Appunti di Algebra lineare e geometria analitica

ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA ANALITICA

ⁿ = ℝ x ℝ x ... x ℝ = {(x₁, x₂, ..., x_n) | x_i ∈ ℝ} n fattori

Es (1, -2, π) ∈ ℝ³

Gli elementi di ℝⁿ vengono anche detti VETTORI di ℝⁿ.

I numeri x_i vengono detti COMPONENTI o ENTRATE

BASE CANONICA DI ℝⁿ

(Insieme di n vettori)

Definiamo BASE CANONICA di ℝⁿ la seguente n-pla ordinata di vettori di ℝⁿ.

B_o = {(1, 0, ..., 0), (0, 1, ..., 0), ..., (0, 0, ..., 1)}

e_i = (0, ..., 1, ..., 0)

1-in i-sima posizione

ℝ³ i j k ↓ ↓ ↓ e₁ e₂ e₃

FUNZIONI COORDINATE CARTESIANE DEFINITE SU ℝⁿ

χ_i: { ℝⁿ → ℝ x = (x₁, ..., x_n) ↦ χ_i(x) := x_i }

( MAPPA χ_i )

La i-esima funzione coordinata non fa altro che selezionare la componente i-sima del suo argomento, ragion per cui viene anche detta PROIEZIONE i-sima.

χ_i: pr

χ₅ (10, 2, 6, 8, 7, 12) = 7 → Esempio

ORDINARIO SPAZIO EUCLIDEO

E₃: ordinario spazio euclideo, ossia il teatro della Geometria Euclidea. Solido.

(E₂: geometria piana)

I suoi elementi sono PUNTI GEOMETRICI (A, B, C, …)

E₃ è anche il modello matematico del cosiddetto ordinario spazio fisico tridimensionale (S₃), teatro della Fisica classica.

E₂ una qualsiasi dei possibili piani dentro E₃

VETTORI GEOMETRICI

A,B ∈ E_n (n=2,3)

AB è l'elemento (A,B) ∈ E_n x E_n, chiamato BIPUNTO,

SPOSTAMENTO o VETTORE GEOMETRICO applicato in A

(A e B: punti geometrici dello spazio (E₃) o del piano (E₂))

• (B: punto di arrivo)
• (A: punto di partenza o applicazione)

A = B → vettore nullo

Un vettore AB è caratterizzato da:

• il PUNTO DI APPLICAZIONE (A)
• la DIREZIONE:
  • se A ≠ B coincide con la direzione della retta passante per A e B
  • se A = B rimane indeterminata
• il VERSO:
  • se A ≠ B coincide con il verso della freccia
  • se A = B rimane indeterminato
• il MODULO (||AB||): lunghezza del vettore
  • essendo una lunghezza geometrica non può essere < 0
  • se A = B (vettore nullo) → modulo = 0

B = A + AB

B = A, arrivo a B

parto da A e mi sposto del vettore AB

• ∑_i×∈_m = V_m
• (A, AB) ↦ B = AB, ∈ V_n(A)
• ∑_i×V_n = ∈_n
• (A, AB) ↦ A + AB = B

VETTORE LIBERO:

• Vettori applicati in punti diversi, aventi:
  • direzioni parallele,
  • lo stesso verso,
  • la stessa lunghezza (euclidea)
  hanno le stesse componenti cartesiane.

I due vettori sono EQUIVALENTI

IL VETTORE LIBERO OP

"OP" è caratterizzato da:

• la direzione della retta OP
• il verso da O verso P
• la lunghezza, che denoteremo con ||OP||

A differenza dei vettori applicati che dipendono anche dal punto di applicazione.

Quindi un vettore libero è unicamente determinato dalle sue componenti cartesiane.

V_n = insieme di vettori liberi a n componenti

Vettori EQUIVALENTI: vettori applicati diversi che condividono tutto tranne il punto di applicazione

Si può dunque definire vettore libero tipo che hanno in comune

Simmetria:

<⃗ ,⃗ >=<⃗ ,⃗ > (o commutatività)

Bilinearità:

<⃗ ,⃗ >=<⃗ ,⃗ >

Distributività rispetto all'addizione:

<⃗ +⃗ ,⃗ >=<⃗ ,⃗ >+<⃗ ,⃗ >

Positività:

<⃗ ,⃗ >⩾0 (uguaglianza se ⃗ =0⃗ )

Ortogonalità tra vettori applicati

(annullamento del prodotto scalare)

⃗ ⊥ ⃗ ⟺ <⃗ ,⃗ >=0

(Il vettore nullo risulta perpendicolare a ogni altro vettore)

Modulo e prodotto scalare:

‖⃗ ‖=√<⃗ ,⃗ >

<⃗ ,⃗ >=‖⃗ ‖²

Proiezioni ortogonali:

Proiezione ortogonale di un vettore lungo una direzione

‖⃗ ‖cos=‖^⃗⋅⃗ /_{‖⃗ ‖‖⃗ ‖}‖

‖⃗ ‖cos=‖^⃗⋅⃗ /_{‖⃗ ‖}‖

La proiezione ortogonale del vettore ⃗ sulla direzione del vettore ⃗ è la quantità scalare: ‖⃗ ‖cos = ^{⃗ ⋅⃗} /_{‖⃗ ‖}

(lunghezza)

Il vettore ⃗ proiezione di ⃗ sulla direzione individuata da ⃗ , bisogna attribuire un "carattere vettoriale" alla proiezione ‖⃗ ‖cos , cosa che si fa moltiplicandolo per il versore associato a ⃗ .

⃗ := ‖⃗ ‖cos ⃗ =^{⃗ ⋅⃗} /_{‖⃗ ‖‖⃗ ‖} ⃗ =^{⃗ ⋅⃗} /_{<⃗ ,⃗ >} ⃗

MOLTIPLICAZIONE VETTORIALE IN COMPONENTI:

= u_xi + u_yj + u_zk = v_xi + v_yj + v_zk

PRODOTTO VETTORIALE:

× = (u_yv_z - u_zv_y)i + (u_zv_x - u_xv_z)j + (u_xv_y - u_yv_x)k

Regola del determinante:

_{x y z x y z} × = | i j k | = | -u_x v_y | i + | u_z v_x | j + | u_x -v_x | k | u₁ u₂ u₃ |

CALCOLO MATRICIALE PARTE I

Chiamiamo MATRICE una qualunque tabella rettangolare completa e ordinata di elementi.

Es.: [3 6][-1 2]= componenti

Ciascuno dei numeri che la compongono viene detto ELEMENTO, COMPONENTE, ENTRATA della matrice

"VOCAZIONE" DELLE MATRICI

Le matrici sono oggetti che hanno una "vocazione" a rappresentare oggetti di natura più complessa.

RIGA COLONNA

A := [1 2 3][4 5 6] dimensione 2 x 3 righe colonne

• [1 2 3]: PRIMA RIGA [a₁] = [a₁₁ a₁₂ a₁₃] o C₄
• [4 5 6]: SECONDA RIGA [a₂]
• [1] [4]: PRIMA COLONNA [a_i] o C₄

ADDIZIONE E TRASPOSIZIONE:

(tA + B) = tA + tB

La somma di matrici è definita solo se parità di dimensione. In tal caso i coppie di componenti legate dalla somma rimangono legate dalla somma:

a_ij + b_ij | t² a_ij + b_ij

MOLTIPLICAZIONE DI UNO SCALARE PER UNA MATRICE:

... x I^km_m → I^km_n

(λ, A) → λA := [λa_ij]

Es:

OPPOSIZIONE (CAMBIO SEGNO):

λ = -1

-1 · A = -A → MATRICE OPPOSTA

PROPRIETÀ:

• 1A = A   ∀ A ∈ I^km_n
• α(βA) = (αβ)A   ∀ α, β ∈ I_K   ∀ A ∈ I^km_n
• (α + β)A = αA + βA   ∀ α, β ∈ I_K   ∀ A ∈ I^km_n
• α(A + B) = αA + αB   ∀ α ∈ I_K   ∀ A, B ∈ I^km_n
• t(αA) = αtA   ∀ α ∈ I_K   ∀ A ∈ I^km_n
• αA = 0_m,n ⟺ α = 0 ∨ A = 0_m,n ∨ entrambi

(Legge di annullamento del prodotto per scalari)