Appunti di Analisi 1

Appunti di Istituzioni di Matematica

Giacomo Lovato

27 September 2021

Indice

I Fondamenti 7

1 Disequazioni 7

1.1 Disequazioni irrazionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2 Disequazioni logaritmiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Disequazioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Disequazioni con valore assoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Disequazioni elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.2 Disequazioni non elementari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4.3 Disequazioni con più valori assoluti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Trigonometria 10

2.1 Definizioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2.1 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

sin x

2.2.2 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

cos x

2.2.3 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

tan x

2.2.4 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

cot x

II Numeri 12

1 Insiemi 12

1.1 Osservazioni sul concetto di insieme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Operatori e scrittura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3 Relazioni tra insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3.1 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

⊆

1.4 Le operazioni degli insiemi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.1 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

∪

1.4.2 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

∩

1.4.3 Proprietà distributive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.4 Leggi di De Morgan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Logica elementare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2

2 Gli insiemi numerici 15

2.1 Naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.1.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2 I Relativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3 I Razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.4 I reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.5 I Complessi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3 Valore Assoluto 24

3.1 Diseguaglianza triangolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.2 Le proprietà del modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 La sommatoria 25

4.1 Le proprietà della sommatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

4.2 Fattoriale di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

n

4.2.1 Proprietà di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

n!

4.3 Binomio di Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

4.3.1 Identità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Principio d’induzione 27

5.1 Dimostrazione per induzione del binomio di Newton . . . . . . . . . . . . 27

6 Estremi e assioma di continuità 29

7 Potenze e radici; esponenti e logaritmi 30

7.1 L’esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.1.1 Proprietà dell’esponenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

7.2 I logaritmi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

7.2.1 Le proprietà del logaritmo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III Le funzioni 31

1 Definizioni 32

1.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

1.2 Il grafico di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

1.3 Funzioni limitate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.4 Funzioni simmetriche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.5 Funzioni periodiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2 Tipologie di funzioni 34

2.1 Funzioni invertibili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2 Funzioni composte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.2.1 Proprietà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

IV Limiti e continuità 36

1 Successioni 36

1.1 Definizione di successione e definizione di limite . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.1 Successioni convergenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.1.2 Successioni divergenti e successioni irregolari . . . . . . . . . . . . 37

1.1.3 Infinitesimi e infiniti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

1.2 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.3 Il calcolo dei limiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.3.1 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

1.4 Il numero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

e

1.5 Confronti e stime asintotiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2 Limiti di funzioni, continuità e asintoti 44

3 Il calcolo dei limiti 45

3.1 Proprietà fondamentali dei limiti e continuità . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2 Limiti notevoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1 Limiti notevoli di e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

sin cos

3.2.2 Limiti notevoli dervivanti da . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

e

3.2.3 Limiti notevoli dal confronto degli infiniti . . . . . . . . . . . . . . 50

4 Proprietà globali delle funzioni continue o monotone su un intervallo 51

4.1 Funzioni continue si un intervallo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

V Calcolo differenziale per le funzioni di una variabile 53

4

1 Derivata di una funzione 53

1.1 Derivata e retta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

1.2 Punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale . . . . . . . . . . . . . 54

1.2.1 Continuità e derivabilità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Regole di calcolo delle derivate 54

3 Il teorema del valore medio e le sue conseguenze 57

3.1 Punti stazionati. Massimi e minimi locali . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.2 Teorema del valor medio. Test di monotonia . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4 Derivata seconda 59

4.1 Derivata seconda, convessità e concavità . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

5 Calcolo differenziale e approssimazioni 60

5.1 Limite notevoli e sviluppi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.2 Formula di Taylor-MacLaurin con resto secondo Peano . . . . . . . . . . . 60

VI Serie 62

1 Le serie numeriche 62

1.1 Definizione ed esempi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

1.1.1 Serie geometrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1.2 Serie armonica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1.3 Serie armonica generalizzata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.1.4 Serie di Mengoli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.2 Serie a termini non negativi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

1.3 Serie a termini di segno variabile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

1.3.1 Serie a termini di segno alterno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

VII Calcolo integrale per funzioni di una variabile 68

1 L’integrale come limite di somme 68

1.1 Classi di funzioni integrabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

2 Proprietà dell’integrale 69

5

3 Il teorema fondamentale del calcolo integrale 70

4 Integrali generalizzati 71

4.1 Criteri di integrabilità al finito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VIII Equazioni differenziali 74

1 Definizioni e primi risultati 74

6

Parte I

Fondamenti

1 Disequazioni

1.1 Disequazioni irrazionali

Una disequazione si dice irrazionale se l’incognita compare come argomento di una

radice. Si avranno, quindi, quattro possibili casi, dove e sono due funzioni con

f (x) g(x)

incognita x:

1. In questo caso bisogna risolvere due sistemi di disequazione e poi, per

p

n f (x) > g(x)

trovare la soluzione, fare l’unione tra le soluzioni dei singoli sistemi.

 

≥ ≥

f (x) 0 f (x) 0

 

 

 

 

≥ ≤

g(x) 0 g(x) 0

 

 

n ∀x ∈

 

f (x) > [g(x)] R

 

In questo caso ci si comporta in maniera identica al precedente, con

2. p

n ≥

f (x) g(x)

l’aggiunta di considerare gli zeri dell’eqazione che prima venivano scartati.

 

≥ ≥

f (x) 0 f (x) 0

 

 

 

 

≥ ≤

g(x) 0 g(x) 0

 

 

n

≥ ∀x ∈

 

f (x) [g(x)] R

 

3. In questo caso basta risolvere un unico sistema di disequazioni, in

p

n f (x) < g(x)

quanto la condizione quando non è mai verificata, poiché un

f (x) < g(x) g(x) < 0

numero positivo, al massimo nullo, non sarà mai minore di un numero negativo.

 ≥

f (x) 0







 ≥

g(x) 0



 n



f (x) < [g(x)]

 7

4. In questo caso ci si comporta in maniera identica al precedente, con

p

n ≤

f (x) g(x)

l’aggiunta di considerare gli zeri dell’eqazione che prima venivano scartati.

 ≥

f (x) 0







 ≥

g(x) 0



 n

≤



f (x) [g(x)]



1.2 Disequazioni logaritmiche

Una disequazione si definisce logaritmica quando l’incognita compare come argomento

di un logaritmo. 

f (x) > 0



1. le condizioni sono quindi

<

log f (x) 0

b > e quindi

< <

log f (x) 0 f (x) 1

 a > >



f (x) > 0



le condizioni sono quindi

2. < ∧ ∈

c c

log f (x) R

b > e quindi

< < c

log f (x) c f (x) a

 a > >

3. <

f (x)

log log g(x)

b a

>

In tutti e tre i casi, nel caso in cui è necessario, quando si passa dal logaritmo al

0 < b < 1

suo argomento, il cambio di verso.

1.3 Disequazioni esponenziali

Una disequazione si definisce esponenziale quando l’incognita compare come all’espo-

nente dell’argomento.

• . In questo caso si procede al confronto degli esponenti e, quindi,

<

f (x) g(x)

a a

>

< g(x)

f (x) >

• In questo caso si passa al per entrambe le "sezioni" della disequazione

<

f (x)

a b. log a

>

e, quindi, la condizione diviene x

log a = log b

a a

• . In questo caso si ricorre all’utilizzo del per entrabe le "sezioni"

< g(x)

f (x) ∨

a b log ln,

10

>

della disuguaglianza.

1.4 Disequazioni con valore assoluto

Le disequazioni in cui l’incognita compare all’interno di un modulo prendono il nome

di disequazioni con valore assoluto. 8

1.4.1 Disequazioni elementari

Sono nella forma con

<

|f ∈

(x)| k k R

>

• si divide in 2 casi distinti:

|f ≤

(x)| k

se allora la disequazione non ammette soluzioni

k < 0

se allora e la soluzione finale sarà l’intersezione tra le singole

−k ≤ ≤

k > 0 f (x) k

soluzioni delle due disequazioni

• si divide in 2 casi distinti:

|f ≥

(x)| k

se allora la disequazione è sempre vera

k < 0

se allora e la soluzione sarà l’unione tra le singole

−k ∨

k > 0 f (x) < f (x) > k

soluzione delle disequazioni

1.4.2 Disequazioni non elementari

Sono nella forma e i passaggi sono i seguenti:

<

|f (x)| g(x)

>

• si studia il segno di f (x)

• si creano n sistemi, in cui la prima disequazione è il segno del modulo, mentre la

seconda disequazione è la disequazione di partenza senza il modulo, riportando f (x)

con l’adeguato segno. Ricorda che se allora |f −f

f (x) < 0 (x)| = (x)

• la soluzione della disequazione è data dall’unione tra le soluzioni dei singoli sistemi

1.4.3 Disequazioni con più valori assoluti

Sono nella forma e i passaggi sono i seguenti:

<

|f |g(x)|

(x)| >

• si studiano i segni dei singoli moduli e si determinano gli intervalli

• si creano n sistemi, in cui la prima disequazione è uno degli intervalli trovati nel

punto precedente, mentre la seconda disequazione è la disequazione di partenza senza

i modili, riportando le diverse funzioni con gli adeguati segni

• la soluzione della disequazione è data dall’unione tra le soluzioni dei singoli sistemi

9

2 Trigonometria

2.1 Definizioni

• Si definisce la proiezione del punto P (che crea angolo di radianti) sull’asse

sin α α

delle y.

Si definisce la proiezione del punto P (che crea angolo di radianti) sull’asse

• cos α α

delle x sin α

• Si definisce il rapporto tra e secondo la formula

tan α sin α cos α tan α = cos α

cos α

• Si definisce il reciproco di e, quindi,

cot α tan α cot α = sin α

2.2 Proprietà

L’identità fondamentale è formulata come: 2 2

sin x + cos x = 1

sin x

2.2.1 Proprietà di

• e di conseguenza risulta essere periodica

∈ ∧ ∀k ∈

sin x = sin x + 2kπ∀x sin x

R Z

• e di conseguenza è una funzione dispari

− ∈

sin x = sin (−x)∀x sin x

R

• ammette massimo in ed ammette minimo in

1 12

−

sin x x = π + 2kπ x = π + 2kπ

2

• ± ±

sin α β = sin α cos β cos α sin β

• sin 2α = 2 sin α cos α

cos x

2.2.2 Proprietà di

• e di conseguenza risulta essere periodica

∈ ∧ ∀k ∈

cos x = cos x + 2kπ∀x cos x

R Z

• e di conseguenza è una funzione pari

∈

cos x = cos (−x)∀x cos x

R

• ammette massimo in ed ammette minimo in

cos x x = 0 + 2kπ x = π + 2kπ

• ± ∓

cos α β = cos α cos β sin α sin β

• 2

2 −

cos 2α = cos α sin α 10

tan x

2.2.3 Proprietà di

• e di conseguenza risulta essere periodica

∈ ∧ ∀k ∈

tan x = tan x + 2kπ∀x tan x

R Z

• e di conseguenza è una funzione dispari

− ∈

tan x = tan (−x)∀x tan x

R

Dimostrazione. −x −

sin sin x

−x −

tan = = = tan x

−x

cos cos x

tan α + tan β

• tan α + β = −

1 tan α tan β

−

tan α tan β

• −

tan α β = 1 + tan α tan β

2 tan α

• tan 2α = 2

−

1 tan α

cot x

2.2.4 Proprietà di

• e di conseguenza risulta essere periodica

∈ ∧ ∀k ∈

cot x = cot x + kπ∀x cot x

R Z

• e di conseguenza è una funzione dispari

− ∈

cot x = cot (−x)∀x cot x

R 11

Parte II

Numeri

1 Insiemi

Si definisce una collezione di oggetti, che prendono il nome di In

1.1

insieme elementi.

matematica, gli insiemi vengono indicati con le lettere maiuscole dell’alfabeto, mentre gli

elementi dell’insieme vengono raccolti tra parentesi graffe . In matematica, la nozione di

1.2

insieme viene assunta come primitiva .

1.3

Ex. A = {a,b,c}

Si definisce l’insieme di tutti e soli gli elementi, e di tutti e soli gli

spazio ambiente

insiemi, che si considerano in un determinato problema.

Dato lo spazio ambiente X, si definisce l’insieme della parti di X i.e. la famiglia

P (X)

di tutti i possibili sottoinsiemi di X.

Ex. Dato X={1,2,3} si definisce come ∅, {1}, {2}, {3}, {1, {1, {2, {1,

P (X) 2}, 3}, 3}, 2, 3}

Si definisce l’insieme che non contiene alcun elemento, e per qualsiasi

insieme vuoto

insieme A vale sempre la relazione ∅ ⊆ A.

1.1 Osservazioni sul concetto di insieme

Nel concetto d’insieme non esiste né il concetto di in quanto l’ordine con cui

ordine,

elenchiamo gli elementi è irrilevanre in quanto l’importanza è data alla sola presenza, o il

concetto di in quanto non conta il numero di volte che lo stesso elemento viene

moleplicità,

ripetuto.

1.1 Sinonimi sono: collezione, classe, aggregato e famiglia

1.2 tabulazione

In questo caso si dice che l’insieme sia definito per

1.3 Concetto che, per la propria semplicità ed intuitività, si rinuncia a definire mediante termini e concetti

già definiti all&rs