Appunti del corso di Statistica

Statistica

Esame svolto da esercizi svolti sulla iscritta volta il materiale

mail : ernesto.

Nella statistica cerchiamo di esprimere le cose che non sono deterministiche.

Le chiameremo:

• esperimenti casuali
• aleatori
• randomici

Descrivono una solida percezione di se ripetute nelle stesse condizioni producono risultati diversi.

L'insieme di tutti i possibili risultati si chiama SPAZIO CAMPIONARIO. Oppure.

Ω: Insieme di tutti i possibili risultati.

Spazio campionario.

w ∈ Ω con w = risultato o evento elementare.

Esempio moneta:

Ω = {T, C} testa o croce per una moneta.

Esempio dado:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} per un dado.

Ω = IN \ {0} = {1, 2, 3, ..., n} n lanciatori primo di un particolare evento.

Esempio dell'attesa:

Ω = [0, T_o] T_o tempo max di attesa.

In questo caso il risultato è finito o numerabile.

L'evento è una collezione dei possibili risultati in Ω. Questi una volta fissato l'esperimento.

Tiro del dado:

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

dati:

Evento ➔ "Esce un numero pari" ➔ {2, 4, 6}

Evento ➔ "Esce un multiplo di 3" ➔ {3, 6}

E ⊂ Ω L'evento E è un sottoinsieme di Ω.

• ∅: è un evento impossibile.
• Ω: evento certo
• Ē ➔ evento complementare = {ω ∈ Ω | ω ∉ E} = E^c

➔ evento opposto.

Se ho E e F due eventi posso avere:

E ∩ F = {ω ∈ Ω | ω ∈ E e ω ∈ F} ➔ Evento congiunto.

E ∪ F = {ω ∈ Ω | ω ∈ E o ω ∈ F} ➔ accade E oppure F.

Se E ∩ F = ∅ E e F eventi disgiunti.

In questi casi ho:

• Evento ω ∈ E E' accaduto, si è verificato.
• w ∉ E E non si è verificato ➔ ω ∈ Ē

E = {ω} evento elementari.

E = Ω E' un evento? Sì!

Sottoinsieme dello spazio campionario, quindi sì.

E₃ = {1, 2, 6}

Dato uno spazio campionario Ω

Una famiglia ƒ di eventi è detta σ-algebra se soddisfa le seguenti condizioni:

• _a) ∅ ∈ ƒ allora Ω ∈ ƒ
• _b) ∅ ∈ ƒ (ƒ è più grande dello spazio campionario)
• _c) E ∈ ƒ allora &overline;E ∈ ƒ (perché ƒ contiene Ω)
• _d) Se E₁, E₂, … , E_n è una famiglia numerabile di eventi allora ⋃_n=1^+∞ E_n = E₁ ∪ E₂ ∪ … ∪ E_n ∈ ƒ

ƒ_Ω = {1, … , 6}

2 = ℕ \ {0}

Ω = [0, T₀]

ƒ ([0, T₀]) σ-algebra di Borel contiene tutti gli insiemi aperti, chiusi e gli intervalli

Distribuzione di probabilità:

Ω spazio campionario

ƒ famiglia di eventi

E ∈ ƒ, un E evento

Passeggio per queste uniche proprietà: con il numero con cui indichiamo

0 ≤ P [E] ≤ 1 la probabilità.

così potrebbe potremmo interpretarlo come percentuale

b) IP[Ω] = 1 = 100% evento certo.

c) Se E₁, E₂, ..., E_n, ..., è una famiglia di eventi a due a due disgiunti (E_i ∩ E_j = φ, i ≠ j) allora

IP[∞∪_n=1E_n] = +∞Σ_n=1IP[E_n]

IP[E] = probabilità che l'evento E accada (o si verifichi).

Esempio: Dato a sia facce equilibrato,

Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = tutti i sottoinsieme

IP[E] = #E/#Ω = #E/6

Evento che non verifichiamo o è indicato come generico

Esempio numerico

E = {4} #E = 1

IP = {Esce il quattro} = 1/6 = 0,1666... ≈ 17% ≈ 16,7%.

E = esce un numero pari.

IP[E] = #{2, 4, 6}/#Ω = 3/6 = 1/2 = 50%

E = esce un multiplo di 3 = {3, 6}

IP[E] = #E/#Ω = 2/6 = 1/3 ≈ 33% ← nota bene

ATTENZIONE: la probabilità è sempre minore di 1 (≤1).

Contiamo i sottoinsiemi

φ (evento impossibile) 1 ← perchè uno solo è l'insieme vuoto.

{ω} 6 ← per