Riassunto corso scienza delle costrizioni

RL L

Attenzione

Come sappiamo le cardinali sono condizioni sì necessarie ma sufficienti solo nel caso di assunzione di

corpo rigido che però non è il nostro caso. Dobbiamo quindi trovare un modo di conoscere le forze interne

Definizione di Tensione

Prendendo sempre il mio corpo continuo, posso considerare un punto appartenente e per quel punto

far passare un piano normale, ottengo quindi una metà del corpo in cui posso trovare le reazioni vincolari

interne sotto forma di forze esterne: Dove:

• Risultante delle

:

forze

• Risultante dei

:

momenti ∆

Posso quindi andare a trovare le forze nell’introno di imponendo:

=

∆

∆→ 32 %

[/ ]

()

Introduco un vettore che chiamo Tensione con U.d.m. .

5

La scrittura indica che il vettore è sulla giacitura (piano) di

()

5

= ()

normale

∆

∆→

La prima osservazione che possiamo fare è che:

()

= − ()

5 M5

La tensione è uguale ma diverso opposto sul

piano opposto

Rappresentazione del vettore Tensione

Ho due modi principali per rappresentare il vettore tensione:

• Lungo gli assi coordinati: Componente di tensione in

+" valutata sul piano (di

()

= E →

+#

+ +! normale in direzione

)

+$ della componente

• Mi posso riferire ad un sistema di riferimento in cui il 1° asse è in direzione della normale e gli altri

due li prendo a scelta sul piano che ha per normale la direzione del primo asse:

in questa rappresentazione posso allora fare anche la seguente

distinzione:

55 → tensione normale

= N → Û

5&

5 → tensioni tangenziali

/

5X

In questo caso posso trovare una tensione totale come: % %

= ¿ +

5& 5X

Teorema di Cauchy

“Dato un punto posso conoscere il valore delle tensioni lungo una qualsiasi giacitura se conosco il valore

delle tensioni speciali, ovvero le componenti della tensione lungo le tre giaciture coordinate passanti per P”

5> >> %> $> >

= õ ö = ÷ ø õ ö

5% >% %% $% %

5

5$ >$ %$ $$ $

Componenti di Coseni direttori

tensione sulle Componenti speciali

componenti ⊥ di tensione 33

Fondamentalmente mi riduce il problema dalle infinite tensioni che potevo trovare (visto che si parla di

orientazione arbitraria) a fondamentalmente conoscere le principali sui piani (o giaciture che dir si voglia)

coordinate

Dimostrazione (non penso sia importante)

Consideriamo un tetraedro:

Posso quindi andare ad esplicitare le componenti dove il piano colorato in verde ha normale , su

−

questo piano posso andare a scrivere le componenti

della tensione sulle direzioni coordinate:

lungo la direzione opposta ad (perché il

:

o >

piano ha normale entrante)

lungo la direzione opposta a

:

o %

lungo la direzione opposta a

:

o $

Faccio la stessa cosa per gli altri tre piani:

Piano rosso: ha normale −

o

Piano viola: ha normale −

o

Piano giallo: ha normale (visto che è il piano

o ad orientazione arbitraria)

Posso anche definire:

elemento di area individuata dalla normale

:

proiezioni dell’area sulle

, , :

giaciture coordinate.

Esempio nel piano :

Guardiamo la stessa cosa nel piano per fermare Equilibrio alla traslazione del tetraedro

il concetto. Posso scrivere l’equilibrio alla traslazione del tetraedro:

Partiamo dalla direzione :

>

∙ = ∙ + ∙ + ∙ −

ÐÑÑÑÑÑÑÑÑÑÒÑÑÑÑÑÑÑÑÑÓ

5> >> > %> % $> $ > >

_).#+ *:5<) 1 $ Forze di massa (o di

Mi accorgo: volume). Non

intervengono perché

' = sono un infinitesimo

'

superiore 34

Ovvero il rapporto è uguale al coseno direttore della normale .

Quindi riscrivo le equazioni nelle 3 direzioni:

= + +

5> >> > %> % $> $

= + +

N → = ∙

5% %> > %% % %$ $ 5? '? '

= + +

5$ $> > $% % $$ $

Ottengo quindi una matrice che posso esplicitare:

5> >> %> $> >

= õ ö = ÷ ø õ ö

5% >% %% $% %

5

5$ >$ %$ $$ $

Componenti di Coseni direttori

tensione sulle Componenti speciali

componenti ⊥ di tensione

Equilibrio alla rotazione (dimostrazione matrice simmetrica)

Andiamo a scrivere le equazioni di equilibrio alla rotazione, per fare ciò introduciamo una retta parallela

alla direzione passante per il baricentro della faccia con inclinazione arbitraria:

% le componenti di tensione normale che incidevano sul

piano non hanno braccio (visto che la retta passa per il

baricentro di ).

Sulle altre ho, per esempio, sulla faccia 1:

• non ha braccio

→

>> >

• non ha braccio

→

>% >

• ha un braccio

→

>$ >

Le componenti della faccia 2 non hanno braccio visto che

la retta è parallela ad e passa per il punto in cui

%

scompongo le componenti

L’unica componente che sopravvive per la faccia 3 (come

per la faccia 1) è:

$> $

Quindi posso scrivere il bilancio alla rotazione come:

2 2

=

Ð

ÑÒ

ÑÓ

>$ > > $> $ $

ÐÒÓ

3 3

`).#/ =./((')

71 71

$ %

Mi accorgo che = = → di conseguenza → σ =

> $ >$ $>

$ $

Quindi applicando l’equilibrio alla rotazione ottengo:

σ =

'? ?'

E quindi scopro che la matrice dell’equazione che avevo trovato sopra è simmetrica. 35

5> >> %> $> >

= õ ö = ÷ ø õ ö

5% >% %% $% %

5

5$ >$ %$ $$ $

Si può dimostrare (come avevamo già fatto) che la matrice è in realtà un tensore (si dimostra guardando

che cambiando il sistema di riferimento il tensore cambia seguendo la legge dei tensori per il cambio di

S.d.r.) il tensore prende il nome di tensore delle tensioni di Cauchy e lo indicherò con .

= ∙

#

Fine dimostrazione

La tensione normale:

= ∙ → equivale →

5 5

Che se applico il teorema di Cauchy: 9

= ⏟

∙ →

ý

∙ Forma bilineare

⏟

5 5

(>,$) (/:(N"

($,>)

La tensione tangenziale (principio di reciprocità):

Dati due versori perpendicolari è sempre vero che

, =

35 53

Uguali ma opposti, in maniera formale: 9 9

= = =

3 5

Ovvero la tensione tangenziale sulla faccia perpendicolare a in direzione è uguale alla tensione

tangenziale sulla faccia perpendicolare a in direzione Prende il nome di principio di reciprocità delle

.

tensioni tangenziali.

Esempio: Se si inverte la normale si

gira anche 36

Equazione indefinite di equilibrio per il continuo

Relazioni tra carico esterno e sollecitazioni interne affinché ci sia equilibrio di un corpo deformabile.

Quando abbandoniamo l’assunzione di corpo rigido dobbiamo

aggiungere alle equazioni cardinali dell’equazioni che ci

esprimano l’equilibrio tra i punti materiali che compongono il

nostro corpo. !

Equazioni di equilibrio alla traslazione di

Per imporre l’equilibrio alla traslazione internamente posso

!

considerare un generico volume interno e imporre che le

forze agenti sul volume interno siano in equilibrio con le

tensioni agenti sulla superficie del volume interno.

Cauchy

= ∙ →

ä ä

¨ + ¨ = 0 → ¨ + ¨ ∙ þ = 0

5

& &

L RL L RL Assomiglia ad

un flusso

Applico quindi il teorema di Gauss: ¨ → ¨ = 0

'? ? '?,?

& &

RL L

Dove si è usata la nomenclatura = ,

Posso unire gli integrali ä

¨ + = 0

'?,?

&

L

Visto che l’integrale non può far 0 per colpa di uno specifico volume, si può imporre con certezza:

ä + = 0

'?,?

Da cui ottengo le equazioni di equilibrio alla traslazione indefinite per il continuo:

+ + + = 0

>>,> >%,% >$,$ >

+ + + = 0

%>,> %%,% %$,$ %

+ + + = 0

$>,> %$,% $$,$ $ 37

Equazioni al contorno

Con “contorno” si intende la superficie che delimita il mio volume. Andiamo quindi a vedere le equazioni

ç.

indefinite al contorno Sul contorno agiscono le forze

.

L’equilibrio quindi, lo posso scrivere:

ç â

∙ = → =

'? ? d

Equazioni indefinite

In definitiva posso raggruppare i due risultati e ottenere l’equazione indefinite di equilibrio per il solido

generico. â

+ = →

,

— â

= → .

e Forze di superfice e volume,

Grandezze rappresentative delle applicate al corpo

sollecit