Appunti Analisi 1

Lezione 1

Numeri

• — Naturali
• ℤ — Interi
• ℚ — Razionali
• ℝ — Reali

ℕ = {0, 1, 2, 3, ...}

ℤ = {0, ±1, ±2, ±3, ...}

ℚ = {u/n ∈ ℤ, n ≠ 0}

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Axiomi dei numeri reali

• associati relativi alle operazioni sono definite le operazioni di addizione e moltiplicazione tra coppie di numeri reali.
• Proprietà associativa

(ab)c = a(bc)

(a.b).c = a.(b.c)

• Proprietà commutativa

a.b = b.a

a.b = b.a

• Proprietà distributiva

a.(b+c) = ab+ac

• Esistenza degli elementi neutri 0, 1

a+0 = a

a.1 = a ∀a ∈ ℝ

• Esistenza degli opposti

∀a ∈ ℝ

(∃-a ∈ ℝ a+a=0

a-a=0

• Esistenza degli inversi

∀a ∈ ℝ

(∃-a ^ {-1} ∈ ℝ

a.a ^ {-1} =

a ^ {-1}.a = a-a = 0

• associati relativi all'ordine sono definite le coppie

• Proprietà di tricotomia

• Proprietà asimmetria

∀a,b ∈ ℝ dichiamo a⪤b oppure ba⪤a

se a⪤b allora ab, allora a-b

se a⪤o allora a+b

∀c ∈ ℝ

se o⪤a e o⪤b allora o⪤a.b

o⪤a-b

Assioma di completezza

dei numeri realisiano A ⊆ ℝ, ∃ B ⊆ ℝ t.c. ∀a ∈ A, ∀b ∈ B, abbiamo a ≤ b.

Allora ∃ c ∈ ℝ t.c. a ≤ c ≤ b.

Proposizione 1:

ℝ non soddisfa l'assioma di completezza.

Proposizione 2:

Non esiste q ∈ ℚ tale che q² = 2 ∉ ℚ

Dimostrazione

Prop. 1:Supponiamo che ∃ q ∈ ℚ t.c. q² = 2. ∃ m,n ∈ ℕ t.c. (\frac{m}{n})²=d

Senza perdere di generalità possiamo dire che m e n non sono entrambi pari

Allora m² = 2n² → m² è pari → m è pari

m=2k ∃ k ∈ ℕQuindi 4k²=2n² allora n è pari

Dimostrazione:

Prop. 1

Definiamo:

A: \left\{ a ∈ ℚ t.c. a < \sqrt{2} \right\}

B: \left\{ b ∈ ℚ t.c. b > \sqrt{2} \right\}

Notiamo che A ⋃ B = ∅

A ∩ B = ∅

a ≤ b ∀ a ∈ A e ∀ b ∈ B

∃ q ∈ ℚ t.c. q ∈ A e q ∈ Ballora q ∈ A oppure q ∈ B t.per cui A ⋃ B = ∅

Supponiamo che q ∈ A allora non potendo ∃re q ≤ 0abbiamo q² ≥ 2 e q ≥ 0

Osserviamo che ¬ ∃ n ∈ ℕ t.c. u² ≤ q² = 2 ≤ u, q

Allora ∃ il cubo di \frac{1}{u}

(q+q')² \not≤≤2q\frac{1}{u} + q²⁺\frac{1}{u}^2+q \frac{2+u}{u}

Perciò q₁¬≤∈A

compreso in A

• Funzione composta

Data: f: A → B e g: B → C

possiamo definire la funzione composta:

g ∘ f: A → C come (g ∘ f)(x) = g(f(x))

NB:

iniettività, suriettività, invertibilità non vengono in generale

Esempi:

1. g: [0, +∞) → (-∞, +∞)

• g(x) = x²

f: (0, 1) → (-1, + ∞)

• f(x) = 1/x

g(f(x))

g ∘ f: (0, 1) → (1, +∞)

Si preserva la monotonia ma non la suriettività

2. g: [0, 2π] → [-1, 1]

• g(x) = cos(x)

non si preserva nessuna delle proprietà

3. g: [0, π] → [-1, 1]

• g(x) = cos(x)

a g sia suriettiva che iniettiva

f: [-1, 1] → [-1, 0.8]

• f(x) = x

suriettiva ma non iniettiva, non monotona

F: [0, 1] → [-1, 0.8]

• F(x) = -x

rivieta funzione lineare, iniettiva suriettiva e invertibile

Densità dei razionali negli reali

∀ a,b ∈ R ∃ q ∈ Q t.c. a < q < b - vedere approssimazione che non è costruttiva

Problema: supposizione di uso dello stesso _punto (ad es. a) _abbasso e analogo

alzo: o oddio

Per la proprietà di Archimede: ∃ m ∈ N t.c. 1/m < u

⇒ u = n/b → n < n+1 = u b/b = 1

ma secondo Archimede 1/m < x - non c'è n ∈ N t.c. 1/n = 1

n c ∈ N

Allora uno cum in a soli x δ_eureka una n

Quindi ∃n>un n es u,b ∈ N t.c. u a < n < ub - sia a = (a,b)

Esempio:

Sia A: = { √u+d ∈ N,'u'max}

Dire x in A: duplicati limiti X>large

1. Controllare limitatezza

_{ux u> a b/a b^.}

1∋ a li misure è limitato

2. Notare max e min (se esagiv e min ∀ N) .

∃ u =1, x+1 > u, ∋

√e ingleggibile d max (A)/∉L di max

x ị

∃ /∃ x min(A)

3. Dimostrare che min(A)

Supponiamo per assurdo che min(A)

∀u ∈ N min(A) A±Δ

ma 1_x ℓ e 1+x k or < x - viene (min)

x ≤ 1 µ < x < 0">

_1u0

4. √[p(x)]*s = verificiamo

inf(A)g= 1√

∃ y Mull ∈ N [*_.sup.2^)]

∴[⊂]

una discrimina usago à trovare 1/x

Conduci: ∝(√[A]) =_derivata√

Teorema

Una successione convergente ammette un solo limite.

Dimostrazione

Supponiamo per assurdo che ∃ a,b ∈ ℝ t.c. a≠b e

lim_n→∞ a_n=a e lim_n→∞ a_n=b.

Poniamo ε = |a-b| / 2.

Abbiamo quindi che ∃ M₁ t.c. | a_n-a | < ε ∀n > M₁

∃ M₂ t.c. | a_n-b | < ε ∀n > M₂.

Se poniamo = max { M₁, M₂ }, allora ∀ n > risulta

valere (1) e (2) ed

Consideriamo la diseguaglianza triangolare : x, x_n ∈ ℝ

| x + y | ≤ | x | + | y |

Perciò | a-b | = | a-a_n + a_n-b | ≤ | a-a_n | + | a_n-b | < ε + ε = 2ε = | a-b |

Quindi deduciamo direttamente che a = b ∧ a≠b ∧ ε

Successione divergente

Definizione

Una successione diverge a +∞ se ∀ K > 0 ∃ M(K) ∈ ℝ

t.c. a_n ≥ K ∀n > M(K)

Una successione diverge a -∞ se ∀ K > 0 ∃ M(K) ∈ ℝ

t.c. a_n ≤ -K ∀n > M(K)

Esempi

lim_n→+∞ n² = +∞ / lim_n→+∞ -3n² = -∞

NB: Alcune successioni non ammettono limite.

Esempio: lim_n→∞ (-1)ⁿ non converge e non diverge n. p. cyl.

Successione limitata

Definizione

Una successione si dice limitata se ∃ c > 0

t.c. | a_n | ≤ c ∀n ∈ ℕ.

NB: a_n = (-1)ⁿ è limitata perché | a_n | ≤ 1

e convergente ⇒ lim_n→+∞ a_n = 0

a_n = (-1)ⁿ è limitata perché | a_n | ≤ 1

ma non è convergente.

- ⁺_lim

Supponiamo che  ⁺_lim allora ∀ ∈  t.c. | − | < ∈

Precedo i paci di trovo:

a) a − < (∈)

Prove di separi trovo

b) a − > −^<[/] a+ ([̶̃̃] ())

• Ma osserva che | − | | + | non dispendo da

• Perciò ∀∈ <= ∀∈>0

∀⁺_lim <∈ ∀∈>0

SUCCESSIONI MONOTONE

• A_n è strettamente crescente  a_n 0 ∃ a_i ⋲(L) t.c. a_i > L

  - Istetto che succ crescente a_n>0

  - _n>o Verdoro a_i divergente ⁼_lim