Analisi Numerica - Appunti

UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI TRIESTE

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Navale

APPUNTI DI ANALISI NUMERICA

Andrea BUSINARO

ANNO ACCADEMICO 20011/2012

RAPPRESENTAZIONE FLOATING POINT

z = fl(x)

• x: NUMERO REALE
• z: NUMERO MACCHINA
• fl: FUNZIONE CHE TRASFORMA X IN Z

Standard IEEE SEMPLICE PRECISIONE

• 32 POSIZIONI / 1 SEGNO / 8 ESPONENTE / 23 MANTISSA

Esponente di 0 _{2⁸ - 1} = 255, tolti gli estremi: uso da 1 a 254. Se p è l’esponente di x, allora come esponente allocato ho p + 127, così n effettive operazioni: p può variare tra +/- 127.

Le mantisse nei codici binari è sempre 1 ... quindi si memorizza solo la parte decimale dov o scostato ok inizia con 1.

TRONCAMENTO

Approssimazioni necessarie se le cifre della mantissa eccedono lo spazio disponibile.

X = ± 2 _p 1 _{b1b2btbt+1...}

z = fl(x) = ±2 _p 1 _b1b2...bt

Si toccano tutte le cifre decimali successive alle t-esima.

L’errore commesso è:

|X - fl(x)| = 2 _p 1 _btbt+1... – 2 _p 1 _bt = 2 _p 0 _{0...0 bt+1...} ≤ 2 _p-t

Centro numero con esponente 2 _p-t è necessariamente minore di 2 _p-t perché la mantisse ha zero come parte intera.

SCHEMA NATURALE

È un metodo iterativo per esprimere un polinomio del tipo

P_n(x) = a_n . xⁿ + a_n-1 . x^n-1 + a₂ . x² + a₃ . x³ + ... + 2n xⁿ

che posso scrivere nella forma identica

P_n (x) = a_n xⁿ + a_n-1 . x^n-1 + ... + a₂ x² + 2x + a₁

per ricavare l'iterazione:

P₀ = a₀

P_n = a_n . xⁿ ... + 2n xⁿ

P₁ = a₀ x + a₁ x

P_n = a_n xⁿ

P₂ = a₀ x² + a₂ x²

P₃ = a₀ x₁ + a₂ x³

P₄ = a₃ x³

P_n = a_n xⁿ

P_k+1 = P_k + 2k+1 . X^k+1

A1 per n-esimo sono necessarie per calcolare p_n-1 sono necessarie. (n-1) somme e n moltiplicazioni. Per l'ultimos pass, (da n-1 a n) è necessaria ancora una somma ed oltre n moltiplicazioni (per il calcolo di Xⁿ = X . X . X ... . X)

In tutto si hanno (n-1) + 1 = n SOMME e

n + n = 2n MOLTIPLICAZIONI

INTERPOLAZIONE DI LAGRANGE

f(x) definita su [a,b] ed un insieme di nodi a_n , il polinomio p(x) di lagrange soddisfa l'equazione con la funzione esatta nei nodi:

f(x_i) = p(x_i)     (i = 0,1,...,n)

Tale polinomio è   è UNICO .

p_n(x) = a₀ + a₁ x + a₂ x² + a₂ x³ + ... + a_n xⁿ

• a₀ + a₁ x₀ + a₂ x₀² + a₃ x₀³ + ... + a_n x₀ⁿ = f(x₀)
• a₀ + a₁ x₁ + a₂ x₁² + a₃ x₁³ + ... + a_n x₁ⁿ = f(x₁)
• a₀ + a₁ x_n + a₂ x_n² + a₃ x_n³ + ... + a_n x_nⁿ = f(x_n)

Il DETERMINANTE del sistema sopra (DI VANDERMONDE) é :

γ =

• 1 + x₀ + x₀² + x₀³ + ... + x₀ⁿ
• 1 + x₁ + x₁² + x₁³ + ... + x₁ⁿ
• ...
• 1 + x_n + x_n² + x_n³ + ... + x_nⁿ

Il determinante per ogni insieme di punti DISTINTI ESISTE ed é UNICO    

Il polinomio di lagrange è di unico

L_an = ⁿ∑ _{i = 0} l_i (x) f(x_i)

h(x) = ⁿΠ_{j = 0} ^{j ≠ i} x - x_j y_i x_i

FENOMENO DI RUNGE

Le precedenti stime dell’errore di Lagrange sono fatte sotto l’ipotesi di nodi equidistanti, ottenendo la maggiorazione di  

Il fenomeno di Runge indica come al crescere del numero dei nodi, la scelta di nodi equidistanti implichi un grosso errore tra la funzione ed il polinomio.

La scelta migliore per minimizzare  è utilizzare i nodi di Tchebychev come si vedrà più avanti.

SCELTA DEI NODI OTTIMALI PER TCHEBYCHEV

Si vuole scegliere nodi in modo tale da minimizare l’errore cioè minimizare [a,b]

1. Trovo pol. monico in funzione di x

2. Trovo pol. monico in funzione di t

3. Trovo i p.ti di annullamento del pol. monico in

Questi zeri del pol. monico riportati in x sono nodi ottimali.

Per pormare da a effettuo il cambiamento variabile

t

Quindi

doventa

Posso equivolentemente ceracre li minimo di

e il minimo di

si trovami nei p.ti k

ottenendo