Matematica finanziaria - Appunti ed esercizi completi

C ′′ ′ ′′

) ) )

+(, − (, 1 − (′, 0

Flusso netto ′′ ))

(,

In poche parole, iniziamo vendendo allo scoperto il titolo con il prezzo più alto (per assurdo e,

siccome vendiamo allo scoperto, in t abbiamo l’incasso del prezzo. Contrattualmente, però, abbiamo anche

’’

l’obbligo di restituire alla scadenza il valore nominale del titolo (esborso di 1). Successivamente,

(, ′))

investiamo il ricavato nel titolo che vale di meno (ossia e questa volta acquistiamo il diritto a

’). ’,

ricevere il valore nominale a scadenza (incasso di 1 alla scadenza All’istante abbiamo la disponibilità

di 1 euro che utilizziamo per acquistare uno zero-coupon bond unitario (valore facciale pari a 1) emesso in

’ ’’.

e con scadenza Analizziamo ora il flusso netto risultante dalle operazioni:

 ′′ ′

) )

+(, − (,

Istante t: è sempre positivo o nullo per ipotesi;

 ′′ )

’: 1 − (′,

Istante è sempre positivo perché il fattore di sconto è sempre minore di 1;

 ’’:

Istante 0. ’

L’operazione è quindi un arbitraggio privo di rischio perché in si ha un ricavo certo e non si hanno mai

segni negativi. Poiché nel mercato non è possibile effettuare arbitraggi privi di rischio deve valere

′′ )

(, < (, ′).

necessariamente la tesi del teorema: )

(, = × (, )

Quarta proprietà e teorema di indipendenza dell’importo:

=

Consideriamo uno zero-coupon bond di valore facciale non unitario . Il teorema di indipendenza

dell’importo afferma che, affinché non sia possibile effettuare arbitraggi privi di rischio, si deve rispettare la

seguente condizione (tesi) per calcolare il prezzo in t di questo zero-coupon bond:

)

(, = × (, )

Il teorema indica quindi che il prezzo del titolo è pari a un portafoglio di zero-coupon bond unitari scadenti

in s e con pari alla quantità di titoli. Il prezzo è quindi ottenuto come prezzo dello zero-coupon bond

unitario acquistato s volte. Anche in questo caso, procediamo dimostrando per assurdo:

)

(, > < × (, )

Per il momento scegliamo il caso in cui fosse maggiore. La logica è identica al precedente teorema e

impostiamo la strategia di vendita e acquisto titoli per realizzare l’arbitraggio:

)

+(, −

A

− × (, ) 1 × = +

B

)

+(, − × (, ) 0

Flusso netto ))

Per prima cosa quindi vendiamo (incassiamo) allo scoperto l’operazione al prezzo maggiore ((,

pagando però alla scadenza il valore nominale ( ). Successivamente, acquistiamo il portafoglio titoli zero-

coupon che valgono meno, ottenendo il diritto a ricevere alla scadenza il valore nominale dei titoli (1)

moltiplicato per la quantità acquistata ( ). Analizziamo ora il flusso netto risultante dalle operazioni:

 )

+(, − × (, )

Istante t: è sempre positivo per ipotesi;

 :

Istante 0.

L’operazione è quindi un arbitraggio all’emissione perché in t si ha un ricavo certo e non si hanno mai segni

negativi. Poiché nel mercato non è possibile effettuare arbitraggi privi di rischio deve valere

)

(, = × (, ).

necessariamente la tesi del teorema: In caso di valore minore, invece, si avrebbe:

+ × (, ) −1 × =

A

)

−(, +

B

)

+ × (, ) − (, 0

Flusso netto =

∑

( , ) = × ( , )

Quinta proprietà e teorema di linearità del prezzo:

La quinta proprietà ci dice che per ottenere il prezzo di un titolo coupon bond, si effettua la somma dei

valori attuale degli importi pagati dal titolo stesso:

( , ) = ∑ × ( , )

0 0

=1

Possiamo dimostrare che il prezzo del titolo deve calcolarsi in questo modo perché, se così non fosse,

potrebbero essere attuate delle operazioni di compravendita titoli di tipo zero-coupon bond che ci

consentirebbero di effettuare arbitraggi privi di rischio. Ciascun importo è il valore nominale di un titolo

zero-coupon bond emesso in che scade in (si prendono a pezzi) e quindi la sommatoria è il valore di un

0 , , … , , , … ,

portafoglio di zero-coupon bond sulle varie scadenze di valori nominali . Il teorema

1 2 1 2

ci spiega che se sul mercato viene quotato il titolo e anche gli zero-coupon bond, per evitare arbitraggi il

valore del titolo deve essere pari al valore del portafoglio finanziario costituito da questi n zero-coupon

bond. La tesi del teorema è la seguente:

( , ) = ∑ × ( , )

0 0

=1

Anche qui ragioniamo per assurdo e supponiamo che:

( , ) > < ∑ × ( , )

0 0

=1

Per il momento scegliamo il caso in cui fosse maggiore. La logica è identica al precedente teorema e

impostiamo la strategia di vendita e acquisto titoli per realizzare l’arbitraggio:

…

+( , ) − − −

A …

0 1 2

− × ( , ) +

B …

1 0 1 1

− × ( , ) +

C …

2 0 2 2

− × ( , ) +

N …

0 , )

Per prima cosa quindi vendiamo (incassiamo) allo scoperto l’operazione al prezzo maggiore (( che

0

vale più del porafoglio di zero-coupon bond) pagando però alle varie scadenze il flusso di cassa garantito

dal titolo. Successivamente, investiamo nell’operazione meno costosa ossia acquistiamo il primo zero-

coupon bond che scade in e riceviamo il valore nominale alla scadenza. Ripetiamo questa operazione

1 1

per ogni zero-coupon bond del portafoglio fino ad arrivare all’n-esima operazione. Come si nota, in tutti gli

istanti diversi da gli importi si compensano a vicenda mentre, in , il valore risultate è la differenza tra:

0 0

( , ) − ∑ × ( , )

0 0

=1

Questo valore, per ipotesi, è sempre positivo. L’operazione è quindi un arbitraggio all’emissione perché in t

si ha un ricavo certo e non si hanno mai segni negativi. Poiché nel mercato non è possibile effettuare

=1

∑

( , ) = × ( , )

arbitraggi privi di rischio deve valere necessariamente la tesi del teorema: .

0 0

(, , )

Fattore di sconto a termine < ,

In un contratto a pronti (operazione finanziaria a pronti), dati due istanti nell’istante t si ha sia la

< < ,

negoziazione che la regolazione. Nel contratto a termine, invece, ipotizzando tre scadenze

nell’istante t avviene la negoziazione dei parametri contrattuali ma lo scambio avviene nell’istante T (la fase

di negoziazione è antecedente a quella di regolazione). Il fattore di sconto a termine è pari a:

(, , )

Questo valore rappresenta da una parte il valore in T di un’unità monetaria disponibile in s ma fissato in t e,

d’altra parte, esso rappresenta il prezzo fissato in t di uno zero-coupon bond emesso in T con scadenza in s

− .

di valore nominale unitario. La durata dello zero-coupon bond nel contratto a termine è pari a

Analizziamo ora le relazioni tra il prezzo di zero-coupon bond a pronti e a termine.

Teorema dei prezzi impliciti

Tale teorema assume che, affinché nel mercato non sia possibile effettuare operazioni di arbitraggio privi di

< < ,

rischio, date queste tre scadenze il prezzo a pronti di uno zero-coupon bond unitario emesso in t

con scadenza in s deve essere uguale al prezzo a pronti di uno zero-coupon bond unitario emesso in t con

(, , )

scadenza in T moltiplicato il numero di zero-coupon bond unitari che andiamo ad acquistare:

(, ) = (, , ) × (, )

Anche in questo caso, dimostriamo il teorema per assurdo e noteremo che se la relazione non fosse

rispettata sarebbe possibile realizzare un arbitraggio privo di rischio. L’ipotesi del teorema è quindi:

(, ) > < (, , ) × (, )

Costruiamo ora le nostre operazioni considerando il caso in cui fosse maggiore:

+(, ) −1

A −(, , ) × (, ) +(, , ) × 1

B −(, , ) +1

C (, ) − (, , ) × (, ) 0 0

Flusso netto (, )

Per prima cosa, quindi, vendiamo allo scoperto il titolo che per ipotesi ha un prezzo maggiore ossia

che incassiamo in t essendo un’operazione a pronti. Con la vendita dobbiamo però anche onorare l’obbligo

(, )

contrattuale di restituire il valore nominale alla scadenza s. Il ricavato lo investiamo nel titolo

(, , )

acquistandone però una quantità pari a incassando alla scadenza T il valore nominale (1)

moltiplicato per la quantità di titoli acquistata. L’operazione A e l’operazione B sono operazioni a pronti.

(, , )

Infine, attuiamo una terza operazione che consiste nell’investire la quantità tramite

un’operazione a termine in cui in t acquistiamo a termine uno zero-coupon bond unitario emesso in T con

scadenza in s (dove verrà rimborsato il valore nominale). In t stiamo quindi fissando il prezzo dello zero-

coupon bond (che sarà pagato in T) a termine e non ci sarà movimento di cassa. Questo valore in t, per

ipotesi, è sempre positivo. L&rsquo