Appunti Costruzioni Meccaniche

Costruzioni Meccaniche

Analisi cinematica

• Punto materiale

P = un punto libero di muoversi nello spazio di cui sono note le 3 coordinate.

→ Un punto materiale P nello spazio ha 3 gradi di libertà (g.d.l.)

P è posto sul piano xy → 1 c.e.v. 2 g.d.l. residui

P è posto sulla retta con coordinate (xp,0) → 2 c.e.v. 1 g.d.l. residuo

P ha 3 coordinate fisse → 3 c.e.v. 0 g.d.l. residui

• Corpo solido

  costituito da un numero infinito di punti materiali. Per definire la posizione si considerano 3 punti appartenenti al corpo solido non allineati.

A (x_a, y_a, z_a)

B (x_b, y_b, z_b)

C (x_c, y_c, z_c)

3 x 3 = 9 gdl

• Corpo solido rigido

  costituito da un numero infinito di punti materiali la cui distanza reciproca non varia. (corpo indeformabile)

Per definire la posizione

A (x_a, y_a, z_a)

B (x_b, y_b, z_b)

2 x 3 = 6 gdl

È sufficiente conoscere le coordinate di 2 punti.

• Corpo solido rigido monodimensionale sul piano: trave

Ipotesi:

• H << L
• B << L

Casogenerale:

Per definire la posizione di un punto P occorrono x_p, y_p, z_p

3 gdl

NB: Una trave così rappresenta un caso reale in cui astrazione così le proprietà viste sopra.

Teorema di Eulero

Vale in presenza di un solo corpo rigido.

• Lo spostamento di un corpo rigido sul piano può essere visto come una rotazione istantanea del corpo attorno ad un punto detto centro assoluto di istantanea rotazione (C).

_{vettori spostamento}

• Se C esiste → sistema mobile
• Se C non esiste → sistema fisso

Esempi

1. • Cerniera
   • Le due rette perpendicolari ai vettori spostamento sono sovrapposte e convergono nella cerniera.
   • Il centro assoluto di istantanea rotazione è la cerniera.
2. • Appoggio semplice
   • Rotazione avviene attorno al punto di appoggio.
   • La traslazione ha il suo centro assoluto di istantanea rotazione a ∞.

Per un corpo rigido appoggiato si può solo dire che C giace sulla retta verticale che passa per il punto di appoggio.

3) C₂

C₁, C₁, C₂ non allineati ISOSTATICA

È ancora un arco a 3 cerniere non allineate il corpo rigido può avere una forma qualsiasi:

a) C₁, C₃, C₄ allineati

LABILE

Labile e Isostatica (arco a 3 cerniere allineate)

5)

A

B

D

or

• 3 corpi rigidi ⇒
• Corpo 1 fisso

C

Il può immaginare così:

arco a 3 cerniere non allineate

(fissa e isostatica)

• u = 3
• gdL = 3 (isostatica) (B anza o o )

  Czv 3 + 2 + 2 + 2 - 3 = 9 _isostatica C

  Esercizio

  Arco a 3 cerniere non dilatate

  • FISSA e SOSTATICA
  • Sollecit.

  (1) Σ Fx = 0 ⇒ Rax + Rcx = 0

  (2) Σ Fy = 0 ⇒ Ray + F + Rcy = 0

  (3) Σ Ma = 0 ⇒ F L/2 + M + Rcy L = 0

  → (3) ⇒ Rcy = Fv_u 2L

  → (2) ⇒ Ray = 3 F u/2 L

  → Consideriamo il fatto che la struttura sia formata da 4 corpi rigidi collegati da una cerniera interna. Reazioni vincolari delle cerniere:

  Non deve reagire con un momento (la rotaz. relativa è libera)

  R_ay R_by R_cy

  R_ax R_bx R_cx

  Reagisce con forze verticali e orizzontali

  principio distacco/reazione

  → Proseguo esercizio:

  Apro in B e guardo a sinistra

  Scomposizione

  Σ Fl_ob = 0 ⇒ R_aj L - Rax L - Fl = 0

  R_ay = 3 F u/5 L

  ⇒ Rax = E - cu 4 2L

  [R_ay + R_bx] non ci interessano

  Da (1) R_cx = -m F 2k F/5

  Ipotesi:

  • b << h
  • H << L

  Configurazione in equilibrio

  1. Corpo libero

  1. ∑Fx = 0 → F - N = 0 → N = F

  2. ∑Fx = 0 → N - F = 0 → N = F

  N è negativo quando è ENTRANTE dal concio di trave che si considera (sforzo di compressione)

  Diagrammi delle azioni interne (o delle sollecitazioni)

  N negativo

  N positivo (trazione)

  Continua A(zioni) Interne (Momento Flettente)

  • B < sub >C< sub >< sub >L< sub >
  • < sub >M< sub >f< sub >0< sub >= - u + uLg = 0 < sub >M< sub >f< sub >= uL
  • < sub >M< sub >f< sub >< sub >A< sub > + uA = u < sub >B< sub >

  Azione interna: Momento flettente

  Doppia rappresentazione grafica

  • < sub >M< sub >f< sub >= uL
  • Non si indica il segno: qui si rappresenta delle fibre tese (in questo caso quelle superiori)

  Attorno a quale asse sta avvenendo la flessione?

  1. < sub >M< sub >f< sub >< sub >x< sub >z< sub >
  2. attore asse incurvato

  < sub >d< sub >f< sub >= < sub >sigma< sub >x < sub >d< sub >A

  < sub >d< sub >M< sub >f< sub >< sub >x< sub >z< sub >= < sub >d< sub >F< sub >< sub >z< sub >· < sub >y< sub>

  < sub >del< sub >", < sub >sigma< sub >

  dA

  • N3 : le (assioni) sono equamente distribuite (sopra l'asse sono uscenti sotto entranti)

  Punto B:

  (σ_x)_B = N/A = 8,33 MPa (traz.)

  (σ_x)_B = M_yB * z_t / J_zz = M_xB * z_w / J_zz = 250 MPa (compress.)

  (σ_x)_B = (σ_x)_med + (σ_x)_+f = 8,33 - 250 = -166,7 MPa (compress.)

  Punto G:

  (σ_x)_G = N/A = 8,33 MPa (traz.)

  (σ_x)_G = M_yB * z_g / J_zz = 0 = 0 = 0 MPa

  N.B.: L'asse neutro non coincide con l'asse del baricentro come in a flessione da forza applicata sull'asse

  Esercizi

  1. Dimostrare che è isostatica. reaz. vincolari e diagrammi forze interne.

  Questa condizione è rispettata da (2), che essendo un corpo rigido forma una parallelogramma di manovra attaccata (inclinazione componente verticale di spostamento di (3) = FISSA

  • FISSA
  • FISSA + FISSA = STRUTTURA FISSA

  - cev: 1 + 2 + 2 + 2 + 2 = 8

  - gle: 3 x 3 = 9

  STRUTTURA ISOSTATICA

  Apro in 3 e guardo a sinistra.

  Apro in C e guardo sopra.

  Sigma(Fx) = 0 R1x - REx - 2F = 0

  Sigma(Fy) = 0 R3y + RBY + REy = 0

  Sigma(Ma) = 0 FL + RAy - 0 - REx

  REX = F

  ΣF_x=0 ⇒ 33qL/20 - qL + T=0 ⇒ T=−33qL_{(T C0)}

  ΣF_x=0 ⇒ 33qL/20 + N=0 ⇒ N=−33qL_(conserv.)

  ΣF_y=0 ⇒ 33qL/20 − qL − 2qL + T=0 ⇒ T=−7qL/20_{(T C0)}

  ΣF_x=0 ⇒ 33qL/20 + N=0 ⇒ N=−33qL_(conserv.)

  ΣM₀ = 33qL·2L/20 − 33qL·L/20 + qL2L − qL·3L/2 − 2qL·L+U_xF=0

  ⇒ U_xF = 7qL² / 20

  ΣF_y=0 ⇒ 33qL/20 − qL − 2qL + T=0 ⇒ T=−7qL/20_{(T C0)}

  ΣF_x=0 ⇒ 33qL/20 + N=0 ⇒ N=−33qL_(conserv.)

  ΣM₀ = 33qL/20 − qL − qL=0

  ΣM_μ=0⇒33qL/20−q²

  ΣF_x=0 ⇒ 33qL − qL −T=0 ⇒ T=−33qL_{(T C0)}

  ΣF_x=0 ⇒ 33qL − qL − qL + T=0 ⇒ T=−7qL/20_{(T C0)}

  ΣF_y=0 ⇒ 33qL − qL − qL + T=0

  ΣM₀ = 33qL·34 − qL − qL=0

  Nota: T non viene calcolato perché pure se disegna comunque, anche U_x sempre calcola.

  Bisogna dedurre come finale