagazzinata

• W = 1/2 CV²
• nei condensatori la tensione è una funzione continua

Generatore Ideale

• tutto il lavoro elettrico diventa lavoro di natura differente (meccanico, termico, ...)
• a seconda degli altri elementi del circuito, si può utilizzare la conversione degli utilizzatori o dei generatori

• Generatore ideale di corrente

• Generatore ideale di tensione

1

LKT: V_AS0 + V_B - V₂ = 0

V_AS0 = R₂ i_n - V_B

R_eq = R₂ quando aprire tutti i generatori

2

LKT: V_AS0 + V₁ - V₂ = 0

V_AS0 = V_E ( ^R_L⁄_{RL + RS} - ^R₄⁄_{RL + R1} )

per il partitore di tensione

R₁ = R₂R_L⁄(R₁ + R₂)

R₂S = ^{R_L R_S}⁄_{R2 - RS}

R_eq = R₁S + R₂S

REGIME SINUSOIDALE

NUMERI COMPLESSI

z = x + Jy   dove J=√-1   unità immaginaria

z = φ (cos Θ + J sin Θ)   dove φ = |z| = √(x² + y²)

Θ = arctg (y/x)

z = φ e^JΘ   Formula di Eulero

• Operazioni:
• z₁ + z₂ = (x₁ + x₂) + J (y₁ + y₂)
• z₁ * z₂ = p₁ p₂ e^{J(Θ₁ + Θ₂)}
• z₁/_z2 = p₁/p₂ e^{J(Θ₁ - Θ₂)}
• Re (z₁) = cos (α - x₂)
• -Re (z₁) = cos (α + x₂)
• J² = -1
• 1/J = -J

VALORE EFFICACE

• Tutti i generatori in regime sinusoidale, generano grandezze con andamento sinusoidale / cosinusoidale nel tempo quindi:
  • i(t) = I_max cos (ωt + φ)
  • v(t) = V_max cos (ωt + φ)
• Il valore efficace di una grandezza avente periodo T è quel valore costante nel tempo che, nel periodo, dà luogo alla stessa quantità di calore
  • P = RI²
  • Q = ∫_0→T Pdt = RI²T
• • P(t) = R(i(t))²
  • ⇒ Q = ∫_0→T P(t)dt = R∫_0→T (i_max)² dt
• • I_rms = 1/√2 I_max
  • V_rms = 1/√2 V_max

Resistori

• ∠ V e I in fase → φ = 0

• V = R I

• P = V_eff I_eff

• Q = 0

• la potenza è sempre assorbita

Induttori

• ∠ V è in anticipo di π/2 su I → φ = π/2

• V = jX_L I , X_L = wL

• P = 0

• Q = V_eff I_eff > 0

• la potenza è alternativamente assorbita e ceduta

Condensatori

• ∠ V è in ritardo di π/2 su I → φ = -π/2

• V = jX_C I , X_C = 1/wC

• P = 0

• Q = -V_eff I_eff < 0

• la potenza è alternativamente assorbita e ceduta

Risolvere di rete trifase

• Esempio 1

  • Con il codoline di Millman:
    • E_1Z_1+ E_2Z_2+ E_3Z_3=
  • LKT: E_1=Z_1*I_1-V^¯_0-0=∅

• Esempio 2

  • |E_1|=|E_2|=|E_3| e ϕ_1=ϕ_2=ϕ_3=2/3π
  • Con Z_1=Z_2=Z_3=Z
  • LKT: E_1=Z_1*I_1-V^¯_0-0=∅
  • |I_1|=|I_2|=|I_3|=spazi di 2/3π

  Aggiungendo, in parallelo, un corto circuito, la rete non varia.

• Esempio 3

  • W: Vettore - Trova la potenza
  • P_w = |R_c *(V^¯_w * I_w)

REGIME TRANSITORIO

• Quando in un circuito si apre o si chiude un INTERRUTTORE c'è un intervallo di tempo in cui cambia il regime o la topologia della rete

• All'istante t = 0, il interruttore si chiude

• con il circuito APERTO: I_L = 0
• con il circuito CHIUSO: I_L = E/R

OBIETTIVO: studiare la rete nell'intervallo di tempo in cui il circuito passa da aperto a chiuso o viceversa

Nel transitorio: E = V_R + V_L → E = R · I_L + L · dI_L/dt

VARIABILI DI STATO

• sono variabili che appaiono sotto forma di derivate e sono del tipo:

dx/dt = A_T x_STATO + B_U u_INGRESSI

• se per t = t*, conosco l'ingresso u(t*) e lo stato x(t*) allora conosco qualunque termine o corrente della rete in tale istante di tempo t*
• se conosco R(0), x₀ per t = 0 e u(t≥0) allora conosco l'andamento di x(t) per t > 0

H_Fe l_Fe + H_s s = NI

L U_Fe + U_s - NI

Legge di Gauss - Maxwell: ∫ B ⋅ n ds

φ flusso

B S = φ

Superficie

Legge delle correnti magnetiche

U = Hl

∑ U n I

Percorso chiuso

Legge delle tensioni magnetiche

U =

l

μ S

φ = θ φ

Θ =

l

μ S

Riluttanza

[¹/_Hm]

Poichè ψ_Fe ≫ ψ_o ⇒ Θ_Fe =

l_Fe

μ_Fe s_Fe

≪ Θ_s

⇒ Considero Θ_Fe trascurabile

TRASFORMATORE

è una macchina elettrica statica che lavora in regime alternato sinusoidale il cui scopo è trasformare i parametri della potenza (tensione e corrente) tra ingresso e uscita mantenendo, nel caso ideale, costante la potenza.

è costituito da un nucleo ferromagnetico su cui trovano avvolgimenti di un numero finito di spire; il ramo primario di N₁ spire alimentato da una corrente sinusoidale e uno secondario di N₂ spire ai capi del quale si genera una tensione alternata sinusoidale che, collegato a un carico, genera una potenza è assorbita precedentemente dal primario.

CASO IDEALE:

γ_Fe → ∞ , R_N1,N2 = ∅ , i_µ = ∅

poichè N₂ aperto e V₂(t) = ^dΨ/_dt

Θ = ∅ , i_µ = ∅

V₁ = ^d(N₁Ψ)/_dt, V₂ = ^d(N₂Ψ)/_dt

^V₁/_V2 = ^N₁/_N2