Appunti Chimica Fisica - parte 1

Equazione di Stato:

(Dalle basi empiriche)

• Legge di Boyle...

A T costante ed n costante

P ⋅ V = cost

P₁ ⋅ V₁ = P₂ ⋅ V₂

Corrispone all'equazione di un'iperbole

y ⋅ x = K

• Legge di Charles...

A V costante ed n costante

^P = ^{n ⋅ R ⋅ T}/_V

P = K ⋅ T

y = x ⋅ m + q = 0

• Legge di Guy Lussac II...

A P costante ed n costante

V = ^{n ⋅ R ⋅ T}/_P

V = K ⋅ T

• Principio di Avogadro...

A P costante e T costante

V = n ⋅ K

Ed è anche vero che

V/_n = ^{R ⋅ T}/_P = K

ORA, DATO CHE:

\[ \rho = \frac{m}{V} = \frac{h \cdot M}{V} \]

POSSIAMO SCRIVERE \[ \frac{V}{h} = \frac{R \cdot T}{\rho} \] , COSE...

\[ h \cdot M = \frac{\rho}{V} \cdot R \cdot T \] , SI...

\[ h \cdot M \cdot P \over V = \rho \cdot R \cdot T \]

(ALL’EQUAZIONE DI STATO)

RIUNENDO LE BASI EMPIRICHE DI SOPRA...

• \[ P \cdot V = K \cdot T \left( \frac{1}{h}, cost \right) \]
• \[ P \cdot K = T \left( V, h, cost \right) \]
• \[ V \cdot K = T \left( P, h, cost \right) \]
• \[ \frac{V}{h} = K \left( P, T, cost \right) \]

SI PUÒ RICAVARE CHE IN GENERALE ...

\[ P \cdot V = h \cdot T \cdot costante \]

DUNQUE PER OTTENERE QUEL VALORE COSTANTE...

\[ \frac{P \cdot V}{h \cdot T} = costante \]

PER CALCOLARE POSSO UTILIZZARE LA LEGGE DI AVOGADRO, IMMAGINANDO CHE IL GAS SI TROVI A T = 273,15 K, P = 101.325 Pa, L = 1 mol.   I B,

CONSEGUENZA CHE IL SUO V = 22 m³...

PER OTTENERE \[8,3145 \, \text{Pa} \cdot \text{m}^3 \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\]

IN ALTERNATIVA POSSO USARE LE UNITÀ DI MISURA atm AL POSTO DI Pa, E

AL POSTO DI m³ PER OTTENERE \[0,821 \, \text{atm} \cdot \text{L} \cdot \text{mol}^{-1} \cdot \text{K}^{-1}\]

LA RELAZIONE CHE ESISTE TRA B' E B É...

B = B' · R · T

PERCHÉ

B (V_m) = B' (1/P) · R · (P · √ / h · T) · T

PERCIÓ POSSIAMO SCRIVERE CHE LA PENDENZA DEL GRAFICO DI Z

IN FUNZIONE DI P É UGUALE A...

^B'/_{B' / R · T}

PRENDI IN CONSIDERAZIONE ANCHE CHE SE B = B' · R · T

ALLORA...

B/B' = R · T, E DATO CHE R É UNA COSTANTE

CIÓ SIGNIFICA CHE B É DIRETTAMENTE DIPENDENTE DA T

ORA, QUANDO B = 0, ALLORA ANCHE dZ/dP = 0, E DUNQUE

Z = 1, DATO CHE...

Z = 1 + B/V_m + C/V_m² +...

Z = (1) + B · P + C · P² +...

RAPPRESENTA q, CIOÉ LA QUOTA —> y = x · m + q

E MI DICE CHE QUANDO P_o = 0, IL FATTORE Z DI OGNI GAS É UGUALE AD 1

TUTTO QUESTO SIGNIFICA CHE QUANDO LA T RAGGIUNGE UNO SPECIFICO

VALORE (T DI BOYLE), B = 0 E IL GAS IN QUESTIONE AVRÁ UN

FATTORE K = 1 PER OGNI VALORE DI P, QUANDO QUESTA SARÁ

TENDENTE A ZERO.

DETTA FACILE...

A T DI BOYLE, UN GAS REALE, PER P_o = 0, HA UN K = 1 E SI COMPORTA QUINDI

COME UN GAS IDEALE, O QUASI.

Teorema degli stati corrispondenti:

Dice che tutti i gas messi a confronto nelle condizioni corrispondenti, si comportano allo stesso modo, purché i parametri siano espressi in termini ridotti.

Cosa sono la proprietà termodinamiche ridotte?

P_r = T / T_c

P_r = P / P_c

V_r = V / V_c

Partendo dall'equazione di Van Der Waals, o più in generale, da qualsiasi equazione di stato che presenti due parametri unici per ogni gas come a e b, si può ricavare un'equazione che rispetta il teorema, cioè che descriva (anche se con alcune limitazioni) in modo approssimato il comportamento di tutti i gas...

P (V_m - b) = R T - a (V_m - b) / V_m², ora

Ricordando che...

3 V_mc² = a / P_c   ⇒   a = 3 V_mc² P_c

e che...

V_mc = 3 b

Possiamo sostituirci nell'equazione...

Considerando il movimento di una particella solo lungo la componente (direzione) x, dopo un urto la velocità è la stessa (collisione elastica) ma di verso opposto...

Il momento (quantità di moto, grandezza espressa in Kg · m · s ^-1) della particella è m (massa) · v_x e si indica con p.

Dunque la variazione del momento sarà uguale a...

m · v_x - m · (-v_x) = 2 · m · v_x = Δp

Dopo la collisione, la particella urterà la parete opposta in un tempo ℓ/v_x, e nuovamente la prima parete, in un tempo 2ℓ/v_x.

Per cui il numero di collisioni per unità di tempo (cioè la frequenza) è dato da v_x/2ℓ, mentre la variazione di momento per unità di tempo è (-2 · m · v_x) · (v_x/2ℓ), o m · v_x²/ℓ.

Ora, dalla 2^ª legge del moto di Newton...

F = m · a = m · ℓ · t ^-2 = ρ · t ^-1

La forza totale data dalle molecole del gas è invece, N · m · v_x²/ℓ, quindi...

ρ = F/A = N · m · v_x²/ℓ = N · m · v_x²/e³= N · m · v_x²/V

Oppure ⇒ P · V = N · m · v_x²

L'equazione della funzione di distribuzione di Maxwell-Boltzmann delle velocità è quindi...

f(y) = 4·π·3/2 (m / 2·π·K_B·T) · y² · e^{-m·y2 / 2·K_B·T}

oppure...

f(V) = 4·π·3/2 (M / 2·π·R·T) · y² · e^{-M·y2 / 2·R·T}

Nel grafico

Frazione di particelle che ha velocità compresa all'interno dell'intervallo preso in considerazione

Un'altra frazione di particelle, che essendo maggiore indica che c'è una maggiore probabilità che le particelle si trovano all'interno di questo intervallo di velocità

y_p = La più probabile = sqrt(2·K_B·T / m)

y_rms = Radice della quadratica media = sqrt(3·K_B·T / m)

y_media = (8·K_B·T / π·m)^1/2

Per cui possiamo dire che a V costante, per un gas ideale, il cammino libero medio λ è inversamente proporzionale a ρ e direttamente proporzionale ad T.

Per finire, ricordiamo tra l'altro che γ = S/t:

γ : Z = Vrel (media delle particelle)

• Le leggi di Graham:
• Diffusione di un gas → Si tratta della "semplice" dispersione delle particelle del gas nell'ambiente, una volta che queste vengono liberate.
• Effusione di un gas → Si tratta del fluire delle particelle di un gas, da una regione ad alta P ad una a bassa P, attraverso un piccolo foro.

Le leggi di Graham stabiliscono che in uguali condizioni di T e di P, le velocità di diffusione Q ed effusione sono inversamente proporzionali alla radice quadrata della massa molare dei gas...

γ_b-e,1 = 1/^1/√(M₁)

γ_b-e,2 = 1/^1/√(M₂)