Appunti, Compatibilità Elettromagnetica, Cicchetti

Compatibilità Elettromagnetica Appunti

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LEZIONE

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Adesso consideriamo un materiale che sia anisotropo (abbiamo il tensore):

Questo oggetto deve avere dimensioni piu piccole della lunghezza d'onda.

Se il campo impatto con il campo elettrico polarizzato perpendicolarmente il materiale si accoppia.

Se facciamo incidere un campo elettrico parallelo non si accoppia.

Avviene lo stesso per il campo magnetico. Dobbiamo allora inventare un materiale omogeneo.

Lo possiamo realizzare nel seguente modo:

Mettiamo in maniera randomica i materiali. Il materiale adesso è composto in maniera omogenea

perché ciascuno si accoppia con un campo diverso.

Il campo

Nel caso dei tensori di Green, l'integrazione mi restituirà

delle singolarità molto forti:

1/R

1/R²

1/R³

Si hanno dei valori maggiori se calcoliamo il

campo all'interno della sorgente

Per calcolare i potenti occorre un processo di

integrazione che prende il nome di tecnica dx esclusa

Questo termine rimane in piedi solo quando diciamo o

che forse con sorgenti verticali; è vero solo che stiamo

lavorando nel dominio della trasformata

bidimensionale.

Vediamo i punti di forza e i punti deboli delle

due tecniche.

Per i potenziali - elettrodinamica

• Vantaggi:
• limitate singolarità nella regione di sorgente
• possono risultare confrontati con la distribuzione di
• Svantaggi:
• la vista del valore dipendente dalla geometria della
• sorgente (integrazione del volume è legato alla geometria)
• soluzione non fisica nella regione di sorgente

Per i tensori di Green si ha

• Vantaggi:
• forniscono tutte le informazioni fisiche rispetto ai processi
• presenti nel componente analizzato
• non dipendono dalla geometria della sorgente
• Svantaggi:
• una forte singolarità nella regione di sorgente

Settiamo ciò che abbiamo trovato per E ed H:

∇ x A = jω (μ A - ∇V) + J

∇²A - ∇(∇ • A) = ω²με A - jωμε ∇V + J

∇ • A - ∇²A = β²A - jωε∇V + J

Consideriamo la parte zerolata

∇ • A = jωε V

In tale caso si ha:

- ∇²₁A = β²A + J

∇²₁A + β²₁A = - J

Cioè una volta note le correnti possiamo calcolare il potenziale vettore

possiamo riscrivere l’equazione delle onde nel seguente modo

(∇² + β²) A = - J

□²A = - J

□ si chiama operatore di Helmholtz e delle onde è un

operatore scalare, di conseguenza A e J sono polarizzati

dello stesso modo

Ora usiamo l’equazione ③

∇ • E = _ρ/_ε

sostituendo si ottiene

Che abbiamo detto succede nel dominio delle coordinate

consideriamo

M = A B

e supponiamo per semplicità A e B bidimensionali, allora

A = A_x ^{^i} + A_y ^{^j}

B = B_x ^{^i} + B_y ^{^j}

Adesso scriviamo M:

M = (A_x ^{^i} + A_y ^{^j}) (B_x ^{^i} + B_y ^{^j}) =

= A_x B_x ^{^i^i} + A_x B_y ^{^i^j} + A_y B_x ^{^j^i} + A_y B_y ^{^j^j} =

= m_xx ^{^i^i} + m_xy ^{^i^j} + m_yx ^{^j^i} + m_yy ^{^j^j} =

= (mxx mxymyx myy)

Allora se abbiamo:

M = C = A(B-C)

con:

C = C_x ^{^i} + C_y ^{^j}

si ha:

M - C = (A_x B_x ^{^i ^i} + A_x B_y ^{^i^j} + A_y B_x ^{^j^i} + A_y B_y ^{^j^j}) (C_x ^{^i} + C_y ^{^j}) =

In questo modo il problema si semplifica.

Con questo ragionamento scegliamo un nuovo sistema di riferimento:

Allora:

(∇² + β²) G_v (r₂ | r₂') = -^{δ(r₂ - r₂')}/_ε

Moltiplichiamo per ρ(r₂') dτ':

(∇² + β²) G_v (r₂ | r₂') ρ(r₂') dτ' = -^{δ(r₂ - r₂')}/_ε ρ(r₂') dτ'

Il sistema è lineare allora sommiamo il contributo di tutti i volumetti, facciamo quindi l'integrale:

∫ (∇² + β²) G_v (r₂ | r₂') ρ(r₂') dτ' = - ∫ ^{δ(r₂ - r₂')}/_ε ρ(r₂') dτ'

(∇² + β²) ∫ ₂ (G_v (r₂ | r₂') ρ(r₂') dτ') = -^ρ(r₂)/_ε

Confrontiamo con:

D_vG_v(R) + β²G_v(R) = 0

∀ R ≠ 0

La sorgente è simmetrica, quindi non c'è variaz

ione angolare

Allora si ha:

∂²∂Φ/∂z = 0

Allora

1/R² (∂/∂R R² ∂/∂R G_v(R)) + β²G_v(R) = 0

∂²/∂R G_v(R) + 2/R ∂/∂R G_v(R) + β²G_v(R) = 0

Introduciamo una funzione che rende il legame

con la G_v meno singolare:

G_v(R) = Ψ(R)/R = R^-1Ψ(R)

Calcoliamo la derivata prima e la derivata

seconda:

Ġ_v(R) = -R^-2Ψ(R) + R^-1Ψ̇(R)

Ġ_v(R) = 2R^-3Ψ(R) - R^-2Ψ̇(R) - R^-2Ψ̇(R) + R^-1Ψ̈(R) =

= -2R^-3Ψ(R) - 2R^-2Ψ̇(R) + R^-1Ψ̈(R)

*Sostituiamo*

ed è la rappresentazione estesa. Possiamo anche avere la rappresentazione su base matrice.

Allora:

_E(_r) = ∫_{c G}(_rr')_J(_r') d_c'

Inseriamo:

_J(_r) = ̂_x δ(_r−_r1)

dipolo elementare orientato in x