Appunti analisi matematica 1

ANALISI I

INSIEMI

L'idea di insieme è un'idea primitiva e può essere immaginata come un raggruppamento di oggetti individuati attraverso uno o più proprietà che essi possiedono.

Gli insiemi sono costituiti da "oggetti", anche detti "elementi".

Un insieme si denota generalmente con le lettere maiuscole, gli oggetti con le lettere minuscole.

Per descrivere il legame fra un insieme ed un suo oggetto si scrive: "x" è un oggetto e l'insieme "X".

1. Si legge "x appartiene ad X" → ∈ 2. Si legge "x non appartiene ad X" → ∉

Le relazioni tra gli elementi dell'insieme fra parentesi graffa contengono gli elementi dell'insieme e ne caratterizzano.

ESEMPI

1. A = {a, b, c, d} per una piccola quantità di oggetti.
2. B = {automobili immatricolate nel 2005} per una grande quantità.

Fra insiemi è possibile definire delle "operazioni", ossia delle leggi che stabiliscono un criterio per associare a due insiemi un terzo insieme.

DEFINIZIONE

Siano A e B due insiemi:

1. Si chiama "unione di A e B" e si denota con "A ∪ B" il seguente insieme: A ∪ B = {X | X ∈ A ⋁ X ∈ B}
2. Si chiama "intersezione di A e B" e si denota con "A ∩ B" il seguente insieme: A ∩ B = {X | X ∈ A ⋀ X ∈ B}
3. Si dice "differenza di A e B" e si denota con "A \ B" l'insieme: A \ B = {X | X ∈ A ⋀ X ∉ B}

Per comprendere le precedenti definizioni occorre comprendere cos’è una "proprietà" e cosa sono le "operazioni fra proprietà".

PROPRIETÀ

Per proprietà si intende una affermazione alla quale si possa attribuire valore di verità, cioè dire se è vera oppure falsa. Tra le proprietà si possono creare dei legami attraverso i connettivi logici “∨” connettivo logico “o” ∧ connettivo logico “e”.

Dette P1 e P2 due proprietà diciamo che la proprietà P = P1 ∨ P2 è vera se almeno una tra P1, P2 è vera. Dette P1 e P2 due proprietà diciamo che P = P1 ∧ P2 è vera se è vera sia P1 che P2 se soddisfano esse.

ESEMPIO

1) A = {2, 4, 6} appartenono: A ∪ B = {2, 4, 6, Ⓐ, Ⓑ} B = {Ⓐ, Ⓑ, Ⓧ} verifico: P₁: x ∈ A P₂: x ∈ B

2) A = {2, 3} devo verificare: B = {3, 5} che P₁ ∩ P₂ A ∩ B = {3} B ∩ A = {3}

L'unione A ∪ B e l'intersezione A ∩ B sono operazioni tra insiemi commutative

DEFINIZIONE

Si dice "insieme vuoto", quell'insieme che non contiene alcun elemento. Esso si indica con ø.

OSSERVAZIONE

A ∪ ø = A A ∩ ø = ø A \ ø = A ø \ A = A

DEFINIZIONE

Siano assegnati due insiemi non vuoti A ≠ ø e B ≠ ø. Si dice "coppia non ordinata" un insieme di due elementi di cui uno appartiene ad A e l'altro a B (le coppie non ordinate non ammettono²). Si dice "coppia ordinata" una collezione di due oggetti, uno preso da A e l'altro da B, tale per cui sia possibile distinguere un primo componente ed un secondo componente. Una coppia ordinata si denota attraverso l'utilizzo delle parentesi tonde (1, 2). Se x∈A e y∈B allora (x, y) è una coppia ordinata. Si dice "prima coordinata/proiezione" e y si dice "seconda coordinata/proiezione". Una coppia non ordinata si denota con le parentesi graffe {4, 23} = {23, 4}

DEFINIZIONE

A≠ø, B≠ ø. Si dice prodotto cartesiano di A e B e si denota con A×B l'insieme.

A×B = {(a, b)| a∈A ∧ b∈B}

ESEMPIO

A = {Ⓐ, Ⓑ, ⑂} B = {ⓝ, Ⓞ, Ⓟ} A×B = {(Ⓐ, ⓝ), (Ⓑ, ⓝ), (Ⓑ, Ⓞ), (Ⓑ, Ⓟ)} A×B ≠ B×A -> (Ⓑ, ⓝ) ∈ B×A

OSSERVAZIONE

∀ m ∈ Z_{0}

∀ m ∈ Z

m ∈ N

si ha che q = ^m/ _{n = h * m} numero intero relativo

h * m numero naturale

ESEMPIO

q = ⁴ / ₂ = 2

q = ⁸ / ₄ = 2

q = ⁶ / ₃ = 2

OSSERVAZIONE

Vale anche il viceversa, cioè se q = ^m / _n ed esistono m ∈ Z, n ∈ N _{0} m ∈ I ∩ Z₀ ed n = h * m

ed n = h * m, si ha che q = ^m₁ / _m1 (x)

ESEMPIO

2 = ⁴ / ₂

6 = ²⁰ / ₁₀, 5 = 1, 5

Dunque, ogni numero razionale ha infinite rappresentazioni. In particolare, tenendo conto dello "spostamento" della rappresentazione ^m / _n a ^m₁ / _n1, prende il nome di semplificatore della frazione q ed il numero h si dice fattore comune ad m ed n.

• Si vede facilmente che ogni numero razionale ha un'unica rappresentazione in cui numeratore e denominatore non hanno alcun fattore in comune, eccetto il numero 1.
• Due numeri interi relativi si dicono primi tra loro se non hanno alcun fattore in comune.

STRUTTURA D'ORDINE

DEFINIZIONE

A ≠ 0 insieme. Una relazione R su A (cioè RC AXA) si dice relazione d'ordine su A e se verifica le seguenti proprietà:

1. RIFLESSIVITÀ: ogni elemento è in relazione con se stesso. ∀a ∈A a (a, a) ∈.
2. ANTISIMMETRIA: se un elemento ea in relazione con b EA e b in relazione con a, allora 0 = b.∀a,b ∈A (aRb),(bRa) → (a=b)
3. TRANSITIVITÀ: se un elemento e A in relazione con b EA e se un elemento EA è in relazione con CA, allora a è in relazione con C∀a,b,c ∈A (aRb),(bRc) → (aRc)

OSSERVAZIONE

E facile verificare che la relazione ≤ definita su Q nel modo seguente:

∀q _def) ∈ Q q ≤ q' ⟺ ∃ h ∈ D ₊ t c q' ^* = q + h

è una relazione di ordine se è riflessiva

DEFINIZIONE

La relazione d'ordine precedenti si chiamano relazione di minore uguale su Qq ≤ q’ e si legge q e minore uguale a q’

PROPOSIZIONE

Se X ⊆ ℝ ammette massimo (minimo) allora

max X = sup X

min X = inf X

PROPOSIZIONE

Se X ⊆ ℝ è limitato superiormente (inferiormente) allora

• sup X = max X ⇔ max X ∈ X
• sup X ∉ X ⇔ maxX∉ X

Analogamente

• inf X = minX

PROPOSIZIONE

X ⊆ ℝ limitato superiormente

Allora b ha la seguente caratterizzazione

• 1) sup X ⇔ ∀x ∈ X. x ≤ a
• 2) ∀ε > 0 ∃ x ∈ X t.c. a - ε < x

X ⊆ ℝ limitato inferiormente

Allora a ha la seguente caratterizzazione

• 1) inf X ⇔ ∀x ∈ X. x ≥ b
• 2) ∀ε > 0 ∃ x ∈ X t.c. x < b + ε

Esercizio

Si consideri l'insieme A = {1 / n|n ∈ ℕ/ {0}}

Osserviamo che A={1, 1/2, 1/3, ¼...} che al crescere di m

i suoi element diventano sempre minori

In particolare ∀n ∈ ℕ − {0}, 1/n ≤ 1, dunques è maggiorante di A

Siccome 1∈ A, 1=max A

Osserviamo che ∀n ∈ ℕ − {0}, 0 ≤ 1/n dunque 0 è minorante di A

A perciò è limitato inferiormente, e di conseguenza ∃ inf A

Proviamo che 0 = inf A

Per la precedente caratterizzazione dobbiamo vedere se:

• 1) ∀ x ∈ A. 0 ≤ x
• 2) ∀ε > 0 ∃ x ∈ A t.c. x < 0 + ε

La 1 è verficata perchè ∀ x ∈ A allora x = 1/n con n ∈ ℕ − {0} ed abbiamo già constatato che 0 ≤1/n

Proviamo la n2: dobbiamo vedere se

1/m ∈ ℕ, m ≥ 1/ε, 1/m ∈ A, 1/m < ε per qualche m ∈ ℕ −{0}

Ha per la proprietà di Archimede certamente ∃ m ∈ ℕ − {0} t.c. 1/m < ε!

0 = inf A

Non ammette minimo, perché cosi&minus;ponalerrebbe con int X

∃ 7∈ℕ−{0} t.c. 1<1/m