Appunti di Calcolo delle Probabilità

Probabilità

U: popolazione di individui (numero intero)

U = { 1, 2, ..., N }

Esempio:

Popolazione italiana, devo conoscere chi è favorevole ad una certa legge, dovrei chiedere ad ogni individuo.

• # = numero
• G = % persone favorevoli
• N

Chiedere a tutti costa, per cui bisogna individuare un sottoinsieme ⇒ campione (c)

U = { 1, 2, 3, ..., N } c = { μ₁, μ₂, ..., μₙ } n = 1000

Al campione si sottopone la domanda ottenendo: P_n = # favorevoli nel campione / # persone nel campione (m) = 0.52

Si può dire che è la maggior parte?

• Il campionamento è casuale, in particolare è casuale semplice, ovvero che dà a tutti gli individui la stessa % di estrazione.

L'errore assoluto misura essette da (P_n - G). Questo valore | P_n - G | deve essere più piccolo di un certo ε = 0,01 |P_n - G | ≤ ε = 0,01

Non sappiamo quanto sia, perciò non possiamo parametrarlo o ε.

Soluzione → Misura della probabilità (P) Calcolare che la disequaglianza sia vera attraverso il livello di confidenza: P ( | P_n - G | < ε ) = 0,95

• Si applica su insiemi probabili che P_n sia < ε

0,95: 95% = distanze statistiche dalla legge italiana ε ≈ 1 / √m = 0,03 = 3% con m = 1000 *

L'errore assoluto risulta 3%.

52% ± 3% varia tra 49% e 55%, quel 49% dice che non la maggior parte della popolazione è favorevole considerando un errore assoluto del 3%.

PASSAGGIO DA POPOLAZIONE O CAMPIONE = INFERENZA

avere una popolazione che paga il prezzo dell'errore. Si cerca sempre di commettere l'errore minore.

• 100% - 0.5% = 6 % di INCERTEZZA
• ^m/_Σ * se non vogliamo m = 0,01 dobbiamo considerare m = 10000
• Si comprende un errore dell' 1%

Per comprendere la realtà utilizziamo la STATISTICA INFERENZIALE

CONCEZIONE CLASSICA

+ maturò nel '600 (Pascal e Fermat) La probabilità di un evento qualunque fatto sia probabilizzato. (E) Si può calcolare.

• ESEMPIO → La possibilità che esca testa in un momento regolare.
• P(E) = ^{#casi favorevoli a E}/_{#casi possibili (devono essere equiprobabili)}
• P(testa) = 1/2
• P(5) = 1/6
• DADO a 6 FACCE

SI APPLICA SOLO A CERTE CONDIZIONI QUANDO È EQUIPROBABILE

CONCEZIONE FREQUENTISTA

+ maturò nel 800 potrà che esca TESTA in un momento qualsiasi. Casi possibili sono 2 ma non è detto che siano equiprobabili.

• SUCCESSO = TESTA
• INSUCCESSO = CROCE
• #successi = p(successo)
• #prove ripetute

All'aumentare delle prove tende a stabilizzarsi al successo. Il difetto che il numero delle prode è limitato (la grande differenza a che ciò

è sfarpata nel corso dell'esperimento.

Al crescere del numero delle prove il successo si avvicina al 50%.

SI APPLICA SOLO CON PROVE RIPETUTE

CONCEZIONE ASSIOMATICA

Ω = insieme universo

A Ω B C Ω

1. A = Ω / [Ω ω ε Ω ω ∉ A] & A = ciò fuori da A
2. A∩B = [w ε Ω, w ε A, w ε B]
3. A/B = [w ε Ω, w ε A, w ∉ B]
4. B/A = [w ε Ω, w ε B, w ∉ A]
5. A = w ε A ∩ B = [w ε A∪B]

A∪B = B ∩ A

Misure di probabilità

1. Indipendenza di eventi
   • A, B, C

   A ⊥ B ⟺ P(A ∩ B) = P(A) P(B)

   1. Indipendenza
   2. Incorrelazione
      • X ⊥ Y ⟺ cov(X,Y) = 0 ⟺ X ⊥ Y

   (⊥ forte di ⊥)

   Esempio. 2 lanci di una moneta regolare (0=TESTA, 1=CROCE)

   Ω = {0,0, 0,1, 1,0, 1,1} β= 1/4 P(A) = #A/#Ω

   C₁ = croce al primo lancio

   C₂ = croce al secondo lancio

   C₁ = {1,0, 1,1} P(C₁) = #C₁/#Ω = 2/4 = 1/2

   C₂ = {0,1, 1,1} P(C₂) = #C₂/#Ω = 2/4 = 1/2

   C₁ e C₂ sono indipendenti?

   C₁ ∩ C₂ = {1,1} P(C₁ ∩ C₂) = # (C₁ ∩ C₂)/#Ω = 1/4 = P(C₁) P(C₂)

   un solo elemento in comune

   P(C₁ ∩ C₂) = P(C₁) P(C₂)

   C₁ e C₂ sono indipendenti

2. Probabilità condizionata

   P(B)>0

   P(A|B) = L'evento B si è verificato certamente. Calcoliamo la P(A) in relazione al fatto che B si è verificato.

   dato B

   Assumiamo B come Ω

   P(A|B)=c P(A ∩ B) → P(A|B) deve essere proporzionale alla intersezione A∩B

   P(B|B) = 1

(Ω, B, P) A, B ∈ B

P(A|B) = P(A|B̄) ⟹ A⊥B̄

P(A|B) = P(A∩B)

P(B)

P(A̅|B) = P(A) - P(A∩B)

1 - P(B)

[1 - P(B)] P(A∩B) = P(B)[P(A) - P(A∩B)]

P(A∩B) - P(A∩B)P(B) = P(B)P(A) - P(A∩B)P(B)

P(A∩B) = P(B)P(A)

A⊥B

A⊥B̄ ⟹ P(A̅) - P(A̅|B)

P(A⊥B̄) = P(A̅) - P(A̅|B)

P(A̅|B) = P(A)

A⊥B ⇔ A⊥B̄

U = {1, 2, ..., m}

U = m

C_m^k = {S ⊂ U | S = k}

^mC_m^k =

^mC_m⁰ =

m/(m-k) · k! → m/(m - 0) · 0! = m/m · 0! = 1

(m/k) + (m/k+1) · m/(m-k) · k!

m/(m-k+1) · (k+1)! → m/(m-k) · (k+1)! · (m-k)/(m-k)

m/m · 0! = 1

(m/k) + (m/k+1) = m/(m-k) · k!

m/(m-k+1) · (k+1)! =

m_k × k + m - x

(m+1)/(m - x) · (m+1 - k) · (k+1) =

(m+1)^(k+1)

Formula di Stifel:

(m^m) (k^k+1) (m+1)/(m^k+1) = (m+1)/(k+1)

X ~ Bernoulli (Θ)

si distribuisce

Se la v.c. X è DISCRETA:

VALOR MEDIO o VALORE ATTESO (E)

E(Pf(X))

una qualsiasi trasformazione h di X

E(Pf(X)) = ∑ x ∈ S