Appunti Analisi II prof Daniele Castorina

Revisionato il 28/06/2026

di danielagentile5601

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Appunti del corso Analisi 2 del professore Castorina. Presi in aula e integrati a casa consultando libro, slide e registrazioni. Presenti esercizi basati su appunti personali del publisher presi …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Castorina Daniele

Università Università degli studi di Napoli Federico II

A.A. 2021-2022

57 pagine

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Successioni di funzioni

Sia I un insieme di numeri reali e sia \( f_k: I \rightarrow \mathbb{R} \) una successione di funzioni reali.

\( f(x) \in \mathbb{R} \) converge puntualmente in I verso f: \( I \rightarrow \mathbb{R} \) sse

\(\lim_{k \to +\infty} f_k(x) = f(x)\) \(\forall x \in I\)

cioè \(\forall \epsilon > 0 \; \forall x \in I \; \exists V_{\epsilon, x} \; \exists k_0 \in \mathbb{N}\) tale che

\( |f_k(x) - f(x)| < \epsilon \, \, \forall k \geq V_{\epsilon, x} \)

Esempio

\( f_m(x) = mx \)

\( m = 1 \quad f_1(x) = x \)
\( m = 2 \quad f_2(x) = 2x \)
\( m = 3 \quad f_3(x) = 3x \)

\(\lim_{m \to +\infty} mx = \begin{cases} +\infty & x > 0 \\ 0 & x = 0 \\ -\infty & x < 0 \end{cases}\)

f_k(x) converge puntualmente solo per \( x \geq 0 \) in \( f(x) = 0 \)

Esempio 1

\( f(x) = \frac{\sin x}{m} \quad x \in \mathbb{R} \)

\( m = 1 \quad \frac{\sin x}{1} \)
\( m = 2 \quad \frac{\sin x}{2} \)
\( m = 3 \quad \frac{\sin x}{3} \)

\(\lim_{m \to +\infty} \frac{\sin x}{m} = 0 \quad \forall x \in \mathbb{R} \)

Verifico con la definizione

\(-1 \leq \sin x \leq 1 \rightarrow - \frac{1}{m} \leq \frac{\sin x}{m} \leq \frac{1}{m} \)

\(\lim_{m \to +\infty} \frac{1}{m} = 0\)

Quindi il limite puntuale tende a 0.

Esempio 2

\( f_m(x) = \frac{x}{m} \)

\( m = 1 \quad f_1(x) = x \)
\( m = 2 \quad f_2(x) = \frac{x}{2} \)
\( m = 3 \quad f_3(x) = \frac{x}{3} \)

\(\lim_{m \to +\infty} \frac{x}{m} = 0 \Leftrightarrow \frac{x}{m} - 0 < \epsilon\)

\( V_m \to V_{\epsilon, x} = \frac{x}{\epsilon} \)

SUCCESSIONI DI FUNZIONI

Sia I un insieme di numeri reali e sia f_k: I → ℝ una successione di funzioni reali, definiamo:

f_k converge puntualmente in I verso f: I ⊂ ℝ se

lim_k→+∞ f_k(x) = f(x) ∀x ∈ I

(limite puntuale)

cioè ∀ε > 0 ∀x ∈ I esiste ν_ε,x ∈ ℕ tale che

|f_k(x) - f(x)| < ε ∀k₀ > ν_ε,x

ESEMPIO

f_m(x) = mx

m = 1 f₁(x) = x

m = 2 f₂(x) = 2x

m = 3 f₃(x) = 3x

lim_m→+∞ mx ⎧ +∞ x > 0

⎪ 0 x = 0

⎩ -∞ x < 0

f_m(x) converge puntualmente solo per x ≥ 0

in f(x) > 0

ESEMPIO 1

f(x) = sin x/m x ∈ ℝ

m = 1 sin x

m = 2 sin x/2

m = 3 sin x/3

lim_m→+∞ sin x/m = 0 ∀x ∈ ℝ

Verifico con la definizione:

-1 ≤ sin x ≤ 1 → -1/m ≤ sin x/m ≤ 1/m

lim_m→+∞ -1/m = 0 lim_m→+∞ 1/m = 0

(per il teorema dei carabinieri sin x/m →_m→+∞ 0)

Quindi il limite puntuale tende a 0

ESEMPIO 2

f_m(x) = x/m

lim_m→+∞ x/m = 0 ↔|x/m - 0| < ε

∀m > ν_ε,x = |x|/ε

Convergenza uniforme

Allo stesso modo p_n converge uniformemente in I ⊂ ℝ verso f se ∀ε>0, esiste v_ε ∈ ℕ tale che

sup_I {| p_n(x) - f(x) | : x ∈ I } < ε ∀k > v_ε

ossia se

lim_{k →∞} sup_I {| p_n(x) - f(x) | : x ∈ I } = 0

Se converge puntualmente e uniformemente in un insieme I allora converge rispettivamente puntualmente e uniformemente in ogni sottoinsieme I'_I ⊂ I

La convergenza uniforme implica quella puntuale

Nei due esempi precedenti si può parlare di convergenza uniforme?

CASO 1

p_n(x) = sin x

p(x) = 0

Intervallo di convergenza puntuale I = ℝ

sup_ℝ {|p_n(x) - p(x)|} = sup_ℝ {|sin x_m - 0|} = sup _ℝ {|sin x | } ≤ x _m → 0

Si ha convergenza uniforme in p(x) = 0 su tutto I = ℝ

CASO 2

p_n(x) = x _m

p(x) = 0 ∀x ∈ ℝ

sup_ℝ {|p_n(x) - p(x) |} = sup_ℝ

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