Appunti Convertitori DC-DC

Limite tra conduzione continua e discontinua

La condizione limite si ha quando nel periodo T la corrente nell'induttore varia tra 0 ad una certa i come mostrato in Fig. 5.

In questa situazione, la corrente media nell'induttore risulta essere:

-V_L,piccoDT/(2L) = -d₀sI_it/(V_L-V₀) (1)

Allora i diventerà se durante il funzionamento, la corrente media di uscita diventa minore di I_L,B.

Conduzione discontinua con V_d costante rimane essenzialmente in applicazioni come il controllo della velocità di un motore, V_d è controllato modificando opportunamente il duty cicle D.

Al limite di conduzione, tenendo conto che vale ancora V₀dT/(2L) = -s dI_D/(2L), che rappresenta una funzione.

Fig. 5 Andamento della corrente al limite della conduzione continua

parabolica di cui possiamo calcolarne il punto di massimo: dI V T 1( )L , B = − = ⇒ =d s 1 2 D 0 DdD 2 L 2T V= s d (2)I L , B max 8 L e D:da cui si ricava la suddetta funzione parabolica in termini di I L,Bmax( )= −I 4 I D 1 DL , B L , B maxriportata graficamente in Fig. 6. =II L,B 0,BI L,Bmax 0 0,5 1 DFig. 6 Andamento della corrente in funzione del duty cicle, con Vd costanteDisegniamo ora l’andamento di i in conduzione non continua: L 4V L(V -V )d 0 A Ts tB-V 0 iLiL,piccoI =IL 0 tt =DT ∆ T ∆ TON s 1 s 2 sFig. 7 Conduzione discontinua della correnteNell’intervallo ∆ T la corrente nell’induttore è nulla, quindi l’alimentazione sul carico è fornita dal2 scondensatore C. Uguagliando le aree A e B, come nel caso precedente, otteniamo:V D( )− = ∆ ⇔ =0V V DT V T (3)d 0 s 0 1 s + ∆V Dd 1<1. Dalla Fig. 7 si ricava che:dove D+∆ 1 V= ∆0i T (4)L , picco 1 sL+ ∆D == 1I i usando la ( 4 )0 L , picco 2V T ( )= + ∆

^Δ =0 s D usando la ^{(3) (5)}1 12 LV T= ^Δ =d s D usando la ⁽²⁾12 L= ^Δ4 I DL , B max 1da cui ricaviamo il valore di ^Δ :1 I^Δ = 01 4 DI L , B maxed infine sostituendo nella (3), otteniamo: 2V D=0 IV 2 + 0Dd 4 I L , B maxla Fig. 8 mostra le caratteristiche del convertitore step down per entrambi i modi di operare con V dcostante. 5Fig. 8 Caratteristiche del convertitore step-down con Vd costanteConduzione discontinua con V costante0 può variare maIn applicazioni in cui è necessario regolare la tensione di alimentazione, V ddeve essere mantenuto costante modificando opportunamente il duty cicle D.V0 =DV , la (1) può essere riscritta come:Al limite di conduzione, tenendo conto che vale ancora V0 dT V ( )= −s 0I 1 DL , B 2 Lche rappresenta una funzione lineare decrescente il cui punto di massimo si ha per D=0:T V= s 0I L , B max 2 L e D:da cui si ricava la suddetta funzione lineare in termini di IL,Bmax( )= −I I 1 DL , B L , B maxche rappresenta illimite tra la conduzione continua e quella discontinua. A questo punto è utile calcolare il duty cicle D in funzione di I/I. Usando le equazioni (3) e (5), valide in conduzione discontinua sia per V che per V costante, possiamo calcolare: ^d⁄₀ = ¹⁄₂ ⎛ ⎞I_V - I_V ²⁰⁄_{L, Bmax}⎜ ⎟ D = ¹⁄_V - ¹⁄_V ^V⁄_V il cui grafico è riportato in Fig. 9. Fig. 9 Caratteristiche del convertitore step-down con V costante ⁰6 Ripple sulla tensione di uscita Consideriamo il caso della conduzione continua: Fig. 10 Ripple sulla tensione di uscita ∆V₀ = ¹⁄₂ sLV₀ C_C² sappiamo che: con riferimento alla Fig. 4, relativamente all'andamento della corrente nel tratto t_OFF V ( )∆ = -0I₁ DL L da cui: 2T V ( )∆ = -s 0V₁ D ⁰8 LC tenendo inoltre conto che: ¹⁄₁ = ⇒ =f LC ππ ²⁄₂c 42 fLC c1=f m Ts possiamo riscrivere il ripple in funzione di queste due frequenze e calcolare: ²⎞⎛π∆ 2V f( ) ⎟⎜= -0 1 cD ⎟⎜2 ⎠⎝V f0 m

Rappresenta il livello di stabilità della tensione in uscita che deve essere sufficientemente piccolo (dell'ordine di 1e-4). Questa grandezza può essere minimizzata scegliendo f <<f .c m

Schema Simulink

Di seguito è riportato lo schema Simulink Power System Blockset del convertitore step-down controllato con la tecnica PWM unipolare.

Convertitore STEP-DOWN

Vd = 48V

Vrif = 12V

fm = 500Hz

L = 1mH

C = 0.1F

R = 1ohm

i1

+ +- -

g m

LSwitch

Vd + vC

Rmk -

Diodea PWM unipolare

VrifPID 12gate PID

PID1 1Saturation gateSum RelayRepeatingSequence

Convertitore step-up (Boost)

Questo convertitore produce una tensione media di uscita superiore alla tensione in ingresso.

Lo schema elettrico è riportato nella figura seguente:

Li iL 0vLv v Rd 0C

Fig. 11 Convertitore step-up

Quando l'interruttore è chiuso (ON), il diodo è polarizzato inversamente isolando lo stadio di uscita e l'alimentazione fornisce energia all'induttore. Quando

l'interruttore è aperto (OFF), lo stadio di uscita riceve l'energia immagazzinata dall'induttore. Per garantire una tensione costante in uscita, ipotizziamo di avere un condensatore abbastanza grande.

Conduzione continua:

V_LV_dA Ts tB(V -V )d 0 iL tt tON OFFL Li ii iL 0 L 0v vL Lv vv vd 0 0dC CFig. 12 Circuiti equivalenti nei due stati di funzionamento 9

Ragionando come nel caso del convertitore step-down, dalla Fig. 12 si ha:

Ù Ùarea A = area B V t = (V –V ) t V (T –t ) = (V -V )td ON 0 d OFF d s OFF 0 d OFF

da cui si ricava la relazione tra le due tensioni di ingresso e di uscita:

V T 10 S= =V t 1 - Dd OFF

Inoltre, nell'ipotesi che non ci siano perdite di potenza, si ha:

I V0 d= ⇔ = ⇔ = = −P P V I V I 1 Dd 0 d d 0 0 I Vd 0

Limite tra conduzione continua e discontinua:

V L(V -V )d 0 A Ts tB-V 0 iLiL,piccoiL,B tt tON OFF(a) (b)Fig. 13 Limite tra conduzione continua e discontinua

Il valore medio della corrente

Nell'induttore risulta: V_T = V₁₁ ( )d s 0 = = = − = t D 1 D IiI L , B L , picco ON d2 L 2 L2 da cui possiamo ricavare: T V 2S 0 = − = −I (1 D ) I D (1 D )0 , B L , B 2 Lin Fig. 13 (b) sono riportate entrambe queste funzioni i cui punti di max sono: dI T VL , B S 0 = ⇒ = ⇒ = 0 D 0,5 I L , B maxdD 8 L 10dI T V1 20 , B S 0 = ⇒ = ⇒ = I0 D 0 , B maxdD 3 27 Le I in funzione dei loro valori massimi: da queste due equazioni possiamo riscrivere I L,B 0,B( ) = −I 4 D 1 D IL , B L , B max27 ( ) 2 = −I D 1 D I0 , B 0 , B max4 costante, se la corrente media del carico La Fig. 13 (b) mostra inoltre che, per un dato D e con V0 scende al di sotto di I (e quindi la corrente media nell'induttore scende al di sotto di I ), la 0,B L,B conduzione di corrente diviene discontinua.

Conduzione discontinua V LV d A Ts tB(V -V )d 0 iLiL,piccoI =IL d tt =DT ∆ T ∆ TON s 1 s 2 s Fig. 14 Conduzione discontinua + ∆V D( ) 0 1 = − ∆ ⇔ =V DT V V Td s 0 d 1 s V

Dde tenendo sempre conto che P =P si ha: 0 ∆I 0 1= ∆ +I 1 Dalla Fig. 14 la corrente media di ingresso, che è anche uguale a quella dell'induttore, risulta: 0 12 L È interessante calcolare il duty cilcle D in funzione della corrente di carico in funzione di vari valori di V /V .0 d 1⎡ ⎤⎞⎛V V I4 2⎟⎜0 0 0= -D 1⎢ ⎥⎟⎜27 V V I⎠⎝⎣ ⎦d d 0 , B max/V . La curva tratteggiata rappresenta il limite tra conduzione continua e discontinua. Caratteristiche di funzionamento con V costante Ripple sulla tensione di uscita Ripple sulla tensione di uscita Il ripple sulla tensione di uscita è stato calcolato considerando il funzionamento in conduzione continua del convertitore. Tenendo conto che tutto il ripple diIl testo formattato con i tag HTML è il seguente:

corrente che passa attraverso il diodo, 12 fluisce nel condensatore e il suo valor medio fluisce nella resistenza di carico, l'area in nero nella Fig. 16, rappresenta la carica ∆Q. Pertanto, il ripple di tensione può essere calcolato come:

∆V = ∆I * DT / C = V0 / C * DT / T = V0 / C * DT / (1 / fm) = V0 * fm * DT / C

da cui possiamo immediatamente ricavare il livello di stabilità della tensione in uscita:

∆V / V0 = DT / T = DT * fm

Schema Simulink

Di seguito è riportato lo schema Simulink Power System Blockset del convertitore step-up controllato con la tecnica PWM unipolare

Convertitore STEP-UP

Vd = 12V

Vrif = 48V

fm = 500Hz

L = .1mH

C = 0.1F

R =