Appunti di analisi numerica

INTEGRAZIONE NUMERICA

Sia f(x) ∈ C₀(a,b) → R integrabile in [a,b] il problema dell’integrazione numerica consiste nel calcolo approssimato di

I(f) = ∫ f(x)dx

Mediante formule del tipo

I_n(f) = Σ w_if(x_i) ≈ ∫ f(x)dx

Buona formula di quadratura

Con nodi x_i detti nodi e w_i detti pesi.

Una possibilità è approssimare f(x) con un polinomio interpolante nei nodi x_i di grado n-1 in tal modo si avrà

f(x) = P_n-1(x) →

∫ f(x)dx = ∫ P_n-1(x)dx

Si forma formula di quadratura interpolando a sostituendo i polinomi di Lagrange ho P_n-1 = Σ l_i(x)f(x_i) e quindi

I_n = l_i(x_i)f(x_i)

Esempi:

Regola del Punto Medio

Sia f ∈ C₀[a,b] → R approssimo con il polinomio di grado 0 passando per il punto medio.

f(x) ≈ f ₂(a+b)

∫ f(x)dx ≈ f ₂(a+b)dx = (b-a)f ₂(a+b) = I₀(f)

Regola del Trapezio:

Sostituisco f con la retta passando per i suoi estremi ho:

∫ f(x)dx ≈ b-a ₂ [f(b)+f(a)] = I₁(f)

Regola di Simpson:

Sostituisco f con il parabolino passando per 3 ottimi e il punto medio (immagine simmetrica)

∫ f(x)dx ≈ b-a ₆ [f(a) + 4f ₂(a+b) + f(b)] = I₂(f)

Errori di quadratura

Definiamo errore di quadratura.

E_n = I - I_n

così detto approssimazione con un polinomio di grado n

f_|C⁰ allora |E_n| ≤ ∫|f-f_n|dx = (b-a)||f-f_n||_∞max_x∈c[a,b]

se per qualsiasi h si annulli f-f_n x∈E → E_n ≤ O(b-a)

Si è dimostrato che:

E₃ = \(\Large\frac {f^{iv}(\xi)}{3!}(b-\frac{a}{2})^{3}\) so f∈C² = O(b-a)³

E₃ = \(\Large-\frac{1}{12} f^{[5]} (\frac{b-a}{v_1})^{3}\) so f∈C² = O(x_n - c_a b)

E₂ = \(\Large-\frac{1}{30} f^{iv}[5]) (b-\frac{a}{2})^{5}\) so f∈C⁴ = O(b-c₄)⁵ (più accurato)

Grado di precisione

Si dice che una formula di quadratura ha grado di precisione d

se è esatta quando f è un polinomio di grado ≤d e so esiste

almeno un polinomio ai grado d+1 per cui E_n(f) risulta non nullo.

Ogni formula di quadratura interpolatrice su n+1 nodi ha almeno

grado di precisione n

Quindi punto medio e trapezi hanno precisione 1, da simson 3.

simson e punto medio restano ∞

dei prodotto

Problemi interpolazione

Aumentando il numero di nodi aumenta la grandezza che i polinomi

interpolatori approssimi meglio le funzioni o dati funzione al meglio

in alcuni casi +^?_?

un polinomio di grado elevato

non conviene quindi usare

modella division in sottointervalli in cui si usano

ognuno di essi polinomi di basso grado

Formule Adattive

Tali formule vengono utilizzate quando la funzione integranda è poco regolare e c'è bisogno di approfondire l'analisi in alcuni tratti.

Procedimento

• Si parte con una suddivisione iniziale uniforme dell'intervallo
• Si calcola l'integrale di ciascun intervallino e il risultato è accumulato su ciascun nodo
• Se l'integrale di un nodo non è verificato vengono ulteriormente suddivisi l'intervallo e rieseguito il calcolo
• Si continua così finché il test non è soddisfatto in ogni intervallo

Le formule non adattive risolvono il problema in sé: un punto della funzione è l'integrale è l'altro. Ma l'integrale può oscillare, i nodi vengono contati infiniti, comunque.

METODO DI EULERO ESPLICITO

Considero intervallo I=_{tn-1, tn} e riduco le O.D.E.

y'_{per altro} = y'_tn = f(t_tn, y(t)dt

Approssimo a questo punto approssimo numericamente l'integralet_{per altro} ≤ t_{per altro} è approssimato per una- tale approssimazione stabilitàvisibili di y(t_ti) ma è esatto per i valoriapprossimato che cerchiamo;

_yn+1 = y_n + f(t_n, y_n)h

CHIAMANDO f(t_n, y_n) = f_n HO:

• y_n+1 = y_n + h f_n
• y₀ = y(t₀)

=>

METODO DI EULERO ESPLICITO

METODO DI EULERO IMPLICITO

Anago al precedente solo che in questo caso l'integraleviene approssimato su temi i:

• y_n+1 = y_n + h f_n+1
• y₀ = y(t₀)

Il tal caso a meno che f non sia limitato in y_n+1, bisognarisolvere una equazione alle lembre

METODO DEI TRAPEZI

Si ottiene approssimando col metodo dei trapezi:

• y_n+1 = y_n + ¹/₂ (f_n + f_n+1)
• y₀ = y(t₀)

È un metodo implicito.

Zero Stabilità di Eulero Esplicito

y_n+1 = y_n + h f(t_n, y_n)

y^(h)(t_h,n+1) = y^(h)(t_h,n) + h f(t_h,n, y^(h)(t_h,n)) + τ_h,n

posso scrivere:

y^(h)(t_h,n+1) = y^(h)(t_h,n) + h f(t_h,n, y^(h)(t_h,n)) + τ_h,n

quindi sommando la prima dalla seconda: y^(h)(t_h,n+1) - y_n+1 = ...

ε_n+1 = ε_n + h(f - f_n) + τ_h,n

Quindi dalla disuguaglianza triangolare per lo normo:

||ε_n+1|| ≤ ||ε_n|| + h||f - f_n|| + ||τ_h,n||

Posto Π = ...

||ε_n+1|| ≤ ||ε_n|| + h L ||ε_n|| + Π

quindi:

||ε_n+1|| ≤ (1 + hL)||ε_n|| + Π

Formula risultiva

Che osscilittato diventa:

||ε_n|| ≤ Σ_k=0^n-1 (C + hL)^k Π

Maggiore di 1

Quindi:

(1+hL)^k ≤ (C+hL)ⁿ ≤ (C+hL)^N

Ctf_n-toL

cos'anno

||ε_n,h|| ≤ Π e = hh Π e ≤ Nh Π

Ma Π = O(h^r+1) quindi:

||ε_n|| = O(Π/h) = O(h^r+1/h) = O(h^r)

CVD, con ρ = 1 nel caso di Eulero

METODI MULTISTEP

Un metodo è detto a k passi se

y_n+1 dipende dai valori da y_n-k+1 a y_n+1

Consideriamo quindi un EDO:

y' = f(t,y)

In modo:

y(t_n) - y(t_a) = ∫ f(t,y) dtt_a

Quindi approssimo f(t,y) con un polinomio interpolante da

t_n-k+1 fino a t_n (o t_n+1) non osservato:

Perciò f(t,y) ≈ Σ_j=0^k L_j(t)f(t_j, y_a+j)

y(t_n) = y(t_a) +∫ f(t,y) dt ≈ Σ_j=0^k L_j(t)f(t_hj-1, y)

Quindi si ottiene in entrambi i casi:

y_n+1 = y_n + h Σ_j=0^k β_j f_h-j+1

E si tratta di metodi non autoinnescanti perché richiedono diconoscere i primi k valori di f, che devono esseretrovati in qualche modo diverso (ad esempio metodi di tipo Euler).