Appunti Biomeccanica e simulazione di dispositivi biomedici

BIOMECCANICA

Biomeccanica: meccanica applicata a sistemi biologici.

Obbiettivi:

• Studiare la struttura e le funzioni dei sistemi biologici

• Studiare l’interazione dei dispositivi coi sistemi biologici

Stenosi : restrizione anomala di un canale

Es: stenosi aortica Es: stenosi carotidea

Intervento : angioplastica e stent (Animazione)

Si può fare l’intervento solo di angioplastica (inserimento del palloncino), ma spesso viene associato anche

all’inserimento dello stent che mantiene l’arteria aperta.

STENOSI AORTICA: restringimento della valvola

aortica che blocca (ostruisce) il flusso di sangue dal

ventricolo sinistro all’aorta.

La valvola aortica si trova nell’apertura tra il

ventricolo sinistro e l’aorta. La valvola aortica si

apre quando il ventricolo sinistro si contrae per

pompare sangue nell’aorta. Se una malattia causa l’ispessimento e l’irrigidimento dei lembi valvolari, l’apertura

della valvola si restringe (stenosi). A volte la valvola irrigidita non si chiude completamente e si sviluppa rigurgito

aortico (reflusso di sangue attraverso la valvola aortica ogni volta che il ventricolo sinistro si rilassa).

Nella stenosi aortica, la parete muscolare del ventricolo sinistro generalmente si ispessisce e causa un maggior

carico di lavoro del ventricolo per pompare sangue attraverso la valvola ristretta, in direzione dell’aorta. Il

muscolo cardiaco ispessito richiede una maggiore irrorazione sanguigna dalle arterie coronarie, e talora,

specialmente sotto sforzo, la quota ematica ricevuta non soddisfa le esigenze cardiache. L’insufficiente apporto

cardiaco può causare una sensazione di costrizione toracica, svenimento e a volte morte improvvisa. Inoltre il

muscolo cardiaco può iniziare a indebolirsi, causando insufficienza cardiaca. Raramente la valvola aortica anomala

contrae un’infezione (endocardite infettiva).

Tecniche di intervento:

TAVI (Transcatheter Aortic Valve Implantation (TAVI)): poco invasivo e sostitutivo ad un intervento a cuore aperto.

Un catetere a palloncino viene posizionato nell'arteria femorale (all'inguine) e guidato nel cuore. Una valvola

cardiaca compressa viene quindi posizionata nel catetere e posizionata diretta all'interno della valvola aortica

malata. Una volta in posizione, il palloncino viene gonfiato per fissare la valvola in posizione.

Materiali:

o Effetto a memoria di forma: SMA(shape memory alloys)

→Capacità di ricordare una forma iniziale anche dopo

elevate deformazioni termiche (Thermal recovery).

Deformo il metallo scaldandolo/raffreddandolo, e lo

riporto allo stato iniziale raffreddandolo/scaldandolo

(esempio: raffreddo austenite, ottenendo martensite,

riscaldo martensite ottengo austenite).

Esempio

o Effetto superelastico: capacità di tornare alla

forma originaria dopo una deformazione

enorme (anche del 10%) applicando un

opportuno sforzo. (mechanical recovery)

Esempio

Difetto congenito dei due setti atriali che comunicano

Understanding Atrial Septal Defect (ASD)

Problema biomeccanico: esempio ortopedico Posso sviluppare più modelli

matematici partendo dalla stessa

realtà fisica:

o Modello complesso (più accurato

ma più complicato da risolvere)

o Modello semplice (meno (a volte troppo

accurato ma facile da risolvere)

poco)

Modello fisico lo scriviamo studiando il modello matematico (insieme di

equazioni)

Stampa 3D

partiamo da immagini mediche, attraverso tecniche, selezioniamo e

riproduciamo organi di interesse

Creazione di un oggetto con tecnica additiva (depositando strato dopo strato).

Gli organi stampati vengono utilizzati per fare training (pianificare in maniera

corretta l’intervento).

Punto materiale e corpo rigido

Corpo soggetto a forze che considero è un corpo tridimensionale

1. Punto materiale:

• Coordinate lagrangiane : parametri indipendenti che ne definiscono la configurazione

• La posizione di un punto è possibile individuarla introducendo un sistema di riferimento e avere le

→

coordinate (3 se il sistema è 3d 3 gradi di libertà)

• GRADI DI LIBERTA’ = il NUMERO DI VARIABILI INDIPENDENTI necessarie per determinare completamente

lo stato del sistema

• Se ho 3 punti materiali che si muovono nello spazio, ogni punto ha 3 gradi di libertà, quindi il sistema in

complesso ha 9 gradi di libertà

• La posizione di un punto materiale che si muove solo su un piano la posso trovare

introducendo un sistema bidimensionale, usando le coordinate del punto rispetto al quel

sistema di riferimento (2 gradi di libertà)

• Cinematica: studio delle configurazione del sistema. Se ho un punto materiale posso

utilizzare un vettore posizione x(t) (stessa cosa di usare le coordinate, quindi stesso numero

di gradi di libertà). Il vettore spostamento u è la differenza di posizione tra la posizione

iniziale e quella attuale. La velocità v(t) è la derivata temporale del vettore posizione. La

accelerazione a(t) è la derivata temporale della velocità v(t).

→

Equilibrio Forze:

Ho un punto materiale che si sposta, ma sul punto agiscono delle forze. Se ho equilibrio quali forze agiscono?

Forza: vettore

VETTORE:

• ha anche un significato fisico intrinseco, indipendente dal sistema di riferimento. Può essere quindi scritto in 3

modi diversi:

o notazione intrinseca: F (anche con il segno di vettore sopra)

o notazione indicale: F (con il pedice)

i

o notazione ingegneristica: { F , F , F } indicando le singole componenti

x y z

• è una quantità indipendente dall’osservatore

punto materiale: movimento

1. legge di Newton: ogni oggetto in uno stato di moto uniforme rimane in quello stato a meno che non intervenga

una forza esterna →

2. legge di Newton: Se è applicata una forza, questo oggetto subisce un accelerazione proporzionale alla massa

F=ma (questa è una vera e propria legge di equilibrio!! Perché sul mio sistema possono agire più forze, quindi la

→ →

forza la posso vedere come R =ma, se a=0 R =0 ).

isultante isultante

3. legge di Newton: Se ho più punti materiali, l’interazione tra essi è duale (azione-reazione)

equilibrio

Cos’è l’ e come lo possiamo scrivere?

Nella seconda legge l’abbiamo scritto in modo algebrico (come somma algebrica), ma esiste un altro modo:

Posso scrivere l’equilibrio del sistema meccanico attraverso il principio dei lavori virtuali:

• devo testare il mio sistema rispetto a degli spostamenti virtuali (non reali, ma ideali)

• devo calcolare il lavoro virtuale

• →

prendo le singola forze Fi (es 3 forze: F1, F2, F3), faccio il lavoro (virtuale) di ogni singola forza e li sommo

lavoro virtuale delle forze esterne.

• δu

Il sistema di forze è in equilibrio se il lavoro virtuale è =0 per ogni possibile spostamento virtuale (delta).

• δW=0 per ogni possibile δu.

Quindi l’equilibrio è anche

• Lavoro virtuale δW= δW – δW , dove:

ext int

o Lavoro virtuale esterno: è il lavoro dei carichi (fatto dalle forze esterne)

o Lavoro virtuale interno: è il lavoro che viene fatto dal corpo quando si deforma (dato da una forza

δu).

reale e uno spostamento virtuale Il lavoro interno è molto difficile da capire rispetto a quello

interno.

• non ci sono deformazioni, quindi il δW δW= δW

→

Ricorda che, per un punto materiale, non esiste

int ext

2. Corpo rigido:

• Non si deforma sotto influenza di forze

• La distanza tra i singoli punti del corpo rimane costante (definizione)

• 2 3

Occupa una regione dello spazio R o R . Non è un punto, ha un area, un volume.

• Cinematica: il corpo rigido nel piano ha 3 gradi di libertà (2 traslazioni secondo due assi di riferimento, e 1

rotazione intorno ad un asse ortogonale al piano, e passante per il polo di riferimento) e nello spazio 6 gradi di

libertà (3 traslazioni e 3 rotazioni).

• In natura non esiste nessun corpo rigido (né punto materiale), è un’astrazione.

• Principio di trasmissibilità: un corpo è rigido se l’effetto delle forze sul corpo non dipende dal punto dove esso è

applicato (definizione)

• Nella biomeccanica utilizzo i corpi

rigidi (es: anca, femore)

utilizzando un sistema di corpi rigidi

Corpo rigido: movimento Campo di spostamento

Se il corpo è rigido posso scrivere lo spostamento del generico punto P così (come sopra).

→

(Guardando le equazioni ci sono 6 parametri 6 gradi di libertà)

• →

1° equazione Posso scrivere lo spostamento del generico punto P come lo spostamento di un

particolare punto P meno il prodotto vettoriale tra un certo vettore w (vettore può essere visto come

0

tensore di primo ordine) e il vettore distanza P-P 0

• 2° equazione→ Posso scrivere lo spostamento del generico punto P come lo spostamento di un

particolare punto P più il prodotto tra un matrice emisimmetrica W (matrice 3x3; emisimmetrica vuol

0

dire che W’ = -W), e il vettore distanza P-P 0

(RICORDA: i tensori di secondo ordine, li devo considerato come matrici 3x3). Il tensore è un oggetto che ha un

significato fisico intrinseco.

Converto il vettore in matrice emisimmetrica

Questo teorema vale per tutti i corpi 3d rigidi che si sposta?

PICCOLI SPOSTAMENTI

No, vale solo per le ipotesi di in relazione ad una dimensione

caratteristica del nostro corpo (non in senso assoluto).

• Abbiamo piccoli spostamenti quando la norma del vettore spostamento, riscalata

rispetto alla dimensione caratteristica dell’oggetto, è molto più piccola di uno.

• Se ho un campo, la norma del campo degli spostamenti: norma massima del vettore spostamento

• Prendo un corpo rigido e un punto P sufficientemente vicino al punto P . Se li prendo vicini posso scrivere

0

lo sviluppo in serie di Taylor della funzione u(P), quindi scriverò:

(derivata di u rispetto a x è un tensore)

H tensore generico di secondo ordine (non

emisimmetrico). Equazione vale solo se i punti sono

vicini!!

La prima equazione vale in generale per piccoli spostamenti.

La seconda equazione è la prima ma sotto l’ipotesi di piccoli spostamenti e di corpo rigido; questa

relazione vale quando P non è vicino a P , e H è un tensore emisimmetrico.

0

TENSORE:

• Cos’è? È una quantità che ha significato fisico intrinseco indipendente dal sistema di riferimento

• Generico tensore di secondo ordine = matrice generica 3x3

• 3 3

Del secondo ordine: operatore lineare che trasforma un vettore in vettore (da R a R ).

• Da un lato è un oggetto matematico, dall’altro ha significato fisico intrinseco

• Il tensore del 2° ordine ha diversi tipi di rappresentazione:

o Intrinseca: H (compatta)

o Indiciale: H (con gli indici, indici liberi, possono assumere qualsiasi valore nello spazio, se sono in

ij

R3, i e j sono compresi tra 1 e 3)

o Ingegneristica: [H] (scrivo esplicitamente le componenti)

• Osservazione: consideriamo (da ora sempre) corpi rigidi bidimensionali, con ipotesi di piccoli

spostamenti!!

• 3 gradi di libertà (2 traslazioni e 1 rotazione nel piano)

• Sotto l’ipotesi di piccoli spostamenti si sposta di quantità piccole

rispetto alla dimensione caratteristica del nostro corpo. (traiettorie

→

circolari= rettilinee , per piccoli spostamenti) sen(θ) = θ

• Il disegno è corretto se è per piccoli spostamenti, ma se voglio fare

disegni aplificati (es x 1000), amplifico la traiettoria circolare che non coincide più con la traiettoria

rettilinea.

• Osservazione: quando disegno segmenti da ora disegno un corpo rigido. Perché molto spesso parleremo

poi di travi (ha due mi trascurabili rispetto alla terza)

• Noi siamo interessati a corpi rigidi vincolati (non liberi di

muoversi):

VINCOLO:

• Ha un simbolo grafico (il grafico può essere fuorviante)

• Ha equazioni cinematiche di vincolo (non può indurre ad errore)

• →

Ha un ordine grado del vincolo

• Vincoli assoluti: limita lo spostamento assoluto di un punto del sistema

o Vincolo assoluto semplice (toglie un grado di libertà): s=1

o Vincolo assoluto doppio (toglie due gradi di libertà): s=2

o Vincolo assoluto triplo (toglie tre gradi di libertà): s=3

(Se ho un vincolo triplo, non ho più gradi di libertà, blocco completamente il mio corpo)

• Vincoli relativi: limita lo spostamento relativo tra due punti del sistema

o Vincolo relativo semplice (toglie un grado di libertà): s=1

o Vincolo relativo doppio (toglie due gradi di libertà): s=2

o Vincolo relativo triplo (toglie tre gradi di libertà): s=3

Convenzione:

❖ u: spostamento orizzontale,

❖ v: spostamento verticale,

ϕ

❖ : spostamento di rotazione

ha effetto sul corpo rigido. Due tipi di effetti:

• Effetto cinematico: limita il movimento. Vincoli assoluti (limita lo spostamento assoluto di un punto del

sistema)

VINCOLI ASSOLUTI di

Componente sul

Indicazioni

del

Nome

Simbolo

di

Tipo spostamento rotazione

di

centro

vincolo

grafico

vincolo soppressa

| alla

appartenere

Deve

nella

Traslazione

d descritta

retta

asse

suo

del

direzione

Pendolo =0

v

=0

u

vincolo

del

dall'asse

(d) A

A

d

| alla

appartenere

Deve

nella

Traslazione

semplice descritta

retta

asse

suo

del

direzione

Carrello =0

v

vincolo

del

dall'asse

(⟂d) =0

u A

A

Doppio un

essere

Deve

pattino/ ϕ=0

Rotazione improprio

punto

doppio

doppio

pendolo nella

Traslazione

1.

| improprio

punto

il

È

d asse

suo

del

direzione

Pattino/ appartenente ϕ=0

(d)

doppio ϕ

descritta

retta

alla =0

=0

v =0

u ϕ =0

A

A A

pendolo A

vincolo

del

dall'asse

Rotazione

2. nella

Traslazione

1. d

d ⟂ =0

S

,

S

doppio asse

suo

del

direzione (d) è

cui

in

punto

il

È

Cerniera =0

v

=0

u A

A

vincolo

il

ubicato

nella

Traslazione

2. →S=0

direzione suo

al

perpendicolare

(⟂d)

asse nella

Traslazione

1. ϕ=0

asse

suo

del

direzione nella

Traslazione

2. esiste

Non

direzione

Incastro

triplo S=0

suo

al

perpendicolare

asse

Rotazione

3.

VINCOLI RELATIVI

Per ogni vincolo esterno (assoluto) esiste un vincolo interno

• Pendolo interno: impedisce lo spostamento relativo tra due punti nella direzione

dell’asse del pendolo (blocca uno spostamento relativo)

o Due tratti: I e II

o Due sezioni: A e B

o Asse del pendolo: d

Tra le due sezioni A e B faccio agire un pendolo interno, quindi

→ dAB

ΔS =0 (le sezioni A e B non possono subire spostamenti relativi lungo l’asse d),

→

dA dB dA dB

e allora S – S = 0 S =S

→ vincolo semplice

• Cerniera interna: impedisce lo spostamento relativo tra due punti

o Due tratti: I e II

o Due sezioni: A e B

Tra le due sezioni A e B faccio agire una cerniera interna, quindi

→ → →

ΔS =0 (lo spostamento relativo tra A e B deve essere nullo) Δu =0 e Δv =0

AB AB AB

u =u e v =v

A B A B

→ vincolo doppio

• Doppio pendolo interno: impedisce lo spostamento relativo tra

due punti nella direzione dell’asse del pendolo e la rotazione

o Due tratti: I e II

o Due sezioni: A e B

Tra le due sezioni A e B faccio agire un doppio pendolo interno,

quindi ϕ

→ΔS

dAB

=0 e Δ =0 (le sezioni A e B non possono subire spostamenti relativi lungo l’asse d nè la rotazione), e allora

AB

ϕ ϕ

dA dB

S =S e A= B

• Incastro interno: impedisce lo spostamento relativo tra due punti e la

rotazione

o Due tratti: I e II

o Due sezioni: A e B

Tra le due sezioni A e B faccio agire un incastro interno, quindi (i tratti I e II

li posso vedere come unico tratto), quindi

→ΔS =0 e Δϕ (quindi sezioni A e B sono solidali),

AB AB ϕ ϕ

e allora u =u e v =v e

A B A B A= B

(Se noi abbiamo un unico corpo rigido (tratto), posso considerarlo come insieme di tratti, ipotizzando che vi

siano incastri interni). → 3t – s = l – i

FONDAMENTALE

Relazione →

(sono tutte quantità non negative >=0)

❖ →

t: numero di corpi rigidi 3t: gradi di libertà (gdl) del sistema senza vincoli

❖ s: ordine complessivo del vincolo (somma degli ordini dei singoli vincoli)

❖ l: labilità del sistema, ovvero numero di parametri lagrangiani della struttura vincolata (reale) (numero di

parametri da definire per individuare la configurazione della struttura) PARAMETRO FONDAMENTALE

❖ i: ipervincolo (iperstaticità) del sistema, ovvero numero di vincoli superflui dal punto di vista cinematico (numero

di vincoli che posso eliminare senza alterare la labilità della struttura)

Esempio : vincolo assoluto cerniera: t=1 (ma se elimino il vincolo esterno cerniera, il mio sistema libero è dotato

→ →

potenzialmente di 3 gdl). Il sistema non è libero e l’ordine del vincolo è 2 s=2. Quindi 3(1)-2=l-i l-i=1. Quanto vale

la labilità della struttura reale (con vincolo)? Si pu&og