Analisi Numerica - Appunti

Università degli studi di Trieste

Facoltà di ingegneria

Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Navale

Appunti di Analisi Numerica

Andrea Businaro

Anno Accademico 20011/2012

Rappresentazione floating point

z = fl(x)
x: Numero reale
z: Numero macchina
fl: Funzione che trasforma x in z

Standard IEEE semplice precisione
32 posizioni: 1 segno / 8 esponente / 23 mantissa
Rappresenta da 0 a 2⁸ - 1 = 255 tolti gli estremi.
Uso da 1 e 254. Se p è l’esponente di x, allora come esponente allocato ho p+127 così ne effettua operazioni. p può variare tra +/- 127.
La mantissa nei codici binari è sempre 1... quindi si memorizza solo la parte decimale dopo x scostato ok inizi con 1.

Troncamento

Approssimazioni necessarie se le cifre della mantissa eccedono lo spazio disponibile.
X = ± 2^P 1, b_n ... b_t b_t+1 ...
z = fl(x) = ± 2^P 1, b_n ... b_t
Si troncano tutte le cifre decimali successive alla t-esima.
L'errore commesso è: |x - fl(x)| = 2^P 1, b_n ... b_t b_t+1 ... - 2^P 1, b_n ... b_t = 2^P 0, 0, ... 0, b_t+1 ... = 2^P-t 0, b_t+1...
Questo numero con esponente 2^P-t è sicuramente minore di 2^P-t perché la mantissa ha ZERO come parte intera.

Arrotondamento

x = 2^p 1,b_n...b_tb_t+1...
arr(x) = 2^p (1,b₁...b_t + 0..1) Se b_t+1 = 1
arr(x) = tr(x) Se b_t+1 = 0
L'errore può essere al massimo pari alla semidistanza tra i numeri Z e il suo accenino.

Propagazione dell'errore

Una serie di calcoli richiede la determinazione preventiva di uno stesso valore (es. √2) che poi verrà utilizzato in diverse operazioni. Se nelle diverse operazioni sostituiamo al valore √2 la variabile X e deriviamo rispetto ad X, otteniamo che la operazione più stabile è quella che dà una derivata minore.

Definizione: Un problema è stabile o ben posto se la perturbazione sul risultato è dello stesso ordine di grandezza della perturbazione sui dati.

Indici di condizionamento

Anche detta Analisi Differenziale dell'Errore
Z = F(x₁, x₂, ..., x_n)
Z = f(x₁, x₂, ..., x_n)
x₁ = x₁ (1 + ε₁)
x₂ = x₂ (1 + ε₂)...
Si vuole ottenere una stima dell'errore relativo |Z - Z| |Z|, ricordando che la propagazione dipende dalle derivate, sviluppo in serie di Taylor:
Z = F(x₁, x₂, ..., x_n) = F(x₁, x₂, ..., x_n) + x₁ ε₁ df/dx₁ + x₂ ε₂ df/dx₂ + ... + x_n ε_n df/dx_n - Z + x_n ε_n df/dx_n = (porto a sx Z)
Z - Z = x_n ε_n df/dx_n (divido tutti i membri per Z)
Z/Z - Z/Z = x₁/Z df/dx₁ ε₁ + ... + x_n/Z df/dx_n ε_n (x_i/Z df/dx_i = K_i)
Z/Z - Z/Z = K₁ ε₁ + ... + K_n ε_n
I vari K_i rappresentano: fattori di amplificazione dell'errore relativo;
se tutti i K_i ≈ 1 allora errore un errore perturbando tanto quanto i dati ed un problema stabile.
Se qualche K_i » 1 il problema è mal posto o instabile. Moltiplicazione, divisione, somma sono stabili.