Appunti di Analisi 1

Capitolo I - Il Campo Ordinato dei Numeri Reali

1. Simboli

• < > ≤ ≥ -> Relazioni d'ordine
• ∈ ∉ -> Appartenenza
• ∃ ∀ -> Esiste (tal) / Necessita
• ∀ -> Per ogni
• ∋ -> Tale che
• ⊂ -> Contenuto in senso stretto
• ⊆ -> Contenuto in senso ampio
• ⇒ -> Implica
• ⇔ -> Se e solo se (sono equivalenti 2T quindi) Condizioni necessarie e sufficienti

2. Insiemi e operazioni

Un insieme è una collezione di elementi. Ex A = {e₁, e₂, e₃, e₄}

• A ∪ B -> Unione -> Insieme costituito dagli elementi di A ed B
• ∅ -> Insieme vuoto -> Elemento neutro dell'unione
• A ⊆ B -> Gli elementi di A stanno anche in B (B è pieno)
• A ⊄ B -> Non pure A è distetto nello stesso B
• A ∩ B -> Intersezione -> Elementi in comune

Se A ∩ ∅ = ∅ -> Se A ∩ B, con A ⊆ B -> A

• A \ B = A meno B (In senso lato se B ⊂ A)

{ } -> Insieme contenente da un solo elemento -> SINGOLETON

Prodotto cartesiano: A × B -> C. De un insieme con Costituito da coppie ordinare elementi cambinando elementi di A con quelli di B

Ex A = {e₁, e₂, e₃}

B = {b₁, b₂, b₃, b₄}

A × B = {(e₁, b₁), (e₂, (e₃, b₂), (e₁, b₄)}

INSIEMI NUMERICI

N (senza ciò che sta dietro): 1, 2, 3, 4, 5... - Numeri interi positivi (solo punti) -> 1, 2, 3, 4

N₀ (S.C. + lo zero): 0, 1, 2, 3...

Z (interi relativi) +-1 +-2 +-3... + di punti

Z>0

Z0

Q (razionali) (P/Q)

Z⊂Q

Z>0

Z0>⊂Q

NCZ⊂Q

Il CAMPO dei NUMERI REALI " R "

Insiemi costituiti da allineamenti decimali " puntini " o non " puntini ", periodici o lineari (periodici positivi o negativi, incluso lo zero)

Q⊂R

Se R-Q > Allineamenti senza punti > I (numeri irrazionali)

OPERAZIONI CON I NUMERI REALI

• Somma: y + x ∈ R
• x ∈ R -> y (opposto) x; x + (-x) = 0
• Differenza: x + (-y) è somma tra x e opposto y

Proprietà: Commutativa e Associativa

• Prodotto e rapporto: x * y ∈ R
• x ∈ R\{0}; 1/x -> Reciproco di x; x * 1/x = 1
• x ∈ R
• y e∈ R\{0}
• x/y = x * 1/y

^{Il campo ≥ due analitiche}

R² geometrico

Ripasso del sistema aperto:

Se X un insieme numerico. Un elemento x ∈ ℝ e l'intorno sferico X ⟺ sono verificati:

∀x ∈ X

∃ ε > 0

∀x ∈ Lx, x ∈ X x ∈ z 2 ≤ ⁽²⁻ᵠ⁾

Insieme ampliato dei numeri reali

Notazione:

insieme ampliato dei numeri reali

Un insieme X si dice avere minimo superiore se sup X = +∞

Un insieme X si dice avere minimo piu' grande se inf X = -∞

8) Intervalli in ℝ (vale anche per ℝⁿ)

Siano a, b ∈ ℝ, con a < b. Gl’insiemi:

[a,b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}

]a,b] = {x ∈ ℝ: a < x ≤ b}

[a,b[ = {x ∈ ℝ: a ≤ x < b}

]a,b[ = {x ∈ ℝ: a < x < b}

Gli intervalli sono eventualmente non vanno limitati.

Se c > 0, Gl'insiemi:

[c,+∞[ = {x ∈ ℝ: x ≥ c} ➔ intervallo chiuso non limitato superiormente

]c,+∞[ = {x ∈ ℝ: x > c} ➔ intervallo aperto non limitato superiormente

] -∞,c] = {x ∈ ℝ: x ≤ c} ➔ intervallo chiuso non limitato inferiormente

] -∞,c[ = {x ∈ ℝ: x < c} ➔ intervallo aperto non limitato inferiormente

chiuso e limitato ➔ COMPATTO

(2) FUNZIONE RADICE

f(x) = ⁿ√x con ⁿ√x ∈ R

CASO n PARI

X = [0, +∞[

f(X) = [0, +∞[

CASO n DISPARI

STRETTAMENTE CRESCENTE

X = R

f(X) = R

EX: DISEQUAZIONI

• (√x > 3) => x > 3²
• (√x < 3) => x < 3²
• (√x > 5₂₀) => ∅
• (√x - ³⁄₂ > 0) => SEMPRE, ∀ x ∈ X => ∀ x ∈ ]0, +∞[
• (√x + 3 ≥ 0) => x ≥ -3²

(3) FUNZIONE VALORE ASSOLUTO

f(x) = |x| = { x, con x ≥ 0; -x, con x < 0 }

X = R

f(X) = [0, +∞[

|x| < d => -d < x < d

EX: DOMINI

f(x) = 1/|x| - 3

• Se la funzione è pari, allora x ≥ 0 => |x| - 3 > 0 => x > 3, quindi X = ]3, +∞[

f(x) = arcsen(x - 4)

-1 ≤ x - 4 ≤ 1

3 ≤ x ≤ 5

f(x) = arcsen(x - 1)

-1 ≤ x - 1 ≤ 1

0 ≤ x ≤ 2

X = [0, 2]

9) FUNZIONI TRIGONOMETRICHE e LORO INVERSE LOCALI

(î, ^)

OA = OP = 1

PH = sen di x

OH = cosen di x

sen² x + cos² x = 1

AT = tg x

OT Â = OH Â simile

AT : PH = OA : OH

AT = tg x = PH · OAOH

sec x · 1 = cos x

sec xcos x

GRADI vs RADIANTI

π = 180°

Xgrad : π = Xrad : 180°

• A quali c ondiscegli ARCHI ASSOCIATI a π
• 2quad = π +- x
• 3quad = π + x
• 4quad = 2π - x

f(x) = sen u x -> PERIODO 2π

X = |R

|X| = [-1, 1]

X = [^-π/₂, π/₂]

|f(x)| = [-1, 1]

X = [0, 1]

arc sen x = π

X ⊂ [-1, 1]

|f(x)| = [-1, 1]

X ∈ [-1, 1]

(f) X ⊂ [-1, 1]

|f(x)| = [-π/₂, π/₂]

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Teorema di Confronto (Generale)

Siano f, g: X ⊆ R → R, x₀ d'accumulazione per X.

Supponiamo f(x) ≤ g(x) su x con limiti laterali x ∈ R. Allora:

• Se lim_x→x0 g(x) = l ∈ R, x ≠ x₀. x ∈ X\{x₀} f(x) = g(x).
• Se x₀ è x alla sinistra, x ≠ x₀. x ∈ X\{x₀} f(x) ≤ g(x).

Teorema di Regolarità per Confronto

Teorema dei Carabinieri

Siano f, g, h: X ⊆ R → R, x₀ ∈ R d'accumulazione per X.

Se lim_x→x0 f(x) = lim_x→x0 g(x) = l ∈ R e su X\{x₀}. ∀x ∈ X\{x₀}, f(x) ≤ g(x) ≤ h(x).

Allora lim_x→x0 f(x) = l.

Dimostrazione

Supponiamo per semplicità l ∈ R (quindi l ≠ ±∞)

Essendo per ipotesi: lim_x→x0 f(x) = l allora per definizione di limite.

• ∀ε > 0 I₁. x ≠ x₀ ∀x ∈ I₁ ∧ X\{x₀} l - ε ≤ f(x) < l + ε;

Ugualmente visto che lim_x→x0 g(x) = l = ε > 0 I₃. x ≠ x₀ ∀x ∈ I₁ ∧ X\{x₀} l - ε ≤ f(x) < l + ε.

Posso allora I = I₁ ∩ I₂ ∩ I₃, esiste da:

• x ≠ x₀ ∧ X\{x₀} l - ε ≤ f(x) ≤ g(x) < l + ε

ovvero da l - ε ≤ f(x) < l + ε, l - ε l < l < ε.

Generalizzazione

Siano f, g: X ⊆ R → R, x₀ ∈ R d'accumulazione per X.

Supponiamo f(x) ≤ g(x). x ≠ x₀. ∀x ∈ I. ∧ X\{x₀} f(x) ≤ g(x).

Allora:

• Se lim_x→x0 g(x) = +∞ allora lim_x→x0 f(x) = +∞.
• Se lim_x→x0 g(x) = -∞ allora lim_x→x0 f(x) = -∞.