Appunti di Aerodinamica delle turbina a gas aeronautiche

Parte 1: Transizione dello strato limite

Lo studio della transizione dello strato limite da laminare a turbolento è di fondamentale importanza. Ad essa è legata l’efficienza di diversi componenti all’interno del motore aeronautico. Lo strato limite comincia a transire da laminare a turbolento quando il numero di Reynolds raggiunge all’incirca il livello di Re = 350000. Ricordiamo che il numero di Reynolds è un numero adimensionale che rappresenta il rapporto di grandezza tra le forze di inerzia nel campo di moto e le forze viscose smorzanti del considerato.

Quindi avremo che se le forze di inerzia sono sufficientemente piccole rispetto alle forze viscose, allora eventuali perturbazioni del moto verranno smorzate dalla viscosità del fluido. Viceversa, se le forze di inerzia sono troppo grandi rispetto alla viscosità del fluido, eventuali perturbazioni non potranno essere smorzate. Il problema della transizione dello strato limite è quindi un problema di stabilità/instabilità. La transizione può avvenire con 3 diverse modalità, ma i fattori che la inducono sono comuni a tutte e 3.

Modalità di transizione

• Transizione naturale
• Transizione bypass
• Transizione per separazione

Fattori comuni che influenzano la transizione dello strato limite

• Perturbazioni freestream: sono perturbazioni presenti nel flusso esterno allo strato limite, che penetrando all’interno di esso possono eccitarlo e accelerare la transizione
• Gradiente di pressione
• Separazione dello strato limite laminare
• Instazionarietà del flusso
• Rugosità delle superfici bagnate dal flusso: se la scabrezza di queste superfici considerate supera una certa entità, allora può portare alla generazione di piccoli vortici che aumentano l’instabilità del flusso all’interno dello strato limite.
• Curvatura dei profili delle palette
• Compressibilità del fluido elaborato dalla macchina
• Componenti 3D del flusso
• Scambi termici: possono far nascere differenze di densità che portano a componenti di velocità di convezione.
• Iniezioni di flusso: come ad esempio il raffreddamento del primo stadio di turbina di alta pressione tramite il cosiddetto film cooling.

Transizione naturale

Consideriamo un flusso laminare che investe una lastra piana. La transizione naturale dello strato limite è predominante nei flussi a basso livello di turbolenza freestream (Tu<1%). È la modalità con cui avviene naturalmente la transizione quando il flusso supera il valore di Reynolds theta critico e non è eccessivamente disturbato da altri fattori. Si compone di diverse fasi:

• Formazione onde Tollmien-Schlichting 2D: Alla distanza dal bordo della lastra piana in cui si raggiunge il valore critico del numero di Reynolds, lo strato limite comincia a essere sensibile a tutte le piccole perturbazioni che sono presenti nel flusso, e cominciano a svilupparsi le cosiddette onde di Tollmien-Schlichting.
• Formazione Harping-Vortex 3D: Dopo una certa distanza, le onde di Tollmien-Schlichting si amplificano e si inflettono diventando tridimensionali, in seguito vanno poi a formare gli Harping-Vortex.
• Breakdown turbolento: Lo sforzo di taglio a parete diventa molto più intenso, nasce un disturbo a frequenza più alta rispetto alla fondamentale dell’onda di base.
• Formazione di Spot Turbolenti: Si formano degli spot (regioni puntiformi) di flusso turbolento che crescono e vengono trasportate a valle dalla corrente.
• Flusso completamente turbolento: Gli spot turbolenti precedentemente formati crescono sempre di più fino a coprire l’intera larghezza della lastra piana. Da questo punto in avanti, il flusso si considera completamente turbolento.

Teoria della stabilità lineare

Per avere un modello di studio della transizione naturale dello strato limite, si fa ricorso alla teoria della stabilità lineare. Essa consiste nello studio di un campo di moto viscoso (assegnato a priori), al quale viene sovrapposta una perturbazione armonica. Alla fine si otterrà un’equazione, detta equazione di Orr-Sommerfeld, che rappresenta un problema agli autovalori. La risoluzione di tale problema agli autovalori, porterà ad ottenere le varie condizioni di stabilità o instabilità del nostro campo di moto che stiamo studiando.

Quindi, dato un campo di moto 2D, in termini di velocità e pressione, e data la stream function di una perturbazione armonica (un’onda che si propaga nello spazio 2D e nel tempo). Possiamo scrivere:

( ( )u=U y)+u ' x , y ,t(xv=v ' , y , t)(xp=P(x , y)+ p' , y , t)

Dove con u indica la velocità lungo x, v la velocità lungo y, p la pressione, le lettere maiuscole indicano il campo di moto assegnato a priori, le lettere con l’apostrofo indicano le componenti del campo di moto relative alla sola turbolenza. Introducendo poi una perturbazione di tipo armonico, otteniamo.

(αx−i βt)(x )=ϕ(ψ , y ,t y)e∂ψ =v '∂x∂ψ =u '∂y

In cui la funzione ϕ(y) è detta amplitude function, e rappresenta l’autofunzione del problema. Definiamo inoltre la quantità β =c +cc= r iα che rappresenta l’autovalore complesso del problema, e abbiamo rispettivamente che:

• cⁱ < 0 --> perturbazione amplificata
• cⁱ = 0 --> equilibrio neutro
• cⁱ > 0 --> perturbazione smorzata

Equazione di Orr-Sommerfeld

Procedendo quindi nel seguente modo:

• Sostituendo la stream function nelle equazioni del campo di moto
• Sostituendo le equazioni ottenute nelle equazioni di Navier-Stokes
• Imponendo le opportune condizioni al contorno
• introducendo le diverse adimensionalizzazioni

Si ottiene infine l’equazione di Orr-Sommerfeld.

Adimensionalizzazioni e condizioni al contorno

L’equazione di Orr-Sommerfeld rappresenta un problema agli autovalori-autovettori (autofunzioni). Una volta assegnato il campo di moto medio, si assegnano i parametri α, Re , c , c . E una volta assegnati siricercano le soluzioni non banali del problema. Esiste una criticità nell’equazione di Orr-Sommerfeld: il termine di sinistra presenta la derivata quarta dell’autofunzione ϕ che è moltiplicata per il reciproco del numero di Reynolds, ovvero moltiplicata per un numero molto piccolo. Questo causa dei malcondizionamenti del problema quando andiamo a risolverlo per via numerica.

Dalla risoluzione dell’equazione di Orr-Sommerfeld si può tracciare il diagramma di stabilità, una mappa che individua i punti di regime caratterizzati da una certa lunghezza d’onda della perturbazione e da un numero di Reynolds. In pratica il diagramma di stabilità mostra a quale numero di Reynolds una perturbazione con una certa lunghezza d’onda diventa instabile.

I punti che ricadono all’interno della curva sono condizioni instabili, quelli esterni sono condizioni stabili. La retta verticale tangenente al grafico alla sua sinistra, rappresenta il numero di Reynolds critico a cui qualsiasi perturbazione imposta al moto medio, non si propaga e il flusso rimane laminare. Tale valore prende il nome di Reynolds critico. Per date condizioni di flusso è possibile quindi trovare il numero di Reynolds critico, che individua il punto dove inizia la transizione del nostro strato limite.

Nel grafico, sono indicati i punti di “instabilità non viscosa” i punti che presentano un profilo di velocità del moto medio con un punto di flesso a tangente verticale.

Equazione di Rayleigh

L’equazione di Rayleigh è un caso particolare dell’equazione di Orr-Sommerfeld, ovvero rappresenta il caso non viscoso, con solamente i termini inerziali. Non ci permette di ricavare informazioni sul numero di Reynolds critico, ma ci permette di formulare due teoremi.

• Primo Teorema: I profili di velocità che presentano un punto di flesso a tangente verticale sono instabili (per generare un profilo di velocità che presenta un punto di flesso, è necessario avere un gradiente di pressione avverso).
• Secondo Teorema: La velocità di propagazione delle perturbazioni neutre (c =0) è più piccola della velocità del flusso medio, quindi c <U.

L’equilibrio non viscoso può essere studiato solo con l’equazione di Orr-Sommerfeld completa.

Equazione e profili di Falkner-Skan

Come abbiamo detto all’inizio, lo studio avviene imponendo una perturbazione armonica al moto medio. Per rappresentare tale moto medio, si possono utilizzare i profili della famiglia di “Falkner-Skan”, ottenuti tramite la risoluzione dell’omonima equazione differenziale. L’equazione di Flakner-Skan tiene conto anche del gradiente di pressione, e se imponiamo un gradiente di pressione nullo, ricadiamo nel caso di Blasius, ovvero profili autosimilari e scalati in grandezza con l’avanzare lungo le x. Dove β è un parametro che rappresenta il gradiente di pressione adimensionale β ~ dP/dx.

• β<0 indica gradiente favorevole
• β>0 indica gradiente avverso

Metodo eN

Il metodo eN è un metodo pratico, e utilizzato anche in ambito industriale, che consente di calcolare il punto di transizione Laminare-Turbolenti di uno strato limite. Riprendendo la stream function della perturbazione, avremo che la parte che moltiplica il tempo (β) è un numero reale, mentre la parte che moltiplica la coordinata x ( ) è un numero complesso, in cui α la parte reale rappresenta l’oscillazione, ovvero il numero d’onda della nostra perturbazione, la parte immaginaria invece rappresenta lo smorzamento o l’amplificazione del disturbo.

(αx−i βt)(x )=ϕ(ψ , y ,t y)eβ∈ℝ=α +αα r i

Se prendiamo il diagramma di stabilità, come già detto, possiamo individuare i punti in cui il flusso diventa instabile. Consideriamo un disturbo con una frequenza temporale f1, visualizzato come la retta orizzontale che interseca l’asse y al valore f1. Tale retta intersecherà poi il grafico nei punti x0 e x1, questi due punti sono rispettivamente le distanze dal bordo della lastra piana dove la perturbazione comincia ad essere amplificata, e il punto dove smette di essere amplificata e torna a diminuire la sua ampiezza grazie ai fenomeni smorzanti.

Lo si può vedere anche nel grafico inferiore, in cui tra i punti x0 e x1 riportati, è compresa la funzione che lega l’ampiezza (rapporto di ampiezze) del disturbo all’aumentare della distanza dal bordo d’attacco della lastra piana. E si può vedere chiaramente, che l’amplificazione aumenta da x0 in poi, e dopo x1 torna a diminuire.

Abbiamo detto che la parte immaginaria del numero complesso rappresenta l’amplificazione o lo smorzamento nella stream function della perturbazione. Infatti, è vero che se >0 l’onda viene smorzata, se invece 0 l’onda viene amplificata. Possiamo quindi scrivere anche:

α <i 1 dA⋅ =−α iA dx

Integrando per parti ed eseguendo poi i seguenti passaggi si ottiene:

x 1A ∫( )= −αln dxiA 0 x 0x 1∫ −α dxA i n=e =ex 0A 0

La parte reale di , il coefficiente di smorzamento dipende come già detto dal tipo di disturbo, ma inel caso più generale abbiamo che esso dipende anche dalla posizione x.

Andando a ripetere il procedimento per diversi valori di frequenza (o numero d’onda) del disturbo, ottengo diverse funzioni che legano ampiezza e coordinata x lungo la lastra piana.

Così come è stato detto fin’ora, presuppone di conoscere le caratteristiche esatte del disturbo, in termini di numero d’onda o frequenza, cosa che non sempre corrisponde alla realtà. Per ottenere dei risultati da poter utilizzare nella pratica, andiamo a costruire l’inviluppo di tutte queste funzioni ottenute al variare di , il risultato è quello di una curva che lega l’ampiezza alla coordinata x, maα iche non dipende dalla frequenza e dalla lunghezza d’onda del disturbo. È in un certo senso una condizione “cautelativa” poiché per ogni posizione x, si va a considerare il disturbo che può generare la massima amplificazione all’interno dello strato limite.

Transizione Bypass

Diversamente dalla transizione naturale, nella transizione di tipo Bypass, non abbiamo la fase di accrescimento lineare delle onde di perturbazione, ma si passa direttamente ad un accrescimento di tipo esponenziale. Per questo, la transizione Bypass avviene prima della transizione naturale. La transizione Bypass si compone delle seguenti caratteristiche:

• Valori di turbolenza freestream piuttosto intensi Tu>1%.
• Si hanno perturbazioni non modali, e non c’è un Reynolds critico al quale avviene la transizione, ma queste perturbazioni avvengono per tutti i numeri di Reynolds.
• Coinvolge una perturbazione esterna, che penetrando nella regione viscosa di strato limite lo eccita, e porta alla formazione di streax di Klebanoff, che differentemente dalle onde di Tollmien-Schlichting sono dei disturbi a frequenza più bassa e ampiezza maggiore.
• Le streax si sviluppano nella direzione del flusso, e collassando generano spot turbolenti.

Streax di Klebanoff e onde di Tollmien-Schlichting: Le onde di T.S. sono una perturbazione “primaria” poiché hanno una componente del disturbo in direzione del moto medio, mentre le Streax sono una perturbazione secondaria, perché hanno tutte e due le componenti in direzione cross-flow, ovvero perpendicolari alla direzione del moto medio del flusso. Inoltre è bene specificare che anche nella transizione Bypass si formano le onde di T.S., ma i fenomeni che inducono la transizione Bypass sono di ordini di grandezza superiori rispetto ad esse.

Metodo di Emmons

Il metodo di Emmons è un metodo statistico che studia la formazione e la crescita degli spot turbolenti. Prevede di definire un nuovo parametro, ovvero l’Intermittenza, che indica la frazione di tempo per cui il flusso su una superficie ha carattere turbolento.

∭ g( p)dxdydt(γ P)=1−e P 0

La funzione γ è appunto la funzione intermittenza, è ottenuta dall’integrazione spaziale e temporale di un’altra funzione, la funzione g(p) detta “turbolent spot production”. Preso un punto P nello spazio, e presa la funzione di generazione spot turbolenti, abbiamo che se il flusso è laminare la funzione intermittenza restituirà il valore 0, altrimenti se il flusso è turbolento restituirà il valore 1.

Tutta la difficoltà sta nel costruire la funzione turbolent spot production. Se facciamo l’ipotesi di breakdown concentrato, possiamo costruirla nel seguente modo:

In cui la δ è la delta di dirac, o comunque una gaussiana molto sottile, la η è il rateo di produzione di spot turbolenti, e il pedice t indica la posizione dove è generata la turbolenza. Quindi si ottiene e scrivendo in termini di numeri di Reynolds In cui ň e σ sono parametri relativi alla generazione degli spot. Quanto abbiamo fin’ora detto ci consenti di calcolare il punto giacente sulla lastra piana in cui il flusso diventa turbolento. In realtà la distinzione tra zone a sviluppo di turbolenza e zone laminarie non è esclusivamente sul piano, ma anche distaccandosi da esso. Il grafico seguente mostra infatti la variazione della funzione intermittenza quando ci allontaniamo dalla parete in direzione verticale. Questa teoria si applica nelle turbomacchine variando opportunamente i parametri di produzione degli spot turbolenti ň e σ, come mostra il grafico seguente.

Transizione per separazione

La transizione per separazione è un meccanismo a sé rispetto alla transizione naturale e alla transizione bypass. In questo caso a provocare la transizione è il fatto che lo strato limite quando è laminare e separa, poi riattacca come strato limite turbolento. Il punto di separazione dello strato limite è individuato quando il gradiente di pressione avverso porta il profilo di velocità nella condizione di avere un gradiente verticale di velocità nullo nel punto a contatto con la superficie solida, cioè un punto di flesso nel profilo di velocità. Successivamente, si forma una zona di flusso stagnante chiamata “bolla di separazione” al cui interno è contenuto un sistema di vortici. Il flusso separato e la bolla sono il risultato del fatto che il flusso non riesce a superare un certo gradiente di pressione imposto.

Infatti, il risultato di avere una bolla di separazione su un profilo o su una lastra piana, è che la superficie viene scaricata aerodinamicamente, andando a creare un plateau sull’andamento della pressione lungo la coordinata x. Nel campo di moto, è possibile tracciare una streamline che separa la zona della bolla di separazione dalla zona esterna. Come si vede nel grafico sopra, individuata dalla linea rossa. Successivamente, il flusso riattacca come flusso turbolento per le ragioni che saranno spiegate di seguito.

Possiamo vedere in questo grafico, i punti di principale interesse per la caratterizzazione del flusso con presenza di bolla di separazione. Vediamo ad esempio i punti xs e xr, che sono rispettivamente i punti di separazione e riattacco, c’è il punto xm, ovvero il punto di massimo “displacement”.