Appunti dell'esame di statistica medica (prof. Verlato)

N.B.:

• il chi-quadro può essere utilizzato solo se nessun valore atteso è minore di 5,

altrimenti è necessario utilizzare il test di Fischer;

• esiste anche il chi-quadro per la bontà dell’adattamento che utilizza come ipotesi

nulla: i dati osservati seguono la distribuzione binomiale;

• eseguire il test attraverso Excel.

Regressione: relazione di tipo asimmetrico in cui una variabile casuale (Y) dipenda da una

variabile fissa (X); ad esempio il peso (Y) dipende dalla statura (X).

Correlazione: relazione di tipo simmetrico: le due variabili sono entrambe casuali. La

correlazione può essere positiva, se all’aumentare della X aumenta anche la Y; negativa, se

all’aumentare della X diminuisce la Y; indipendente, se X e Y non sono in relazione.

Regressione lineare semplice (all’esame scrivere come si calcolano a e b):

Se non si considera ε: , dove E(Y) è il valore atteso, la media, del peso degli

() = +

0 1 1

individui che hanno una determinata altezza (x ); invece, se si considera ε si considera la

1

variabilità individuale ed è perciò possibile calcolare il peso di un determinato individuo.

Nella regressione lineare semplice può essere utile scomporre la devianza:

Si cerca la regga retta che meglio interpola i punti attraverso il metodo dei quadrati

minimi, in altri termini si sceglie la retta che riduce al minimo la devianza residua in questo

modo:

Assunzioni per la regressione lineare semplice:

• ε=0;

• omoschedasticità;

• indipendenza degli errori;

• distribuzione normale degli errori.

Correlazione: il coefficiente di correlazione r è un numero adimensionale che varia tra -1

e +1. Se:

• r=-1, i punti si allineano lungo una retta discendente;

• r=0, i punti si dispongono a casa, senza mostrare un andamento crescente o

decrescente;

• r=+1, i punti si allineano lungo una retta ascendente.

r e r si calcolano nella seguente maniera:

2

r indica quanto bene la X spiega la Y, ad esempio se r =15.5% si può affermare che il 15.5%

2 2

del punteggio del test può essere spiegato con il voto di maturità.

Analisi della varianza (ANOVA) a 1 criterio

L’analisi della varianza si utilizza quando vi sono k

gruppi con un numero variabile di unità statistiche.

Ogni unità statistica viene individuata da due numeri

in posizione pedice: il primo indica il gruppo di

appartenenza e il secondo indica la posizione del

soggetto all’interno del gruppo.

È poi necessario conoscere la media generale e le medie di ognuno dei gruppi.

̅

H : .

µ = µ = ⋯ = µ

0 1 2 0

H : almeno una media differisce dalle altre.

1

Innanzitutto si consideri la seguente relazione:

Dove:

Gli assunti sono:

• omoschedasticità della varianza;

• le osservazioni sono fra loro indipendenti;

• in ciascun gruppo le osservazioni sono distribuite in modo gaussiano.

Assunto quanto detto si può ora eseguire il test F:

Se F>soglia critica (indicata come P che se è minore dello 0.001 si scrive P<0,001) si rifiuta

H .

0

Significato: ‘l’età varia significativamente nei reparti’.

Se il test F è significativo si possono confrontare fra loro le singole medie utilizzando dei test

appropriati chiamati contrasti o confronti multipli.

Analisi multivariabile: nell’analisi univariabile vi è una X e una Y, in quella

multivariabile molte X e in quella multivariata molte Y.

Nell’analisi univariabile si utilizza la regressione lineare semplice, con X e Y quantitative.

Nell’analisi multivariabile si possono utilizzare:

• la regressione lineare multipla in cui X e Y sono variabili quantitative;

• l’ANOVA in cui Y è quantitativa e X qualitativa;

• ANCOVA (analisi della covarianza) in Y è quantitativa e X sono qualitative e

quantitative.

Regressione lineare multipla: La regressione lineare multipla serve a valutare

simultaneamente l’influenza su una variabile di

risposta di molte variabili esplicative, indipendenti,

e a valutare l’influenza di una variabile esplicativa su

una variabile di risposta.

Ad esempio Y potrebbe essere il peso, X l’età, X la

1 2

statura e X l’introito calorico.

3

Con E(Y) si calcola il valore medio del peso.

Nella regressione lineare multipla la funzione legame è l’= (identità), che unisce la variabile

dipendente al predittore lineare; invece nel modello di regressione logistica la funzione

legame è ]=.

log [ 1−

Le assunzioni della regressione lineare multipla sono:

• ε=0;

• omoscedasticità;

• indipendenza e distribuzione normale degli errori.

In questo caso come metodo di ottimizzazione è opportuno utilizzare il metodo dei minimi

quadrati che necessitò dell’omoscedasticità e che viene utilizzato per i modelli lineari in cui

la funzione legame è l’identità (regressione lineare semplice e multipla, ANOVA e ANCOVA).

È necessaria anche in questo caso la scomposizione della devianza:

H : tutte le variabili predittive sono irrilevanti (β =β =0).

0 1 2

Il test F permette di calcolare il coefficiente di determinazione R , che permette ad esempio

2

di affermare che il 61,1% della variabilità nel peso neonatale è spiegata dalla correlazione

con l’età gestionale e con la statura.

Importante è infine il coefficiente di correlazione parziale che rispecchia eventuali

associazioni tra queste variabili ed un eventuale confondente e che può essere definito come

il coefficiente di correlazione tra due variabili, ottenuto tenendo costante il valore di una

terza variabile.

Gradi di libertà:

Verosimiglianza: se i parametri sono noti e i dati ignoti si utilizza la probabilità, se invece

sono noti i dati e i parametri sono ignoti si utilizza la verosimiglianza; ad esempio se si

ponesse l’attenzione sulla distribuzione binomiale nel caso della probabilità varia la x, nel

caso della verosimiglianza varia π:

N.B.: su Excel vi è un file sulla verosimiglianza.

Misure di frequenza di malattia:

• se si considera la malattia come stato, è possibile calcolare la frequenza dell’essere

malati in qualunque punto del tempo; è necessario allora utilizzare la prevalenza

che indica la proporzione di una popolazione affetta dalla malattia in un determinato

istante;

• se si considera la malattia come evento, è possibile calcolare la frequenza di comparsi

di nuovi casi in un certo periodo di tempo; è necessario allora utilizzare allora

l’incidenza che indica la frequenza con cui compaiono nuovi eventi in una

popolazione candidata.

Lo studio può essere:

• popolazione fissa (coorte): insieme di individui caratterizzati dallo sperimentare

un evento comune al tempo zero e seguiti nel tempo;

• popolazione dinamica: insieme di individui caratterizzati da un comune stato di

appartenenza. Tale popolazione presenta un ricambio più o meno elevato dei suoi

membri.

Prevalenza: . La prevalenza è definita puntuale se viene

= (+)

calcolata in un determinato istante; tale prevalenza è difficile da calcolare, si preferisce allora

la prevalenza in una certa unità di tempo. È necessario considerare tutte le persone che

hanno contratto la malattia in quell’unità di tempo, ma non bisogna considerare i morti: se

la popolazione nel 1989 è 100000, i casi di TBC al 1/01/1989 sono 970, i nuovi casi durante

1480

l’anno sono 510 e i deceduti per TBC durante l’anno sono 27, la prevalenza è: ; infine

100000

nella life-prevalence si considerano malati tutti quei soggetti che hanno avuto la malattia

almeno una volta nell’arco della loro vita.

Incidenza cumulativa:

(quest’ultima formula si utilizza

= ℎ

0

per le popolazioni dinamiche e indica un tasso di incidenza) probabilità che un individuo

libero da malattia sviluppi la malattia durante uno specificato periodo di tempo. L’unità di

misura dell’incidenza è , in cui il denominatore è persone-tempo.

∙

Persone-tempo: somma di tutti i tempi di osservazione dei soggetti a rischio

Tasso di incidenza/grezzo di mortalità (si chiama anche incidenza):

= =

, si introduce perché soggetti possono entrare

0 + 1 ∙

2

nello studio in momenti diversi, alcuni soggetti vengono persi al follow-up e poiché un

soggetto è effettivamente a rischio solo fino a quando non sviluppa la malattia.

L’ incidenza cumulativa è una proporzione, perché tutte le persone nel numeratore sono

anche al denominatore; è una misura della probabilità o rischio della malattia, ovvero di

quale proporzione della popolazione svilupperà la malattia durante uno specifico intervallo

di tempo. In contrasto, il tasso di incidenza è come la velocità misurata in chilometri all’ora:

indica quanto rapidamente la popolazione si ammala con una misura espressa in gente per

anno.

Durata: = ∙

Relazione tra prevalenza, incidenza e durata: la prevalenza dipende sia

dall’incidenza (rischio) che dalla durata della malattia. L’ elevata prevalenza di una malattia

all’interno di una popolazione può riflettere un rischio elevato o una sopravvivenza

prolungata senza guarigione. Viceversa, una bassa prevalenza pu&og