Appunti dettagliati di Economia monetaria e della finanza, sufficienti a preparare l'Esame

(CAL)

La retta mostra tutte le combinazioni fra i titoli 1 e risk-free, la CAL è una retta che

considera le varie combinazioni possibili fra un asset rischioso e uno privo di rischio, ha

come intercetta il rendimento dell’asse privo di rischio. Poiché è una funzione tra

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rendimento e varianza del portafoglio, ad aumentare il rischio di portafoglio aumenta

anche il rendimento.

È una retta perché il titolo privo di rischio non ha varianza, quindi è una combinazione

lineare fra due numeri.

Se la deviazione standard è uguale a zero sto investendo nel titolo risck-free, se è uguale

ad 1 sto investendo tutto nel titolo 1 rischioso, la differenza tra E(r) e rf mi determina il

premio di rischio.

La pendenza della CAL, nota anche come Sharpe Ratio è uguale a:

Il portafoglio composto solo da A (ω = 1), il portafoglio composto solo da rf (ω = 0).

Il portafoglio ottimo si calcola eguagliano l’inclinazione della CAL a quella della curva di

indifferenza ed ottengo, ricordando che :

Possiamo tracciare le curve di indifferenza del consumatore e illustrare graficamente la

sua scelta ottima:

Un secondo metodo per identificare il portafoglio ottimo si ottiene risolvendo il seguente

problema di ottimizzazione, mettendo a sistema le tre equazioni ottengo:

———> Pagina 17

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Esercizio 1:

Il rendimento atteso di un fondo F ́e del 11% e la sua deviazione standard ́e di 0,15. Il

tasso a cui si può dare e prendere a prestito è il 5%.

Se il cliente desidera un rendimento atteso del 8%, quale frazione del suo portafoglio deve

investire nel titolo risk-free? Qual’è la deviazione standard del portafoglio del cliente?

Se un altro cliente desidera il più alto rendimento atteso con una volatilità non superiore al

12%, quale dei due è più avverso al rischio?

Il primo cliente è più avverso al rischio perché desidera una volatilità inferiore.

Per calcolare la frontiera efficiente con 2 titoli rischiosi, ho bisogno di:

i rendimenti attesi per ogni titolo e le proporzioni in cui entrano nel portafoglio

• la varianza di ogni titolo e la covarianza tra la coppia di titoli

•

Il rendimento atteso del portafoglio è la media ponderata dei rendimenti attesi dei singoli

asset:

per quanto riguarda la varianza di portafoglio si applica la seguente formula:

oppure

La frontiera efficiente per due titoli rischiosi è dunque identificata da queste due

grandezze: rendimento atteso e deviazione standard del portafoglio e si ottiene variando le

combinazioni dei due titoli (ω).

Considerando il titolo rf e A oppure rf e B le due CAL sono:

dalla quale se ne può ottenere una terza con maggiore valore atteso e minore varianza

combinando tutti (i due) titoli rischiosi in modo ottimo, insieme all’attività risk-free:

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Si è identificato così il portafoglio di tangenza, che in combinazione con il titolo non

rischioso fornisce la CAL con la tendenza massima:

Contiene solo e “tutti” i titoli rischiosi, è sulla frontiera efficiente, quindi è un portafoglio

• efficiente in senso media/varianza

se inseriamo le curve di indifferenza, vediamo che il portafoglio ottimo è un portafoglio

• sulla frontiera efficiente, per qualsiasi avversione al rischio

Tutti i portafogli ottimi sono ottenibili combinando qualsiasi coppia di portafogli efficienti

• Quindi, tutti i portafogli ottimi sono ottenibili combinando il portafoglio di tangenza con il

• titolo esente da rischio —> teorema di separazione dei due fondi

Per calcolare il peso ottimo ω del portafoglio di tangenza, va massimizzato lo Sharpe

Ratio del portafoglio rispetto a ω, sotto il vincolo che la somma dei pesi del portafoglio sia

uguale a 1: σ

La soluzione per i due titoli rischiosi si ottiene sostituendo E(rp) e p nella funzione

obbiettivo, calcolando la derivata prima rispetto a ω e ponendo uguale a zero:

A secondo delle diverse curve di utilità avrò il punto di tangenza sulla CAI con frontiera di

massima efficienza.

Coefficiente di correlazione e frontiera efficiente

La forma della frontiera efficiente cambia in base al coefficiente di correlazione.

Con correlazione pari a 1 non c’è alcun beneficio di diversificazione

• Con correlazione 0 ci sono benefici in termini di rischiosità del portafoglio

• Con correlazione pari a -1, la frontiera è lineare, ma offre la possibilità di un perfetto

• hedge. Pagina 19

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Riassumendo:

Un titolo rischioso (r

A) e un titolo risk-free

il portafoglio ottimo con avversione al rischio A è:

Due titoli rischiosi (ra e rb)

portafoglio di tangenza è:

la varianza del portafoglio:

Due titoli rischiosi (ra e rb)

portafoglio di minima varianza:

Posso fare la CAl utilizzando un solo titolo rischioso come riferimento, ma questo non è

ottimo mi conviene considerare un portafoglio che combina i due titoli rischiosi, valore

atteso massimo dato la varianza, spesso viene fatto dai fondi d’investimento. Stiamo

analizzando un portafoglio di titoli rischioso con un titolo risk-free.

I servizi delle compagnie d’investimento

Amministrazione e contabilità

• diversificazione e divisibilità

• gestione professionale

• riduzione dei costi di transazione

•

Il net asset value (NAV) è usato come base per la valutazione delle azioni della

compagnia d’investimento per:

vendere nuove quote

• rimborsare le quote esistenti

•

Dove le passività sono i costi di transazione e i shares outstanding le azioni in

circolazione.

Le compagnie d’investimento sono organizzate in:

fondi comuni d’investimento: che possono essere

• - aperti: se il fondo può aumentare e diminuire liberamente durante la vita dello

stesso, il numero di quote si modifica ogni giorno quando ci sono nuovi

investimenti o richieste di rimborso (riscatti), i prezzi sono determinati col NAV.

- chiusi: se si stabilisce che il fondo non può variare durante la sua vita, le azioni

non si modificano tranne nelle nuove emissioni, i prezzi sono terminati come premi

o sconti sul NAV.

altri: hedge funds, fondi pensione e fondi immobiliari

•

Le politiche di investimento dei fondi comuni sono:

mercati monetari

• quote a rendimento fisso

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azioni

• combinazione di quote a rendimento fisso e azioni

• asset allocation

• mix di titoli

• specializzati in un settore

•

I costi di investimento dei fondi comuni possono essere divisi fra tutti e quindi ridotti:

Fee structure: front-end load oppure back-end load, le spese sono addebitate all’inizio o

• alla fine in relazione alla modalità di gestione del fondo.

Operating expenses: costi operativi che non sono altissimi, sarebbe la remunerazione

• del manager

Fees and performance: dipendono dalla performance

•

Gli Exchange Trade Funds:

permettono agli investitori di scambiarsi fondi basati su indici come se fossero delle

• semplici azioni

esempi: SPDRS, WEBS e HOLDERS

• permettono anche investimenti su settore o paese

•

Spesso i fondi comuni di investimento rendono meno dell’indice, quindi non è una cosa

positiva, ma vengono ugualmente utilizzati perché:

si investe per i servizi alternativi, i fondi pensione offrono un servizio

• i soggetti non si sanno muovere da soli nel mercato poiché il piccolo investitore non ha

• opportune conoscenze

è un periodo in cui il mercato va male a prescindere dall’investimento

•

La diversificazione di un portafoglio ottimo

Ad un individuo poco avverso al rischio, non si suggerisce di investire solo in titoli di tipo C;

e ad un individuo molto avverso al rischio (purché non infinitamente avverso al rischio) non

si suggerisce di investire solo in titoli esenti da rischio. A entrambi si propone il medesimo

portafoglio rischioso ben diversificato, combinato in quote diverse con il titolo esente da

rischio.

EMEDF 6: scelte di portafoglio e modello CAPM

Il CAPM (Capital Asset Pricing Model) è una delle pietre angolari della moderna economia

finanziaria e nella versione più semplice, esso fornisce previsioni sulla relazione tra il

rendimento atteso e il rischio di una qualsiasi attività finanziaria. Il rischio e il rendimento

sono correlati negativamente, il CAPM permette di quantificare la relazione tra rischio e

rendimento, ovvero quanto deve rendere l’attività i se ha una data varianza rispetto al

resto del mercato. Dice quale deve essere il prezzo di un asset il rispetto al mercato, data

la varianza, e se è conveniente o meno.

L’idea principale del CAPM è che qualsiasi investitore, indipendentemente dalla sua

avversione/attitudine al rischio, sceglierà, nello spazio media-varianza, un portafoglio

complessivo che combina attività risk-free (prime di rischio) con quote del portafoglio

rischioso ottimale (o di tangenza); gli extra-rendimenti rispetto al tasso risk-free sono una

funzione del rischio, così come misurato dalla covarianza dei singoli rendimenti con il resto

del mercato.

Vengono effettuate delle semplificazioni per il CAPM:

• esiste un numero infinito di investitori, tutti price-takers, che possono assumere

liberamente qualsiasi posizione in qualunque attività (o frazione di essa) Pagina 21

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• tali investitori hanno un orizzonte di riferimento di un solo periodo e massimizzano il loro

rendimento dato il rischio

• non ci sono costi di transazione o tasse

• l’informazione è perfetta

Nella retta di mercato RDM o CAI, che definisce la relazione fra tasso privo di rischio e

attività rischiose, la tangenza fra la frontiera efficiente e la CAI viene detto portafoglio di

mercato che viene indicato con la lettera M:

Il portafoglio di mercato è quello che da la miglior combinazione rischio rendimento ed è

• efficiente poiché giace sulla RDM

Il premio al rischio su M è proporzionale al suo livello di rischio, poiché dipende dalla

• varianza e il portafoglio di mercato 2

E(rM)−rf =p(σ ) (1)

M

ovvero il premio al rischio di M che è la differenza fra rendimento atteso di M e tasso

M2

privo di rischio, E (rM ) − rf , fornisce il premio al rischio in funzione di σ

Notare che σ è solo rischio sistematico e quindi non diversificabile. Infatti il portafoglio M

M

è quello meglio diversificato.

Dobbiamo spiegare cosa sono il rischio: