Appunti analisi matematica 1

ANALISI I

INSIEMI

L’idea di insieme è un’idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che possiedono.

Gli insiemi sono costituiti da oggetti, anche detti elementi.

Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole.

Gli oggetti con le lettere minuscole.

Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto si scriveva x ∈ A, si legge “l’oggetto x è insieme A”.

Si legge x ￢ A, significa “non appartiene a”.

Sono insiemi alle cose di vari modi.

I si possono elencare tutti gli elementi dell’insieme fra parentesi graffe.

Comunicazione le proprietà che li caratterizzano.

ESEMPI

1. A = { a, b, c, d } - per una piccola quantità di oggetti.
2. B = { x | automobil immatricolate nel 2005 } - per una grande quantità.

Fra insiemi è possibile definire delle “operazioni”, ossia delle leggi che stabiliscono un criterio per associare a due insiemi un terzo insieme.

DEFINIZIONE

Siano A e B due insiemi

1. Si chiama “unione di A e B” e si denota con A ⋃ B il seguente insieme:
   • A ⋃ B = { x | x ∈ A ⊻ x ∈ B }
2. Si chiama “intersezione di A e B” e si denota con A ∩ B il seguente insieme:
   • A ∩ B = { x | x ∈ A ⊼ x ∈ B }
3. Si dice “differenza di A e B” e si denota con A \ B l’insieme:
   • A \ B = { x | x ∈ A ⊼ x ￢ B }

Per comprendere le precedenti definizioni occorre comprendere cos’è una “proprietà” e cosa sono le “operazioni fra proprietà”

PROPRIETÀ

Per proprietà si intende una affermazione alla quale si possa attribuire valore di verità, cioè dire se è vera o falsa.

Tra le proprietà si possono creare dei legami attraverso i connettivi logici ⊻ “connettivo logico o”

⊼ “connettivo logico e”

Dette p₁ e p₂ due proprietà diciamo che la proprietà P= p₁ ⊻ p₂ è vera se almeno una tra p₁, p₂ è vera.

Dette p₁, p₂ due proprietà, diciamo che P = p₁ ⊼ p₂ è vera se e solo se p₁, p₂ è vera.

ANALISI I

INSIEMI

L'idea di insieme è un'idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso una o più proprietà che possiedono.

Gli insiemi sono costituiti da "oggetti", anche detti "elementi".

Gli insiemi si denotano generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.

Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto, si scrive:

• x ∈ A tra "l'oggetto x e l'insieme A"
• x ∉ A apparentemente ad "x significa "non appartiene A "

Sono equivalenti tutti i vari modi:

Si scrivono l'elenco tutti gli elementi dell'insieme fra parentesi graffe e enunciamone le proprietà che lo caratterizzano.

ESEMPI

1. A^e={a, b, c, d } — per una piccola quantità di oggetti.
2. B = { automobili immatricolate nel 2005 } — per una grande quantità.

Fra insiemi è possibile definire delle "operazioni", ossia delle leggi che stabiliscono un criterio per associare ai due insiemi un terzo insieme.

DEFINIZIONE

Siano A e B due insiemi

1. Si chiama "unione di A e B" e si denota con "A∪B" il seguente insieme:{ x | x ∈ A ∨ x ∈ B }
2. Si chiama "intersezione di A e B" e si denota con "A∩B" il seguente insieme:{ x | x ∈ A ∧ x ∈ B }
3. Si dice "differenza di A e B" e si denota con "A\B" l'insieme{ x | x ∈ A ∧ x ∉ B }

Per comprendere le precedenti definizioni occorre comprendere cos'è una "proprietà" e cosa sono le "operazioni fra proprietà".

PROPRIETÀ

Per proprietà si intende una affermazione alla quale si possa attribuire valore di verità, cioè dire se è vera o falsa.

Tra le proprietà si possono creare dei legami attraverso i connettivi logici ∨ "connettivo logico 'o'" ∧ "connettivo logico 'e'".

Detta P₁ e P₂ due proprietà diciamo che la proprietà P=P₁ ∨ P₂ è vera se è vera almeno una tra P₁ e P₂.

Detta le P₁ due proprietà, diciamo che P= P₁ ∧ P₂ è vera se sia P₁ che P₂ sono vere.

P₁ ∨ P₂ è falsa se sono entrambe false

P₁ ∧ P₂ è falsa se 1 delle due o entrambe sono false

ESEMPIO

1. A = {1,2,3} appartengono

   • B = {a,b,c}

   A ∪ B = {1,2,a,b,c}

   verificano

   P₁ o P₂

   P₁: x ∈ AP₂: x ∈ B

2. A = {2,1,2,3} deve verificare sia P₁ che P₂

   • B = {2,3,5}