Appunti di "Controllo del traffico aereo", parte di probabilità e radar

Introduzione

Fenomeno deterministico: se l'esperimento è condotto nelle stesse condizioni si trova lo stesso risultato

Fenomeno non deterministico: anche se gli esperimenti sono condotti nelle stesse condizioni si trovano risultati diversi

Esempi:

• Moto di un grave
• Traiettoria di una pallina in un biliardo

Esempi:

• Risultato del lancio di una moneta
• Numero di lanci di un dado per ottenere un 6

La probabilità si occupa di fenomeni non deterministici

Modello deterministico

• Un fenomeno è deterministico se tutte le informazioni relative alla situazione che si sta esaminando in un istante permettono di determinare con certezza, con leggi semplici, quale sarà la situazione dopo qualsiasi intervallo di tempo;

CIOE'

• le grandezze in ingresso (le condizioni iniziali) permettono di calcolare le grandezze in uscita , ...la funzione associata ad un modello deterministico è quindi

Modello non deterministico

• Un fenomeno è non deterministico se non è possibile determinare a priori con certezza il valore della variabile in uscita , ma si sa che essa assumerà uno dei valori di un insieme di eventi, chiamati eventi casuali;

In un fenomeno aleatorio:

• Tutti i possibili risultati sono punti dello spazio campione
• Ogni evento è un sottoinsieme dello spazio
• L’evento certo è lo spazio
• L’evento impossibile è l’insieme vuoto
• Un evento è il risultato di qualsiasi operazione tra i sottoinsiemi di

Esempio: lancio di un dado

• Ω Spazio campione
• Evento: «uscita del numero i» con i=1,2,...,6
• Evento: «uscita di un numero pari»
• L’evento: «uscita di un numero pari» può essere considerato come unione di eventi singoli

Definizione di probabilità

Diverse definizioni di probabilità...

• A priori (o matematica, o classica, o di Pascal)
• A posteriori (o statistica, o frequentista, o legge empirica del caso)
• Soggettiva

Probabilità: ad ogni evento E associa un numero reale compreso tra 0 e 1

p: E → p(E)

Calcolo delle probabilità...

• Matematica dell’incertezza: affrontare con gli strumenti della matematica situazioni in cui le informazioni non sono sufficienti per garantire certezze.
• Il rischio è una componente ineliminabile
• Come operare scelte in condizioni di incertezza?
• Valutazione probabilistica

Definizione di probabilità

Classica (Pascal)

Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi ed ugualmente probabili, se m di questi possiede una caratteristica E, la probabilità di E è il rapporto tra il numero di casi favorevoli e il totale dei casi possibili (tutti equiprobabili).

p(E) = ^{casi favorevoli}/_{casi possibili} = ^m/_N

Problemi della definizione classica:

• non sempre posso dire che eventi sono equiprobabili (asimmetrie - esempio: un dato truccato)
• il numero di casi deve essere finito

Aspetti positivi:

• è una definizione operativa

Proprietà

Inoltre, si ha:

• A ∪ ∅ = A
• A ∪ Ω = Ω
• A ∩ Ω = A
• A ∩ ∅ = ∅

Unione di due insiemi/eventi

E = {}

A = {}

A ∪ E = {}

Intersezione di due insiemi/eventi

E = {}

A = {}

A ∩ E = {}

Negazione

Ō = ∅

A ∪ Ō = Ω

Funzione di distribuzione

Costruiamo una variabile aleatoria e le corrispondenti probabilità in due fasi

• Ad ogni evento _i si associa uno ed un solo numero reale _i. Questa operazione definisce v.a le g.
• Ad ogni possibile valore _k di si associa una probabilità (_k). Questa operazione definisce la distribuzione di probabilità della v.a.

OSERVAZIONI:

• La regola da adottare per definire la variabile aleatoria è arbitraria poiché dipende da ciò che vogliamo che la variabile rappresenti. La determinazione della (_k) non è arbitraria poiché è legata alle probabilità degli eventi elementari.
• Anziché scegliere l'evento casuale aleatorio e determinare (quando possibile) la relazione funzionale che lega questo problema ad essere una funzione f() si necessaria quando è del tipo continuo e decadimento esponenziale (con v.a. )
• In alcuni casi, è necessario calcolare la probabilità che assuma un valore minore o uguale a _k
• Funzione di distribuzione

Funzione di distribuzione

( ≤ _k) = (_k)

Funzione di distribuzione

• Si definisce funzione di distribuzione cumulativa di una variabile aleatoria la funzione ( ≤ ) = F() ∈ ℝ
• che associa ad ogni valore reale x la probabilità che la variabile aleatoria assuma un valore minore o uguale ad x.
• Per variabili aleatorie discrete la funzione di distribuzione è una funzione a gradino.

Distribuzione binomiale

• Supponiamo di fare un esperimento con 2 risultati possibili. Esempi:
  • vincere/perdere al gioco
  • osservare testa/croce lanciando una moneta
  • trasmettere senza/ce errore un bit
  • rilevare/non rilevare la presenza di un bersaglio mediante un sistema radar
• Si considera il corrispondente valore casuale dicotomica la variabile assume uno di due possibili valori: convenzionalmente alla modalità assegnata l'etichetta di "successo" e viene indicata con 1 e all'altra l'etichetta di "insuccesso" e viene indicata con 0. Si indica:
  • P(0) = = (1 - p)
  • P(1) =
• N prove ripetute ed indipendenti dello stesso esperimento condotte nelle medesime condizioni ≥ indipendenza statistica dei risultati.
• Con che probabilità si ottengano k successi su N prove?

Funzione di distribuzione v.a. normale

Funzione di errore → ottenuta considerando una N(0,1)

Probabilità di catturare m in una zona intorno a + di ammissive

• Pr{|X - μ| < 2σ} = 2.erf(1) = 0.68268
• Pr{|X - μ| < 2σ} = 2.erf(2) = 0.95452
• Pr{|X - μ| < 3σ} = 2.erf(3) = 0.9973

Funzione d'errore

Funzione di distribuzione v.a. normale

Pensando alla densità di probabilità Gaussiana associata all’esperimento aleatorio di misura di una certa grandezza fisica possiamo dare una interpretazione probabilistica dell’errore quadratico medio

• Le misure affette da errori casuali (e quindi normali) hanno una probabilità del 68% di cadere all'interno di un intervallo di semiampezza pari alla deviazione standard (o nella notazione adottata) centrato sul valore vero della grandezza misurata.
• L'intervallo di semiampezza pari alla deviazione standard (o nella notazione adottata) centrato su di una misura qualsiasi di un campione ha pertanto una probabilità del 68% di contenere il valore vero, ammesso che gli errori siano casuali e normali.