Appunti corso di Matematica 1

TAS OMEDIODIVARIAZIONE~f. i

-

• )

) )

Plxoiflxo Hoth

) fcxoth

a ,

)

)

flxoth

pendenza fcxo

= -

media -

flx ER

) azza b

a

= ,

di

medio variazione

tasso

flxoth-nflxd-ealxo-htb-alxotb-h-ahf.ci

tasso

il

è medio variazione

di

Cxo

tasso di )

f

istantaneo '

variazione

#

al 0 070 no

b) 0

-

2×2

)

fcx e variazione

medio di

tasso

zlxothY-2XOT-o.2htnhxoh-e 2h-4xoh.is#

÷

" :

'

407

limo '

4×0 f )

fcxo 2×02

XO

4

1- 2h →

=

e =

ÈÌ¥EÉ "

" "

TASSOISTANTANEODIVARIAZIONELCO

eficente retta tangente

angolare della

)

p

in fGoh¥fG

Iim derivata

' Go ) in

f-

MIO XO

con

esempio

G)

f- 3×-12

= di

tasso variazione

medio (3×0+2)

)

fGot¥fC 34ohm -12 -

= -

-12/-3×0/-21

/ # 3h

= =3

a -

tasso di

istantaneo variazione

)

FLXOTN FCXO 3

) Limo

Iim µ-=f

-

naso

flx

) è

=

medio di variazione

tasso

flXOttD-fCxDe@Xoth.qXO cileni

-

h - -

n

di

istantaneo

tasso variazione

Leif

Limo e'

TASSOISTANTANEOEDERNATAOU

al grafico

tangente

retta

azione di

)

lxo flxo

)

in

f :

, '

)

flxo xD

lxo )

tf (

y X

= -

esempi lungo

oggetto traiettoria

moto

in una

rettilinea legge oraria

con )

slt

a- velocità

) dell'

Lt

s' oggetto

=

funzione f derivabile

dice

ricorda si

una in

: ed è finito

esiste

se

Xo ) )

Iim flxoxh fcxo

-

-

ha 0 h

esempio x2

G)

f- a

=

tasso di variazione

medio alxot

Hoth '

ffotMn-fl )

a -

= -

1

# -9¥

)

tsxohth

ah

29×0 +

= -

h

ah )

Info '

-129×0=20×0-7 Ho L

ahahhaha

:#

9-

ah

↳ +

oso

fcx

) 2×2+3×+2

= di variazione

tasso medio

flxotht-fl.to ?-=n--2lxothYt3(Xothf 2-(2xo2-i3Xo-#

| Xoh

2ha 3h

+

+4 2h -14×0+3

=

= _

h di

ricorda Il variazione

medio delle

tasso

: dei

la medi

'

somme somma

e tassi

!

variazione

di

Iim -14×0+3 4×0+3

2h =

0

↳ axrtbltc

)

fcx =

medio di variazione

tasso )

attutiti

oixotaxohth

✓

ohtahtbh ahtb

= 2 29×0 +

=

a- variazione

di

istantaneo

tasso )

'

f lxo tb

29×0

=

'

)

flx TBXTC

ax

= di

tasso medio variazione

' )

blxoth

Goth

) ( )

t axcitbxotc

a tc -

ahahah

Zaxoh

= +

! -

ahtb

+

zaxo di variazione

istantaneo

tasso

' xD

f- ( otb

2

=

DERIVATE

fCx)CEf

/ |

C O

X 1

?

È

" È "

:

aer.no 9×1099

à ato

909 IN

log +70

X

X ,

e )

, ( xfoga

foga 1

dio ah NO

X ,

,

I l

flx

) X

= * Xk

di

medio rx

tasso variazione =

Hhj

feoth)jf ÈÌÈ

1¥42 -1

=

= ;

.

) {

)

kglx

flxo KER I

×

= = a

#

È

tasso variazione

di =

medio =

kgcxothn-kg.lt#=k.glXothI-Xoh

IK di

medio

tasso

. variazione

di

tasso di

medio medio

tasso

K

= .

variazione di f di

variazione g

variazione

istantaneo di

tasso di

medio

Info KIYO

tasso =

flx

variazione )

di

È ftp.kge '

film

) e)

ekg

' t'

) cxltfcx

fa ) e)

glx )

flx =p

+ )

=

•

derivate

+18 18×17

fila

)

fli

) =

= FSÌ

flx

) )

file o costante

è

- una

= →

fu )

fica ¥

log

=3 X =

f- '

) f A)

Lt 7×-4 7

e =

'

f

) G)

Ht 2×+4

f- 4h18

lx =

= di

Micah

tight # fa

flat 90gal

foga X

[ = =

:( }

D NO

x : logcb

logac

logab = . Xtlogaeif

fogexflxtlogae (

10gal

f log

= - -

(

eheh I E

%

= 2×-110

2×-1

{ se

12×-11

)

te = (2×-1) lo

se 2×-1

-

finissi :

:

*

ezf

I ;

t'

tu o

*

LÌ ÌIO

fai xothex.io

{ toh se

di variazione

medio

tasso

fGothnf = xothexo CO

se

-

'

=p :[ :

÷

.

?

0

+ =

O

Xe - -

1

O X

×

-

medio di 0

variazione

tasso con a-

ftp.t#-fxd=flN-nfld-dhnt *

=

ho

È

{ -1

* In lo

h

-1

- =

# !

' ! %

¥ :*

!

= :

o ,

in XO

:÷#÷

÷ :

: tangente +0=0

in

Pz

•

I

I 1

←

•

Ps Ps

derivata

la

esiste prima

in non

Xz

te X }

,

, )

FG angolosi

di punti

poi Pz P sono

}

,

,

ALGEBRACIEHEDERNATESI OMO

b)

(a) derivabile

R

:

f g →

, intervallo così

Il dominio è aperto

un b)

(a) possibile

è

e

preso Xo di

valori h

definire anche

cui

i per

(a) b)

Xoth

il e

punto flg

ftg

Allora anche f- g sono

, ,

dominio

derivabile nel loro

' '

( '

)

ftg f Ig

= fig

f- g) '

fg

+

=

④ ' '

'

g) f fg

g-

= g-

h derivabile et

f g

con

og

= ) allora

derivabile glx

in

' )

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f- )

'

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o =

Monotonia nella

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I-p.IR LI è

: un

reale

retta )

dice

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allora monotona

si :

)

flxn )

crescente Eflx

se

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fondata

strettamente

* crescente se

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a) tcxr

decrescente f

se z

- flxdafc.at

strettamente decrescente se

*

* - è

* crescente

St

se ,

.

< X2

per ogni è anche

Xp crescente

decrescente

' St

e

*

* se .

è anche

decrescente

^ •

i ' l

\ • I

' 1

i

iii.

i '

l

/ i

a Yo Xp X2 XU Xs ' 6

! f-

tela ?

b) strettamente ¥

crescente

{ , debolmente

crescente

è ?

monotona

b) ?

è

tela monotona

, globalmente

risposta ma

no

: ,

XD [

XD ]

43

[ 'st

XO f

Xs ho →

, ,

, ,

(a) EIR

f- axtb b

a

= , 070

b) O

÷

670

- .

ft

ft ato

zo

a .

:

ftst ftst

970 lo

: a

:

' EIR

)

flx ax

> a

f-

070 o

a-

LO

9

ft HO

970

: allora

dipende

VX

a da aedax

ALO XEO la

come per

derivata

in

flcx

) Zax

=

3

e)

f- #

= X.

970

lo

a

ti

ft 970 EX

9=0 ft

Gio

)

' 39×2

f LX =

LEGAMETRAMONOTONIAESEGNODEUADERNATAPR.it

funzione

f di allora

f '

dotata

una

se e ,

è t'

crescente

f solo G)

se zo

e se

- f t' Hoo

strettamente crescente

è se

- )

f file

decrescente EO

7

è ⇐

- fila

f decrescente

è co

St ⇐

- .

esempio '

ftst f > o t' 4)

che

è

stst 70

vero

non

ma filxco

perchè c' anche

e

=P

)

flx

'

f ' 3×220 ha in una

Ho

x orizzontale

tangente

Funzionano »

ta

" "

E- his ]

tu Io

+ 1

t

+ e

= ,

f- O X I Xz

XE

f- 1 di

Olt LXL Xr

41 Xp

)

G- xD

f (

tflxn t

) immagine che

+ → la retta

passando

ha a

te

per

]

[ A

f G- x2

tu + tflxdxl-hflxdefftxrfl.tl xD

f- quando

concava

è [ ai

tt e

¥ I

Xi E

XL

,

CONCAVITÀCCONVESSITÀSI

( nella

f intervallo retta

I è

I R

a un

→

: )

reale )

concava

( (

Allora convessa

f dice

si se

(E)

4-

fltx f)

tflxdtl-hflxdfsidicestret lst.convessdseflthtl.t

xD

+

, tflxdtu-hfc.nl

xD (c)

) ⑦ )

[

I ogni

E te 0,1

ogni per

Xz

per xn e

,

→ )

'

film

) 43

zf

'

Zf

FI al '

f

legata

è di

segno

fra "

al

legata f

di

è segno

DERNATEDIORDINESUCCESSNOALPRIMOSC

) derivabile

fa è funzione si

una

definisse derivata seconda

'

# AD

" LA

f =

G) FGX

X2 "

es f D:

te NO

= -

' ) '

f- te

lx x-p

¥

2

= X zia

- →

A)

" ex

' a +

= 1

X2 =

'

# n'

M' '

y

)

k ④

=

dotata ' "

f- f

f

di e t' l'

f-

f- '

è è ho

decrescente

e

concava

[ f è "

f

concava 0

( E

f è ' decrescente

stretto stretto

f

concava e

. %

(f) ' fstreh

lo concava

.

" la

f

concava "

f

convessa zo EIR

Xtb

)

flx b

a a

= , :

•

÷

) )

f)

e) )

fltxpt G-

f- )

lat

tflxp flxq

Xa e t

=

' G)

f a

=

" G)

f convessa

2

O →

= ↳ E concava

flx

) ah EIR

a

=

+

G)

'

f- 20N

=

Lt

)

f- " 29 stretti

a convessa

o

convessa >

orzo

= convessa

a- conc

o e

↳ .

Io concava Street concava

aco .

Se f fef

funzione dotata "

è di derivate

una "

è f)

f- è

f

7 decrescente

concava ⇐ "

f f A)

è e 40

concava

f- " f è

Lx

) stretta

co concava

' )

è

f lx

f è

connessa crescente

f- è " )

(

f

connessa 7

⇐ x zo

" è

A)

f- f stretta

o

> convessa

Limite limite generale

di )

in Infatti

operazione -1

ha significato quando

anche p Io

a =

,

( )

a

es 2

= , .

. .

{ 2)

X

a ×

: >

=

¥ ht XEA XEK

K : illimitatamente

se dice

a superiormente

si piccolo

più

il di

è a

supera tra maggioranti

i

= a

super

es co

+

: =

5)

(2)

A

es =

. e

maggior di K 6

ante A

K -100

K

: =

estremo a

superiore -5

]

(

A 2,5

es =

. -

5

2

maggioranti -6

K

di K Keith

:

5 A

a

Super -5 C- ] chiamato

viene max

dell' insieme a

f

Q co

±

=

, l'

+ indica

o estremo superiore di un

insieme destra

illimitato a sinistra

a

a

- i , EIR

definisce U

intorno di

si centro a

)

indicato Ulair

raggio r

e , )

Utica intervallo

di ' ogni

intorno co e

+ Mitch )

destra ( (

illimitato MEIR

a )

to intervallo

di

v ogni

intorno • è

- ) )

illimitato sinistra MEIR

(

fa M

a ,

1)

(2)

U 1

2

a r

= =

1 -1

. .

.

-

3

1 2

( ( )

) )

4,3

2,1 2h

✓ 2.1

= =

,

) )

GO.to

fico

U =

#

) fa 5)

fa

U = ,

e-

G)

f- -12

X

=3 :

÷

→ a-

-

-

.

}

e --→ tata

Ìn

:

Nella definizione che segue a riferimento a intorni U(a) e U(l) senza

fare distinzione tra numeri e +

limite accumulazione

sia f di

:D ER 112 a

con

→ pto

loghi

D intorno infiniti

di contiene

per

elementi

A

D)

di . ad

limite tende

F che

ammet