Appunti del corso di Statistica

Statistica

Esame svolto da oratori lingua orale. Si potrà portare il materiale.

mail: insert. diretto @ unige.it

Nella statistica cerchiamo di spiegare le cose che non sono deterministiche.

Le chiamiamo: esperimenti casuali aleatori randomici.

Descrivono una realtà perciosa che se ripetute nelle stesse condizioni producono risultati diversi.

L'insieme di tutti i possibili risultati in denomega.

SPAZIO CAMPIONARIO. Appunto.

Ω - Insieme di tutti i possibili risultati.

Spazio campionario.

ω ∈ Ω con ω = risultato o evento elementare.

Esempio moneta:

Ω = { T, C }

testa o croce per una moneta.

Esempio dado:

Ω = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } per un dado.

ℕ \ { 0 } = { 1, 2, 3, ... n } tentativi prima di un particolare evento.

Esempio call center:

Ω = [0, T₀] T₀: tempo max di attesa.

In questo caso il risultato è finito o numerabile.

Un evento è una collezione di possibili risultati in Ω.

A questo una volta finito l'esperimento.

Con una stringa di bit. (Codifica un’istruzione al computer)

{1, 3, 4, 5}

2⁶ = 64 probabilità per una stringa di 6 bit.

Ora però si può fare una considerazione geometica per intero e sottoinsiemi.

0 ≤ |P[E]| ≤ 1

|P[Ω]| = 1

C*) E∩F eventi E∩F = ∅

P [E ∪ F] = P [E] + P [F]

Riappresenti E come sottoinsieme del piano, posso interpretarlo

|P[E]| come AREA.

0 ≤ |P[E]| ≤ 1

|P[Ω]| = 1

Proprietà (si verificano bene con considerazioni geometriche)

a) P[∅] = 0

b) P[E^c] = 1 - P[E]

(fa togliere poche sopravinioni, ovviamente non 2 volte)

con E ∈ ℑ

c) P[E ∪ F] = P[E] + P[F] - P[E ∩ F]

con E, F ∈ ℑ

d) P[E] ≤ P [F] E ⊆ F (Perché E sottoinsieme di F)

E, F ∈ ℑ

Dimostrato punto c)

E = (E∩F) ∪ (E \ F) ; (E∩F) ∩ (E\F) = ∅

F = (E∩F) ∪ (F\E) ; (F∩E) ∩ (F\E) = ∅

Sono disgiunti.

buona approssimazione della funzione

esponenziale nell'intorno di 0 (x piccolo).

ovvero: e^x = 1 + x - formula simmetrica quando -

|X| << 1.

dato questo:

|P[Eᶜ] = 1 - |P[E]

posso fare:

|P[Eᶜ] ≈ e^-ᶯ ⋅ e^(- ¹/₃₆₅ ⋅ ... e^(- ^ᶯ/₃₆₅ con |m|/₃₆₅ << 1 questa approssimazione

va bene.

= e^[- (0 + ¹/₃₆₅ + n-1⁴/₃₆₅]

= e^{0+1+7+...+n+1}/₃₆₅

= e^{- (n-2)_n/(₃₆₅)/2} = e^{- 1/₃₆₅ (n-2)n/2}

probabilità ma all'aumentare

vince nessuna delle persone al numero di probabili-

numero anche nello stesso tità aumenta quasi

giurno è buona quadraticaementa.

Quando si dà persone cresce, crescono le

serie.

Altro esempio:

lancio una moneta equilibrata finchè non esce testa, qual'è

la probabilità che non mi fermo mai?

E = esce sempre croce |P[Eᶜ] = 0. e^equilibrata prima o

può dare "testa".

E₁ = esca croce al primo lancio

E₂ = escono due croce nei primi due lanci.

E_n = n croci nei primi n lanci.

...

C-C...

C-C-C...

a)

Estrazione delle palline dall'urna e rispetto l'ordine.

con k ≤ n

perchè quando estraggo le n palline ho finito

Palline che può avvenire solamente con i numeri fattoriali.

Permutazioni

• (n) (n-1)... (n-k+1) !
• n(n-1)(n-2)... (n-k+1), (n-k)!

Permutazioni.

b)

Se non voglio ordinare:

Scegliere prime k t

Facile scegliere prime k t

b

Se non voglio ordinare:

Se non mi interessa l'ordine le considero in ordine crescente.

ricordando che 0! = 1

Quello con l'ordine sono le permutazioni

Senza l'ordine sono le combinatorie.

c)

• n.k ... nⁿ = n^k
• k fattori

d)

x₁, x₂,...xₖ ∈ {1,...n}

0 1 2 3

• {1,2,3,3}
• {1,3,5,6}

in questo caso palline colorate

(Non ci sono ripetizioni)

(X₁ + X₂ + X₃ + 2)

(3+1=)

= nᵏ

Multiplo di permutazione

Proprietà di eliminazione con ripetizione

{CE,)tent, come non ripetizione}

Altro esempio:

6 persone = k

3 stanze = n

Possibilità di combinare le stanze. Qual è la possibilità di non avere stanze vuote?

Metti in un primo disporre le 6 persone.

#MODI = ^(n+k-1) C_k = ^(3+6-1) C₆ = ⁸ C₆ = ⁸ C₂ = 8·7/2 = 28

#CASI FAVOREVOLI = ^(n+k-1-n) C_(k-n) = ^(k-1) C_(k-n) = ⁵ C₃ = 5·4·3/3·2·1 = 10

P(Tutte le stanze occupate) = 10/28 ≈ 36%

= 12/28 ≈ 43%

modi

n stanze

k persone con vuote h stanze

^(n+k-1) C_k = ^(k+h-1) C_k = ^(k-1) C_(k-n)

Probabilità condizionata.

Mazzo di 52 carte con 4 semi. Due carte estratte.

P("entrambe fiori") = ¹³ C₂/⁵² C₂ = (13/52)·(12/51)

P("entrambe fiori") prima estratta = 13/52

Esempio

Mazzo di 52 carteQual è la probabilità che la seconda sia fiori.

E = 1^a esce fiori ¹³/₅₂ = ¹/₄

F

1^a esce carta fiori     P[F|E] = ¹²/₅₁

E = non esce fiori

2^a esce carta fiori     P[F|E̅] = ¹³/₅₁

³⁹/₅₂ ³/₄

P[F] = ¹³/₅₂      P[E]               ³⁹/₅₂      P[E̅]                P[F|E]¹²/₅₁         P[F|E̅]

P[F] = ¹³/₅₂¹²/₅₁ + ³⁹/₅₂¹³/₅₁ = ¹³(¹² + ³⁹)_{52 • 51} = ^{13 • 51}/_{52 • 51} = ¹/₄

Ipotesi di avere 3 possibili eventi:

• E₁, E₂, E₃ ∈ Ω (globalmente esaustivi)
• E_i ∩ E_j = ∅ con i ≠ j (anche sono due mutuamente esclusivi)

Graficamente :

Formula

probabilità totale

Dato una famiglia di eventi E₁, E₂, ..., E_m a due a due disgiunti \[E_i ∩ E_j = ∅\] con i ≠ j tale che Ω = E₁ ∪ E_n

Per ogni evento F:

P[F] = P[F|E₁] + P[E₂] P[F|E₂] + P[E₃] P[F|E₃] + ... + P[F|E_n] P[E_n]

(Testo di cui anche un insieme di indici dato da \[E_i ∩ E_j = ∅\] disgiunti.)

Qual è la probabilità che abbia votato paperino

sapendo che ha risposto al sondaggio?

1. Prendere solo i casi in cui rispondono

Supponiamo che rispondano e che le risposte siano sincere.

Probabilità di “PAPERINO” rispetto a “TOPOLINO”:

P("PAPERINO" | "TOPOLINO")

E

⁴⁵/₁₀₀ + ⁴/₁₀   =   ¹⁸⁰/_180+165   = 52.2%

Esempio / esercizio.

Gioco al poker con 52 carte.

Qual è la probabilità di fare scala reale.

Qual è la probabilità di fare scala reale sapendo che la prima carta è un asso di fiori.

1. E = scala reale.

P(E) = ⁴/_⁵²C5   =   4:5! / 52·51·50·49·48

  ≈ 4·10⁻⁶

1. F = asso di fiori.

P(E|F)   =   1 un asso escluso ai semi fiori   =   4:1 / 51·50·49·48

  =   4·10⁻⁶

Avendo l'asso di fiori uno delle carte della scala reale è già usato quindi la prob. che alla fine di avere scala è maggiore. Mi servono solo altre 4 utili, prima ne servivano 5.