Appunti di Calcolo delle Probabilità

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Revisionato il 17/04/2026

di Rocky9331

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Appunti completi e dettagliati, con molti esempi ed esercizi svolti in aula. Gli argomenti trattati:- Concezioni della probabilità (classica, frequentista e soggettivista)- Eventi e …

Esame Calcolo delle Probabilità

Facoltà Scienze statistiche

Dal corso del Prof. Quatto Piero

Università Università degli Studi di Milano - Bicocca

A.A. 2014-2015

56 pagine

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Estratto del documento

PROBABILITÀ

U: popolazione di individui (numero intero)

U = {1, 2, ..., N}

ESEMPIO:

Popolazione italiana, devo conoscere chi è favorevole ad una certa legge quindi chiedo ad ogni individuo: - N = NUMERO - X = # persone favorevoli - p = # persone favorevoli N

Chiedere a tutti costa, per cui bisogna individuare un SOTTOINSIEME -> CAMPIONE (C)

{"1, 2, 3, ..., N"} < { C = {u₁, u₂, ..., u_n} n = 1000

al CAMPIONE si sottopone la DOMANDA ottenendo: - p_n = # favorevoli nel campione = 0,52 - # persone nel campione (m)

Si può dire che è la maggior parte?

- CAMPIONAMENTO CASUALE -> in particolare è CASUALE SEMPLICE ovvero che dà a tutti gli individui la stessa % di estrazione.

L' ERRORE ASSOLUTO misura l'essere la PROPORZIONE p_n - p Questo valore |p_n - p| deve essere più piccolo di un certo Σ=0,01

|p_n - p| < Σ=0,01

non sappiamo quanto sia, perciò non possiamo parametricarlo a Σ

SOLUZIONE -> MISURA della PROBABILITÀ (P)

calcolare che la diseguaglianza sia vera attraverso il LIVELLO DI CONFIDENZA: P(|p_n - p| < Σ( Σ )) = 0,95, - si applica a insiemi probabili che P sia < Σ

0,95 : 99% distanza statistica dalla legge italiana Σ = 1/¹√_m ≃ 3% con m=1000

l'ERRORE ASSOLUTO RISULTA DEL 3%

52% ± 3% varia da 49% al 55%, quel 49% dice che non la maggior parte della popolazione è favorevole considerato un errore assoluto del 3%.

PROBABILITÀ

U: popolazione di individui (numero intero)

U = {1, 2, ..., N}

ESEMPIO

Popolazione italiana, devo conoscere chi è favorevole ad una certa legge.Devo chiedere ad ogni individuo

P = ^{# persone favorevoli} / _{numero N}

Chiedere a tutti costa, per cui bisogna individuare un

SOTTOINSIEME → CAMPIONE (C)

C = {u₁, u₂, ..., u_m} m = 1000

Al CAMPIONE si sottopone la domanda, ottenendo:

PN = ^{# favorevoli nel campione} / _{# persone nel campione (m)} > 0,52

Si può dire che è la maggior parte?

Il CAMPIONAMENTO è CASUALE, in particolare è CASUALE SEMPLICE ovveroche dà a tutti gli individui la stessa % di estrazione.

L'ERRORE ASSOLUTO misura essere la differenza |PN - G|.Questo valore |PN - G| deve essere più piccolo di un certo ε = 0,01

|PN - G| ≤ ε = 0,01

Non sappiamo quanto sia, perciò non possiamoprogrammarlo a ε

SOLUZIONE

MISURA della PROBABILITÀ (P)Calcolare che la disuguaglianza sia vera attraverso il LIVELLO DI CONFIDENZA:

P(|PN - G| < ε) = 0,95

- Si applica e inseri probabili che PN sia < ε

0,95: 99% è distanza statistica dalla legge italianaε = 1/√m ≤ 0,03 3% con m = 1000 *

L'ERRORE ASSOLUTO RISULTA DEL 3%

52% ± 3% varia da 49% al 55%; quel 49% dice che non la maggior partedella popolazione è favorevole considerando un errore assoluto del 3%

Passaggio da popolazione a campione = Inferenza

Avremo un operativo C_∞ che paga il prezzo dell'errore. Si cerca sempre di contenere comunque il margine d'errore.

100% - 95% = 5% di incertezza

m = A / ε²

se noi vogliamo un ε = 0.01 dobbiamo considerare m = 10000 → ERRORE del 1%

Per comprendere la realtà utilizziamo la statistica inferenziale

Misura di probabilità

Concezione classica → matematici ‘600 (Pascal e Fermat) La probabilità di un evento qualunque fatto sia probabilizzabile. (E) si può calcolare.

Esempio → la possibilità che esca testa in un momento regolare:

P(E) =

# casi favorevoli a E ———————— # casi possibili (devono essere equiprobabili)

P(testa) = 1/2

P(5) = 1/6→ dado a 6 facce

Si applica solo a certe condizioni quando è equiprobabi

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