Appunti di Analisi 1

Capitolo I - Il Campo Ordinato dei Numeri Reali

1. Simboli

   • ↔ ↔ → Relazioni d'ordine
   • ∈ ∉ → Appartenenza
   • ∃ ∃! → Esiste (d'1) / Inesiste
   • ∀ → Per ogni
   • ⇒ → Tale che
   • ⊂ → Contenuto (senza storico)
   • ⊆ → Contenuto (senza ampio)
   • ⇒ → Implicazione
   • ⇔ → Se e solo se (sono equivalenti 2 testi quindi) → Condizioni massare e sufficienti

2. Insiemi e Operazioni

   Un insieme è una collezione di elementi

   • A ∪ B → Unione → Insieme costituito degli elementi di A e di B
   • ∅ → Insieme vuoto → Elemento neutro dell'unione
   • A ⊆ B → Gli elementi di A stanno anche in B (es. 3 punti)
   • A ⊂ B → Senza punto A sta tutti anche in B.
   • A ∩ B → Intersezione → Elementi in comune
   • Se A ∧ ∅ = ∅ → Se A ∩ B = C ed A ⊂ B = A
   • A ⋅ B → A tema B (in senso sto B ⊂ CA)
   • A - B → A meno B
   • { } → Insieme contenente da solo l'elemento → Singleton

   Prodotto cartesiano A × B → C.e di unione costituito de coppia ordinato, elemento cambiando il filo A par quelli di B

   ex: A = {a, b, c, e, g, f}

   B = {h, l, p, s, a, t}

   A × B = {(a, b), (c, b), (a, b), (e, b), (f, b), ...}

CAPITOLO I - IL CAMPO ORDINATO DEI NUMERI REALI

1. SIMBOLI
   • < > ≤ ≥ -> RELAZIONI D'ORDINE
   • ∈ ∉ -> APPARTENENZA
   • ∃! ∀ -> ESISTE (∃ di 1) / NECESSITA
   • ∀ -> PER OGNI
   • | -> TALE CHE
   • < -> CONTRATTO NEL SENSO STRETTO
   • ≤ -> CONTRATTO NEL SENSO AMPIO
   • => -> IMPLCAZIONE
   • <=> -> SE E SOLO SE (SONO EQUIVALENTI 2T SUFFICIENTE)
2. INSIEMI E OPERAZIONI

   Un INSIEME è una collezione di elementi. Ex A={a₁, a₂, a₃, a₄}

   • A ∪ B -> UNIONE -> Insieme costituito degli elementi di A e di B
   • ∅ -> INSIEME VUOTO -> Elemento neutro dell’unione
   • A ⊂ B -> Gli elementi di A stanno anche in B (B+A piuori)
   • A ⊆ B -> Set per A è tutto anche essere B
   • A ∩ B -> INTERSEZIONE -> Elementi in comune

   Se A ∧ ∀ = ∅ Se A ∩ B, cioè A ⊂ B = A

   • A ∙ BA → B (In senso lato se B ⊂ A)
   • A - B A meno B
   • {} = Insieme contenente da solo un elemento -> SINDETTON
   • PRODOTTO CARTESIANO A x B -> C. de un’insieme &etilde; costitito de coppie ordinate.

   Ex A={a₁, q₂, q₃} B = {q₁, q₂, q₃, q₄} A x B = {(a, b₁), (a, b₂), (a, b₃), (b, a₃), ...}

3) INSIEMI NOTE VOLI

N

• 1, 2, 3, 4, 5
• solo punti: 1, 2, 3, 4

ℤ

ℚ

ℤ ⊂ ℚ

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ

4) IL CAMPO DEI NUMERI REALI "ℝ"

Q ⊆ ℝ

Se ℝ - Q → Allineamenti senza limitanti = I (numeri irrazionali)

OPERAZIONI COI NUMERI REALI

Somma

• x + y = z ∈ ℝ
• x, y ∈ ℝ

Differenza

• x + (-y) → somma tra opposti y

Proprietà = Commutative e Associative

Prodotto

• x, y ∈ ℝ
• x ∈ ℝ
• R^2

(insieme R con le operazioni..) Somma.. prodotto e le loro proprieta'..

...assume la denominazione di CAMPO.

ORDINATO

Il campo di re

la dizione Z/E/Z

se nell campo R.. introduciamo la relazione d'ordine ("_≺", "^≻") esso si chiama CAMPO ORDINATO DI NUMERI REALI.

5) POTENZA E MODULO DI UN NUMERO REALE

1. A

   Se x∈R definiamo potenza.. massima di x il numero reale x^m

   PROPRIETA: (xⁿ)^m = x^{n* m}

a * nel x

n * n * i * d

x x, x = m * d = 0

y^g * x..

bRom

• c

c- N = ):

1. B

   MODULO o VALORE ASSOLUTO |x| ≥ 0 SEMPRE

Se x∈R definiamo modulo..() di x il numero reale

PROPRIETA

|x| = 0 <=> x = 0

es |2x - 1| = 0 <=> 2x - 1 = 0 <=> 2x = 1 <=> x = 1/2

x, y∈R

cav ≠ 0

|x