Appunti Completi del corso di Matematica e Statistica

Errori di Misura

E_a = ^{max - min}/₂ (errore assoluto)

V_s = ^{max + min}/₂ (valore stimato)

E_r = E_a/_Vs (errore relativo)

Operazioni con Misure Approssimate

Somma

x + y = (V_s1 + V_s2) ± (E_a1 + E_a2)

E_rel = ^{E_a1 + E_a2}/_{Vs1 + Vs2}

Sottrazione

x - y = (V_s1 - V_s2) ± (E_a1 + E_a2)

E_rel = ^{E_a1 + E_a2}/_{Vs1 - Vs2}

Prodotto

x * y = V_s1V_s2 ± V_s1V_s2 (^E_a2/_Vs2 + ^E_a1/_Vs1)

E_rel = ^E_a2/_Vs2 + ^E_a1/_Vs1

Reciproco

¹/_x = ¹/_Vs1 ± ¹/_Vs1 (^E_a1/_Vs1)

E_rel = ^E_a1/_Vs1

Percentuali

V = V₀ (1 ± ^P/₁₀₀)

V₂ = V₀ (1 ± ^P/₁₀₀) (1 ± ^Q/₁₀₀)

GLI INSIEMI

OPERAZIONI

A ∩ B = intersezione

A ∪ B = unione

A \ B = differenza

A × B = prodotto cartesiano

A^C = complementare di A in B

SIMBOLOGIA

A ∩ B = Ø insiemi disgiunti

PROPRIETÀ

• A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
• A ∪ B = B ∪ A
• A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
• A ∩ B = B ∩ A
• A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
• A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• A ∪ Ø = A
• A ∩ Ø = Ø
• A ∪ A = A
• A ∩ A = A

Idempotenza

La probabilità nei test medici

La probabilità può essere usata anche nei test medici.

P(1ⁿ) = specificità = probabilità che il test dà esito negativo per un mal affetto

P(1M) = sensibilità = probabilità che il test dà esito positivo per un affetto

Sensibilità e specificità non sono complementari.

Il complementare di P(1ⁿ) é P(1|1ⁿ)

Il complementare di P(1M) é P(1|M)

Per risolvere si può utilizzare il grafo ad albero o la probabilità condizionale.

Funzione Crescente

Una funzione si dice crescente se: ∀x₁, x₂ ∈ D ; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≤ f(x₂)

Se f(x₁) < f(x₂), si dice che è strettamente crescente. Se la funzione è lineare si può dire che se m > 0 , allora è strettamente crescente.

Funzione Decrescente

Una funzione si dice decrescente se: ∀x₁, x₂ ∈ D ; x₁ < x₂ ⇒ f(x₁) ≥ f(x₂)

Se f(x₁) > f(x₂), si dice che è strettamente decrescente. Se la funzione è lineare si può dire che se m < 0 , allora è strettamente decrescente.

Una funzione si dice monotona se cresce o decresce per tutta la retta reale.

IL VALORE ASSOLUTO

f(x) = |3x + 1|

Il grafico del valore assoluto si disegna tracciando il grafico della funzione senza valore assoluto e ribaltando la parte negativa (cioè che si trova nel III e IV quadrante).

LE FUNZIONI POLINOMIALI

f(x) = a_mx^m + a_m-1x^m-1 + ... + a₁x + a₀

Sono funzioni di grado m-esimo. Un polinomio è una somma di più monomi, cioè di singole unità che dipendono da x.

f(x) = a₀(x = h)³

È la forma generale di una funzione cubica. È dispari e ha la simmetria rispetto ad un punto.

f(x) = x^2m → simmetria rispetto a asse y perchè f(-x) = f(x)

f(x) = x^2m+1 → simmetria rispetto all'origine perchè f(-x) = - f(x)

In un polinomio, il monomio con il grado più alto influisce di più. Questo è utile nel calcolo dei limiti.

LE FUNZIONI RAZIONALI

Sono il rapporto tra due polinomi. Si deve calcolare il dominio del polinomio al denominatore D≠0

f(x) = (a_mx^m + a_m-1x^m-1 + ... + a₁x + a₀) / (b_mx^m + b_m-1x^m-1 + ... + b₁x + b₀)

Quando si calcola il limite si ha:

lim_{x → ∞} f(x) = lim_{x → ∞} (a_mx^m / b_mx^m)

Se m < n → lim_{x → ∞} f(x) = 0

Se m = n → lim_{x → ∞} f(x) = l

Se m > n → lim_{x → ∞} f(x) = ∞

Uso di funzioni per descrivere fenomeni

f(x) = A(1 ± e^k(x-x₀)) + B (con un solo valore soglia)

• f(x₀) = B
• lim f(x) = A + B se k > 0
• lim f(x) = ∞ se k > 0
• lim f(x) = A + B se k < 0

f(x) = _{Δe^k(x-x₀)}/^{1 + ek(x-x₀)} + B (con due valori soglia)

• A + B estremo superiore se k > 0
• B estremo inferiore

f(x) = A cos (_2π/^P (x - F)) + H (sinusoidale)

• P: periodo
• F: fase (valore massimo al primo valore positivo)
• A: ampiezza = _{max - min}/²
• H: altezza = _{max + min}/²

Le derivate

Alcuni calcoli di derivate:

• f(x) = c (c è costante)f'(x) = 0
• f(x) = c·x (c è costante)f'(x) = c
• f(x) = mx + qf'(x) = m
• f(x) = αx^α f'(x) = ααx^α-1
• f(x) = senxf'(x) = cosx
• f(x) = cosxf'(x) = -senx
• f(x) = tgxf'(x) = ¹/_cos²x
• f(x) = lnxf'(x) = ¹/_x
• f(x) = e^xf'(x) = e^x
• f(x) ± g(x) (con f, g derivabili)D[f(x) ± g(x)] = f'(x) ± g'(x)
• f(x)g(x) (con f, g derivabili)D[f(x)g(x)] = f'(x)g(x) - f(x)g'(x)

COVARIANZA

Si usa quando si vuole vedere in che modo i dati sono correlati tra di loro.

Indica l'andamento della relazione tra i due gruppi di dati.

Per calcolarla più velocemente si fa:

IL COEFFICIENTE DI CORRELAZIONE (O DI PEARSON)

Il coefficiente di correlazione serve per rendere adimensionale la covarianza. Il suo valore è sempre compreso tra -1 e 1. Si usa nella retta di regressione.

Per calcolarlo più velocemente si fa:

(A volte si usa il coefficiente al quadrato r²)

FUNZIONI TRIGONOMETRICHE

Sono funzioni periodiche.

Una funzione si dice periodica di periodo T se D : ∀x ∈ ℝ f(x + T) = f(x)

Una circonferenza goniometrica ha raggio unitario. Ciascun punto della circonferenza ha le stesse coordinate dopo una rotazione di periodicità di 360°.

I gradi non possono essere espressi come variabili reali perché non possono essere rapportati a delle lunghezze. Perciò si usano i radianti, cioè le lunghezze dell’arco corrispondente.

x° : 360° = x rad : 2π

Per i grafici si usa la circonferenza goniometrica perché si tratta di una funzione periodica.

La relazione fondamentale

1 = cos²α + sen²α

cosα è l’ascissa del punto, mentre senα è l’ordinata.

cos α

ℝ → [-1;1] I = [-1;1] T = 2π

cos(-α) = cos α (funzione pari)

cosα ≥ 0 ⇔ -π/2 + 2kπ ≤ x ≤ π/2 + 2kπ ∀k ∈ ℤ

cosα ≤ 0 ⇔ π/2 + 2kπ ≤ x ≤ 3π/2 + 2kπ ∀k ∈ ℤ