Appunti di Controlli Automatici - parte B

Luogo delle radici

Il luogo delle radici è uno strumento per identificare e allocare dei poli del sistema retroazionato al variare del guadagno fatto a partire dei poli-zeri del sistema ad anello.

Per costruire il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale.

Proprietà

1. Il luogo ha tanti rami quanti sono i poli del sistema (a ciascun zero è associato un polo).
2. Ogni ramo inizia (k=0) dalla posizione di un polo in un altro aperto termina (k=∞) nella posizione di uno zero del sistema o va all'infinito.
3. Il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale.
4. Per k>0 un punto dell'asse reale appartiene al luogo delle radici se si lascia alla sua destra un numero dispari di poli e zeri del sistema.
5. Ha cambiato il numero pari col grado selettivo.

Locus delle radici

Il luogo delle radici è uno strumento per identificare e allocare dei poli del sistema retroazionato al variare del guadagno tenuto a partire dai poli-zeri del sistema ad anello.

Per costruire il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale.

Proprietà

1. Il luogo ha tante curve quanti sono i poli del sistema (a ciascun zero è associato un polo).
2. Ogni curva inizia (k=0) dalla posizione di un polo in catena aperta e termina (k=∞) nella posizione di uno zero del sistema o va all'infinito.
3. Il luogo è simmetrico rispetto all'asse reale.
4. Per k>0 un punto dell'asse reale appartiene al luogo delle radici se si lascia alla sua destra un numero dispari di poli e zeri del sistema. Per k<0 un punto dell'asse reale appartiene al luogo delle radici se si lascia alla sua destra un numero pari di poli e zeri.
5. Ha cambiato il numero pari e il grado relativo.

VI

Gli azimut a montare m in un punto dell’~ine reale a cui azimu vale:

(modulo relativo)

VII

Gli azimut divisero il pano emberse in parti eguali

Per \( k > 0 \) l’angolo del ½ azimuto forma con l’~e reale é

\( Q_{uv} = \dfrac{2\sqrt{\pi}\times\pi}{m+m} \)

Per \( k < 0 \)

\( \dfrac{2\sqrt{\pi}}{m+m} \)

VIII

Per sistemi a gaso relativo magiore al 1, B somme oler pié e cosum cx lineo de “e”

vale:

\( Q_b = \dfrac{1}{m} \sum_{i=1}^{m} P_i \) Buicento del fi])o

[Assimoti ex k > 0]

p = m ⋅ m ⋅ m = 1

p = m - m = 2

p = m - m = 3

p = m ⋅ m = 4

[Errori a regime e tipo di sistemo]

Consideriamo un sistema in retroazione unitaria

Errore c segue nella risposta ad un segnale X(s)

lim _t→∞ e(t) = lim _s→0 sE(s) = lim _s→0 ℰ(s) = lim _s→0 X(s)/1+G(s)

[Errore nella risposta a gradino]

La referente del gradino di ampere A vale: X(s) = A/s

→l’errore rispetto al gradino è detto errore di posizione e_p

e_p = lim _s→0 A/1+G(s) = A/1+lim _s→0

⇒ e_p = A/1+K_p , K_p → costante di guad. lim _s→0

^M=....

NB ⇒ il numero (n) di poli nell'origine di G(s) definisce il tipo del sistema

NB ⇒ Se G(s) è di tipo ≥1 (ha 1 o più poli nell’origine) Allora e_p =0

Errore nella risposta alla rampe

La trasferita della rampe vale

X(s) = ^A/_s²

L'errore asintoto alla rampe è dello errore di velocità e_v

K_v = lim sG(s)_s→0

• Tipo 0 => e_v=∞
• Tipo 1 => e_v= ^A/_K
• Tipo 2 => e_v=0

BANDA PASSANTE E SVILUPPO IN SERIE DI FOURIER

• Qualunque funzione periodica di periodo T

f(t) = f(t+T) ∀t

può essere rappresentata mediante sviluppo in serie di Fourier

• f₀ defin.: C_m costituiscono lo spettro del segnale e rappresenta il contributo delle varie armoniche alla grandezza del segnale stesso

• a₀=c₀ → Componente continua
• r_m=|C_m|
• φ_m=arg C_m

• 1^a ARMONICA (fondamentale) → V₁cos(ω₀t+φ₁)
• k^a ARMONICA → V_kcos(kω₀t+φ_k)

Amplitudine

Esempio di segnali periodici e impulso rettangolare periodico

Impulso rettangolare

Impulso triangolare periodico

NB: