Appunti di analisi numerica

INTEGRAZIONE NUMERICA

Sia f:(a,b)→ℝ integrabile in (a,b) il problema dell'integrazione numerica consiste nel calcolo approssimato di

I(f) = ∫ f(x)dx

Mediante formule del tipo:

I_n(f) = ∑_i=0ⁿ w_if(x_i) ≈ ∫ f(x)dx

Dette formule di quadraturaCon x_i detti nodi e w_i detti pesiUna idea può essere approssimare f(x)con un polinomiointerpolante nei nodi x_i, di grado n, in tal caso si avrebbe

f_n(x) ≈ P_n(x)∫ f(x)dx ≈ ∫ P_n(x)dx

Si ottiene formule di quadratura

Interpolante: ad esempio usando polinomi diLagrange Ho P_n-1 = ∑_i=0^n-1 L_i(x)f(x_i) e quindiI = ∫ [∑_i=0^n-1 L_i(x)f(x_i)

Esempi:

REGOLA DEL PUNTO MEDIO

I∫(a,b)f(x)dx ≈ I∫(a,b)dx ≈ f( a+b )-a ( b-a ) f(a+b) = I₀(f)

REGOLA DEL TRAPEZIO

Sostituisco f con la retta passante per i suoi estremi

∫_a^b f(x)dx ≈ (b-a)/2 ( f(a) + f(b) ) = I₁(f)

REGOLA DI SIMPSON

Sostituisco f con il polinomio passante per gli estremie il punto medio

∫_a^b f(x)dx = (b-a)/6 [ f(a) + 4f(a+b) + f(b) ] = I₂(f)

INTEGRAZIONE NUMERICA

Sia f:(a,b)→ℝ integrabile in (a,b) il problema dell’integrazione numerica consiste nel calcolo approssimato di

I(f)=∫ f(x)dx

mediante formule del tipo

I_n(f)=∑_i=0ⁿ w_if(x_i) ≈ ∫ f(x)dx

b ...FORMULA DI QUADRATURA

con x_i detti nodi e w_i detti pesi.

Una integrazione possa approssimare f(x) con un polinomio interpolante con nodi x_i di grado h intra n(≤n) sia andrà

f(x)≈P_n(x) ...

∫ f(x)dx = ∫ P_n(x)dx

Si riduce formula di quadratura interoperando (esempio usando polinomi di Lagrange ho P_n=∑_i=0ⁿ L_i(x)f(x_i) e quindi

I=∑[L_i(x)f(x_i)] (x off)

ESEMPI:

REGOLA DEL PUNTO MEDIO:

f(x)≈f( (a+b)/2 )

∫ f(x)dx ≈ f( (a+b)/2 )(b-a) [=I₀(f)]

REGOLA DEL TRAPEZIO:

sostituire f con la retta passano per i suoi estermi

≈(b-a)/2 [f(a) + f(b)] = I₁(f)

REGOLA DI SIMPSON:

sostituire f con il polinomio passano per 3 estermi 5 in punto medio (trapezio)

∫ f(x) = (b-a)/6 [ f(a) + 4f( (a+b)/2 ) + f(b) ] = I₂(f)

Errore di quadratura

Definiamo errore di quadratura:

E_n = I - I_n

|E_n| ≤ ∫ |f-f_n| dx (b-a) ||f-f_n||_∞

Si può mostrare che:

E_Tr = -1/3 f''(ξ) _{a → b} (c₂)³

f ∈ C² = O((b-a)³)

E_A = -1/12 f''[s] _{a → b} (c₄)³

f ∈ C⁴ = O((b-a)⁵)

E_Z = -1/30 f^IV[s] (c₆)⁵

Grado di precisione

Grado di precisione n

Ogni formula di quadratura interpolatoria su n+1 nodi...

Problemi interpolazione

Aumentando il numero di nodi nella griglia...

CONSIDERAZIONI SULL'ERRORE DI INTERPOLAZIONE

NELLE FORMULE VISTE PRIMA È MEGLIO NON ANDARE OLTRE APPROSSIMAZIONI DI ORDINE MAGGIORE PERCHÈ LE FUNZIONI SPESSO SI INDURNO ESUBERANTI

SI CONSIDERA L'ERRORE DI INTERPOLAZIONE

f(x) - P_n(x) = r(x)

SUPPONENDO f ∈ Cⁿ⁺¹ LA SVILUPPO CON TAYLOR E DIMOSTRO CHE ESSO VA

r(x) = (x - x₀) (x - x₁) ... (x - x_n) f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ) / (n+1)!

ξ = ξ(x) ∈ (a, b) (VARIABILE DA X A X)

SI DIMA f(x) = (x - x₀)ⁿ⁺¹ ... |f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ)| (b-c), MAX f⁽ⁿ⁺¹⁾(ξ), g ∈ (a, b), / (n+1)! (b-c)

FISSATO H PIÙ PICCOLO È (b-c) PIÙ PICCOLO È L'ERRORE

AUMENTANDO H SI RISCHIA DI FAR OSCILLARE TROPPO LA FUNZIONE VEDI ESEMPIO DI PUNTO IN CUI LA FUNZIONE OSCILLA CON ESTREMI

QUINDI h BASSO E (b-c) BASSO

FORMULE COMPOSITE

IN UNA FORMA INIZIAMO NUMERANDO L'INTERVALLO CE(C, b) IN h SUBINTERVALLI

e = x₀, c = x_h

I(c) = f_{x0^c + ∫^a f}

→ x h n ADDITIVITÀ DOGLI INTEGRALI

IN OGNUNO DI QUESTI SUBINTERVALLI QUINDI POSSO APPLICARE METODI DI PRIMA

PRIMO NUMERO I = h/2 Σ f(x_i + x_i+1)

T:_h/2 f_i=0 + f(x₀) x_i/2 Σ

SI SPAZIA INTEGRANDO I CORNUTI, TERMINANDO ADDIZIONALI UNILEZIALI

QUINDI VENGONO CONTATI 2 VOLTE

Simpson

m dispari n: 2m pari ho:

x₀, x₁,