Appunti di Algebra lineare e geometria analitica

Algebra lineare e geometria (analitica)

ℝⁿ = ℝ x ℝ x ... x ℝ = { (x₁, x₂, ... , x_n) | x₁, ... , x_n ∈ ℝ }

Es (1, -2, π) ∈ ℝ³

Gli elementi di ℝⁿ vengono anche detti vettori di ℝⁿ

I numeri x_i vengono detti componenti o entrate

Base canonica di ℝⁿ

Base canonica di ℝⁿ (insieme di n vettori)

Definiamo base canonica di ℝⁿ la seguente n-pla ordinata di vettori di ℝⁿ.

B_o = ( (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) )

(e_i := (0, ..., 1, ..., 0)

1 in i-sima posizione

ℝ³:

i j k

↓ ↓ ↓

e₁ e₂ e₃

Funzioni coordinate cartesiane definite su ℝⁿ

χ_i : ℝⁿ -> ℝ x = (x₁, ..., x_n) -> χ_i(x) := x_i

Mappa (χ_i)

La i-sima funzione coordinata non fa altro che selezionare la componente i-sima del suo argomento, ragion per cui viene anche detta proiezione i-sima.

χ_i := pr

χ₅ (10, -2, 6, 8, 7, 49) = 7 Esempio

Algebra lineare e geometria (analitica)

→ ℝⁿ = ℝ x ℝ x ... x ℝ = { (x₁, x₂, ..., x_n) | x₁, ..., x_n ∈ ℝ }

n fattori

Es (1, -2, π) ∈ ℝ³

Gli elementi di ℝⁿ vengono anche detti vettori di ℝⁿ

I numeri x_i vengono detti componenti o entrate

Base canonica di ℝⁿ

Base canonica di ℝⁿ (insieme di n vettori)

Definiamo base canonica di ℝⁿ la seguente n-pla ordinata di vettori di ℝⁿ:

B_o = ( (1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1) )

e_i := (0, ..., 1, ..., 0)

1 in i-sima posizione

[ℝ³: i j K]

     ↓  ↓  ↓   e₁ e₂ e₃

Funzioni coordinate cartesiane definite su ℝⁿ

𝔠_i: ℝⁿ → ℝ

x = (x₁, ..., x_n) ↦ 𝔠_i(x) := x_i

(Mappa 𝔠_i)

La i-sima funzione coordinata non fa altro che selezionare la componente i-sima del suo argomento, ragion per cui viene anche detta proiezione i-sima.

𝔠_i = pr

𝔠₅ (10, -2, 6, 8, 7, -9) = 7 ] => Esempio

Ordinario spazio euclideo

ℰ₃ ordinario spazio euclideo, ossia il teatro della Geometria Euclidea Solida

ℰ₂: geometria piana

I suoi elementi sono punti geometrici (A,B,C,...)

ℰ₃ è anche il modello matematico del cosiddetto ordinario spazio fisico tridimensionale (S), teatro della Fisica Classica.

ℰ_π una qualsiasi dei possibili piani dentro ℰ₃

Vettori geometrici

A,B ∈ ℰ_n (n=2,3)

AB è l'elemento (A,B) ∈ ℰ_n x ℰ_n, chiamato bipunto, spostamento o vettore geometrico applicato in A

A = B = vettore nullo

Un vettore AB è caratterizzato da:

• Il punto di applicazione (A)
• La direzione:
  • Se A ≠ B coincide con la direzione della retta passante per A e B
  • Se A = B rimane indeterminata
• Il verso:
  • Se A ≠ B coincide con il verso della freccia
  • Se A = B rimane indeterminato
• Il modulo (||AB||): lunghezza del vettore → essendo una lunghezza geometrica non può essere <0
• Se A=B (vettore nullo) ⇒ modulo = 0

T_AE_n

L'insieme di tutti i bipunti (A, ρ) ∈ E_n x E_n per A fisso e ρ variabile in E_n è detto spazio tangente in A o E_n denotato con T_AE_n

T_AE_n = V_ρ (A) = vettori uscenti da A in E_n

Qualunque elemento di T_AE_n è identificato dall'estremo libero (il punto di arrivo ρ), essendo fisso il punto di applicazione A.

Lasciando ora che il punto di applicazione A vari, otteniamo un diverso spazio tangente per ognuno dei possibili punti di E_n.

Tutti gli spazi tangenti al variare di A in E_n si assomigliano (sono isomorfi) e assomigliano tutti ad un modello comune ma sono spazi diversi.

T_En → insieme di tutti gli spazi tangenti

πE_n : = ⋃ T_AEn A∈En → fibrato tangente di E_n

V