Appunti Analisi II prof Daniele Castorina

Successioni di Funzioni

Sia I un insieme di numeri reali e sia f_n: I ⟶ ℝ una successione di funzioni reali definite in I. f_n converge puntualmente in I verso f: I ⟶ ℝ se

• lim_n→+∞ f_n(x) = f(x) ∀x ∈ I

Esempio:

• f_n(x) = nx
• n = 1 f₁(x) = x
• n = 2 f₂(x) = 2x
• n = 3 f₃(x) = 3x

lim_n→+∞ nx =

• +∞ x > 0
• 0 x = 0
• -∞ x < 0

Esempio 1:

• f_n(x) = sin x / n x ∈ ℝ
• n = 1 sin x
• n = 2 sin x / 2
• n = 3 sin x / 3

lim_n→+∞ sin x / n = 0 ∀x ∈ ℝ

Verifica con la definizione

• -1 ≤ sin x ≤ 1 → -¹/_m ≤ sin x / m ≤ ¹/_m

lim_m→+∞ -¹/_m → 0 lim_m→+∞ ¹/_m → 0

per il teorema dei carabinieri: sin x / m _m→+∞ → 0

Esempio 2:

• f_n(x) = x / n
• f(x) = x
• f₁(x) = x / 2
• f₃(x) = x / 3

lim_n→+∞ x / n = 0 ↔ lim_m○_x / n | ≤ ϵ

V_m > V_ϵ = |x| / ϵ

Convergenza Uniforme

Allo stesso modo f_k converge uniformemente in I ⊆ ℝ verso f, se ∀ε>0, esiste N_ε ∈ ℕ tale che:

sup_I{ |f_k(x) - f(x)| : x ∈ I } ≤ ε

∀k > N_ε

ossia se

lim_k→+∞ sup_I{ |f_k(x) - f(x)| : x ∈ I } = 0

Se converge puntualmente e uniformemente in un insieme I, allora converge rispettivamente puntualmente e uniformemente in ogni sottoinsieme I' ⊆ I.

La convergenza uniforme implica quella puntuale.

Nei due esempi precedenti si può parlare di convergenza uniforme?

Caso 1

f_m(x)= ^{sin x}/_m f(x)=0

Intervallo di convergenza puntuale I = ℝ

sup_ℝ|f_m(x) - f(x)| = sup_ℝ|^sinx/_m - 0| = sup_ℝ|^sinx/_m| ≤ ¹/_{m m→+∞}→ 0

Si ha convergenza uniforme in f(x)=0 su tutto I = ℝ

Caso 2

f_m(x) = ^x/_m f(x)=0 ∀x ∈ ℝ

sup_ℝ|f_m(x) - f(x)| = sup_ℝ|^x/_m - 0| = sup_ℝ|^x/_m|

m→+∞

→ 0? NO!

Se consideriamo ad esempio la successione x_m=m

f_m(x_m) = ^x_m/_m = 1 →_m→+∞ 0

implica sup_ℝ|^x/_m|

|^x_m/_m| = 1

Quindi sup_ℝ|^x/_m| →_m→+∞ 0 non è convergente uniformemente perché esiste una successione divergente x_m tale da non tendere a 0

Ci è utile trovare il "miglior intervallo" di convergenza uniforme. Consideriamo ∀M>0 l'intervallo I_M=[-M,+M]

sup_IM|f_m(x)-f(x)| = sup_IM|^x/_m| = ^M/_{m m→+∞}→ 0

Nel sottoinsieme I_M, f_m(x) converge uniformemente in 0

f(x) = L + ∫_x0^x g(t) dt ∀ x ∈ [a, b]

Considero

|f_n(x) - f(x)| ≤ |f_n(x₀) - L| + |∫_x0^x (f_n'(t) - g(t)) dt| ≤

|f_n(x₀) - L| + (b-a) sup_t∈[a,b]{|f_n'(t) - g(t)|} < ε ∀ n ≥ k

lim sup |f_n(x) - f(x)| = 0 cioè f_n → f uniformemente

Serie di funzioni

f₁(x) + f₂(x) + .. + f_n(x) = Σ_n=1^∞ f_n(x) ← serie di funzioni

∑_n=2 |f_n(x)| > ∞ la serie è divergente

DEFINIZIONE

La serie di funzione ∑_n=1^∞ f_n(x) converge puntualmente in I ⊆ R se Σ_n=1^∞ f_n(x) converge ∀ x ∈ I.

E.g.

∑_n=0^∞ xⁿ ← serie geometrica converge puntualmente in (-1,1)

Per studiare la convergenza di una serie f_n(x) possiamo associare alla convergenza delle somme parziali (o n-simte)

S_N(x) = f₁(x) + f₂(x) + .. + f_N(x) = Σ_n=1^N f_n(x)

La serie converge puntualmente in x₀ se esiste lim_N→∞ S_N(x₀) = Σ_n=1^∞ f_n(x₀)

Funzioni di più variabili

In Analisi I

f: IR → IR

In Analisi II

f: IRⁿ → IR

B) Primo IR² = { (x, y) : x, y ∈ IR }

v

v̅ = vettore

v̅ = O P

v̅̅̅ = (x₀, y₀)

Scalare

• quantità unicamente determinata dal numero che la caratterizza

Vettore

• quantità determinata da:
• punto di applicazione
• lunghezza
• direzione
• verso

Vettori applicati

Vettori liberi

Somma di vettori

Dati v̅₁ = (x₁, y₁) e v̅₂ = (x₂, y₂)

Definiamo il vettore somma v̅₁ + v̅₂ = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)

detto anche somma componente per componente

Moltiplicazione per uno scalare

Dato v̅ ∈ IR² e λ ∈ IR considera λ v̅

se λ = 2

v̅

2 v̅

Stessa direzione e verso

Teorema

IR² con le operazioni di somma tra vettori e moltiplicazione per uno scalare risulta essere uno spazio vettoriale (o anche spazio lineare)

Calcolo dei limiti tramite coordinate polari

x = x₀ + ϵ cos θ

y = y₀ + ϵ sin θ

ϵ = √((x−x₀)² + (y−y₀)²)θ = arctan ((y−y₀)/(x−x₀))

Dovendo calcolare lim (x,y)→(x₀,y₀) ρ(x,y) bisogna considerare:

lim_ϵ→0 ρ(x₀ + ϵ cos θ, y₀ + ϵ sin θ)

Continuità

ρ(x,y) è continua in (x₀,y₀) <=> lim (x,y)→(x₀,y₀) ρ(x,y) = ρ (x₀,y₀) ovvero se

∀ϵ>0 ∃δ>0 | ∀(x,y)∈B_δ (x₀,y₀) tale che

|ρ(x,y)−ρ(x₀,y₀)|<ϵ ∀(x,y)∈B_δ (x₀,y₀) altrimenti (x−x₀)² + (y−y₀)² ≤ δ²

Derivate parziali

In ℝ f'(x) = lim_h→0 (f(x+h) − f(x))/h

In ℝ² si possono incrementare x e y separatamente

Definiamo derivata parziale rispetto a x in (x₀,y₀) il limite finito qualora esista

∂ρ/∂x (x₀,y₀) = lim_h→0 (ρ(x₀+h, y₀) − ρ(x₀, y₀))/h

Rispetto a y

∂ρ/∂y (x₀,y₀) = lim_h→0 (ρ(x₀, y₀+h) − ρ(x₀, y₀))/h

Notazione equivalente: ∂ρ/∂x = ∂ρ/∂y . ρ_x . ∂χρ ∂ψρ . ∂α/∂β