Appunti di "Controllo del traffico aereo", parte di probabilità e radar

Introduzione

Fenomeno deterministico:

se l'esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato

Esempi:

• Moto di un grave
• Traiettoria di una pallina in un biliardo

Fenomeno non deterministico:

anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi

Esempi:

• Risultato del lancio di una moneta
• Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

Modello deterministico

• Un fenomeno è deterministico se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo;
• le grandezze in ingresso _i (le condizioni iniziali) permettono di calcolare le grandezze in uscita _i
• ... la funzione associata ad un modello deterministico è quindi

y=f(x)

Modello non deterministico

• Un fenomeno è non deterministico se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita y_m ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati eventi casuali;

• In un fenomeno aleatorio:

  • Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione Ω
  • Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio Ω
  • L'evento certo è lo spazio Ω
  • L'evento impossibile è l'insieme vuoto Φ
  • È un evento il risultato di qualsiasi operazione tra i sottoinsiemi di Ω

Introduzione

Fenomeno deterministico:

• se l'esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato

Esempi:

• Moto di un grave
• Traiettoria di una pallina in un biliardo

Fenomeno non deterministico:

• anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi

Esempi:

• Risultato del lancio di una moneta
• Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

Modello deterministico

• Un fenomeno è deterministico se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo;

CIOE’

• le grandezze in ingresso x_i (le condizioni iniziali) permettono di calcolare le grandezze in uscita y_i
• la funzione associata ad un modello deterministico è quindi

y=f(x)

Modello non deterministico

• Un fenomeno è non deterministico se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita y_n ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati eventi casuali;

• In un fenomeno aleatorio:
• Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione Ω
• Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio Ω
• L'evento certo è lo spazio Ω
• L'evento impossibile è l’insieme vuoto Φ
• E’ un evento il risultato di qualsiasi operazione tra i sottoinsiemi di Ω

Esempio: lancio di un dado

• Ω Spazio campione
• Evento: «uscita del numero i» con i=1,2, ..., 6
• Evento: «uscita di un numero pari»
• L'evento: «uscita di un numero pari» può essere considerato come unione di eventi singoli

Calcolo delle probabilità ....

• Matematica dell'incertezza: affrontare con gli strumenti della matematica situazioni in cui le informazioni non sono sufficienti per garantire certezze.
• Il rischio è una componente ineliminabile
• Come operare scelte in condizioni di incertezza?
• Valutazione probabilistica

Definizione di probabilità

Diverse definizioni di probabilità ...

• A priori (o matematica, o classica)
• A posteriori (o statistica, o frequentista, o legge empirica del caso)
• Soggettiva

Probabilità: ad ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1

Definizione di probabilità

Classica

Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili)

p(E) = m / N

• Problemi della definizione classica:
  • non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili
  • il numero di casi deve essere finito
• Aspecti positivi:
  • una definizione operativa

Definizione di probabilità

Frequentista a posteriori (von Mises)

Se ripete un esperimento N volte e se un evento con una certa caratteristica E si verifica m volte, la frequenza relativa di successo è

f(E) = m/N

• m = numero di "successi"
• N = numero di prove.

f(E) dà una stima per la probabilità di E.

Problemi della d