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Proprietà dell'esponenziale
1. 0a = 0
2. a0 = 1
3. ac+d = ac * ad
4. (ab)c = ab*c
5. (a*b)c = ac * bc
6. (ab)c = ab*c
7. a-b = 1/ab
8. ab/c = (a1/c)b
9. (ab)c = ab*c
⇒0 < a < 1 c < d a > a• se c c≤ ≤ ⇒ ≤ ∀c ∈0 a b a b N 307.2 I logaritmiSia allora è possibile definire l’operatore logaritmo comex ∀a ∈a = y R (7.1)x = log yaSe allora (1) è risolvibile solamente se e in tal caso è soluzione Se∀x ∈a = 1 y = 1 x R.(1) è risolvibile solo se mentre se (1) non è risolvibile.∧ ̸a > 0 a = 1 y > 1, y < 07.2.1 Le proprietà del logaritmoNei casi in esame si assume che ∧ ̸ ∧a > 0 a = 1 x, y > 0.• ·log (x y) = log x + log ya aChiamiamo e Di conseguenza·α = log (x y), β = log x γ = log y.Dimostrazione. a a ae poiché alloraα log (x·y) log z log (x·y) ·a = a a = z a = (x y).a a aInoltre, e, quindi,β+γ β γ log x log y β+γ· · ·a = a a = a a a = x y.a a• x −log = log x log ya a ay
Chiamiamo α = log β = log x γ = log y. Dimostrazione. Dato che α = log x, allora β = log xγ = log y. Inoltre, α = log xβ = log yγ. Quindi, α = log yβ-γ = log yβ-γ = log y. • α · log x = α log x • ax = log xc (cambio di base: b log ba = a log b) Chiamiamo il e di conseguenza α = log xb = x. Dimostrazione. Scrivere e per la regola dell'esponente, consegue che α · log b = log x α log b = log x. Dividendo entrambi i membri per α si ottiene che log b = log x/ α. Poiché per ipotesi, log bα = log x, abbiamo dimostrato la regola del cambio di base. α = log x1 - log x = log x1 = log x. Parte III Le funzioni 1. Definizioni funzione Dati due insiemi, X e Y, si definisce una relazione/legge matematica che associa ad ogni elemento di X, uno e un solo elemento di Y. In simboli: f: X → Y- 7→f : X → Y
Dove X prende il nome di dominio, Y prende il nome di codominio,
f prende il nome di funzione e x prende il nome di variabile indipendente mentre f(x) prende il nome di variabile dipendente.
Si definisce Im(f) tutti gli elementi di Y che sono associati ad x da f.
In simboli: Im(f) = {y ∈ Y | y = f(x) ∀ x ∈ X}
Im(f) = f(X) - Esistono due tipi di funzioni:
- −→f : Successioni: N → R
- −→f : Funzioni reali di variabile reale: R → R
- −→f : Trasformazioni lineari: R → R
- −→f : Trasformazioni: R → R
- 1.1 Proprietà
Data essa si definisce:- Iniettiva: se ad elementi distinti del dominio corrispondono elementi distinti del codominio. In simboli: f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ∀ x1, x2 ∈ X
- Suriettiva: se tutti i punti del codominio sono immagine di almeno un punto del dominio. In simboli: f(x1) = f(x2) → x1 = x2 ∀ x1, x2 ∈ X
Il codominio sono associati a punti del dominio. InSuriettivasimboli Y = f (X)• se è sia iniettiva che suriettivaBiettiva 321.2 Il grafico di una funzioneSia e sia il grafico della funzione, , è l’insieme dei punti taliche⊆ −→I f : I fR R,∈x I, y = f (x)• sia essa è se implica che⊆ −→ ≤ ∀ ∈f : X x < x y y x , x XcrescenteR R 1 2 1 2 1 2• sia essa è se implica che⊆ −→f : X x < xstrettamente crescenteR R 1 2∀ ∈y < y x , x X1 2 1 2sia essa è se implica che• ⊆ −→ ≥ ∀ ∈f : X x < x y y x , x XdecrescenteR R 1 2 1 2 1 2sia essa è se implica che• ⊆ −→f : X x < xstrettamente decrescenteR R 1 2∀ ∈y > y x , x X1 2 1 2Per come sono descritte le funzioni strettamente monotone (quindi strettamente crescenteo decrescente) sono necessariamente iniettive. nf (x) f (x) = xTeorema 1.1.
Se è una funzione di potenze, del tipo , allora poichén n−1 n−2 n−2 n−1∀a, − −b > 0 a b = (a b)(a + a b + ... + ab + b ),vale la relazione si puòdimostrare che:• →f : [0; +∞)se n è pari allora è strettamente crescenteR• →f :se n è dispari allora è strettamente crescenteR R1.3 Funzioni limitateSe il grafico di una funzione è contenuto nel semipiano inferiore delimitato−→f : D Rda una retta della forma allora tale funzione si dicey = m limitata superiormente≤ ∀x ∈f (x) m DSe il grafico di una funzione è contenuto nel semipiano superiore delimitato−→f : D Rda una retta della forma allora tale funzione si dicey = n limitata inferiormente≥ ∀x ∈f (x) m DUna funzione è quando è limitata inferiormente e superiormentelimitata 331.4 Funzioni simmetricheData una funzione simmetrica essapuò essere:
- se f(x) è simmetrica rispetto all'asse delle y, allora f(-x) = f(x) per ogni x in dom(f) pari
- se f(x) è simmetrica rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante, allora f(-x) = -f(x) per ogni x in dom(f) dispari
- se f(x) = x, allora dom(f) è il massimo sottoinsieme di R in cui f è definita
In entrambi i casi, dom(f) deve essere simmetrico rispetto all'origine e, quindi, se x è in dom(f) allora -x è in dom(f).
1. Funzioni periodiche
Una funzione periodica di periodo T è una funzione f(x) tale che:
f(x), T > 0, per ogni x in dom(f), f(x + T) = f(x)
Dove T è il più piccolo numero positivo per cui la relazione risulti essere vera. Di conseguenza, se T è un periodo di f, allora T + nT è un periodo di f per ogni n in N.
2. Tipologie di funzioni
- Se α > 0, allora f(x) = kx^α, per ogni x diverso da 0
- Se α < 0, allora f(x) = k/x^(-α), per ogni x diverso da 0
è definita come e di solito → {p ∈ ≤f : f (x) = max x}
Parte intera di x R R Z|p viene indicata con [x]
è definita come e di solito viene → −g : g(x) = x [x]
Parte frazionaria di x R R indicata con {x}
sono tutte le funzioni periodiche quali e tutte le sin x, cos x, tan x
Trigonometriche funzioni derivate da esse
è se definita come → ∈f : (0, +∞) a f (x) = log x
Logaritmiche: R N a
è se definita come x → ∈f : a f (x) = a
Esponenziale: R R N 342.1 Funzioni invertibili
Supposto che abbia come dominio l’insieme se e se ⊆ ∀x ∈ ∀y ∈f D D ∃!f (x)R, allora si dice
Più in generale, si dice che è ∈ →f (D) ∃!x D f f : D invertibili. Rinvertibile in D se vale una delle seguenti condizioni:
∀x ∈ ̸ ⇒ ̸, x D, x = x f (x ) = f (x )1 2 1 2 1 2
∀x ∈ ⇒, x D, f (x ) = f (x ) x = x1 2 1 2 1 2
La funzione che rispetta tali condizioni si chiama e si indica con f-1 (funzione inversa):Teorema 2.1. Una funzione strettamente monotona in D è invertibile in D.
Inoltre, la sua inversa è ancora strettamente monotona.
2.2 Funzioni composte
Date due funzioni: e , se (cioè) si può definire la funzione composta:
e da e denotata da .
2.2.1 Proprietà
•
•
35
Parte IV
Limiti e continuità
1 Successioni
1.1 Definizione di successione e definizione di limite
Si definisce successione, una funzione che associato ad ogni elemento di un numero reale:
Tale corrispondenza prende il nome di successione e può essere anche vista come:
Definizione 1.1. Diciamo che una successionepossiede definitivamente una certan n∈ ≥N (a ) n Nproprietà se esiste un tali che soddisfa tale prorpietà per ogni intero .N n n1.1.1 Successioni convergenti ∈(a ) lDefinizione 1.2. Una successione si dice convergente se esiste un numero reale l tale che per ogni ε > 0 esiste un intero N tale che per ogni n ≥ N si ha |an - l| < ε.
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