Appunti Analisi 1

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Author: Tommaso_Unipd

Revisionato il 31/05/2026

di Tommaso_Unipd

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Appunti completi della teoria del corso di Analisi Matematica 1, comprensivi di esempi ed esercizi esplicativi della teoria.Gli appunti comprendono tutte le dimostrazioni richieste …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Zanelli Lorenzo

Università Università degli Studi di Padova

A.A. 2018-2019

82 pagine

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Estratto del documento

Lezione 1: Numeri

Tipi di numeri

Numeri naturali: N = {0, 1, 2, 3, ...}

Interi: Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Razionali: Q = {a/n, a ∈ Z, n ∈ O}

Inclusione: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R

Axiomi dei numeri reali

Axiomi relativi alle operazioni

Sono definite le operazioni di addizione e moltiplicazione tra coppie di numeri reali.

Proprietà associativa: (ab c) = a (bc)
(abc) = a (bc)
Proprietà commutativa: ab = ba
Proprietà distributiva: a (bc) = ab + ac
Esistenza degli elementi neutri 0 e 1: a + 0 = a, a × 1 = a ∀a ∈ Q
Esistenza degli opposti: ∀a ∈ R ∃â∈ R tale che a + â = 0
Esistenza degli inversi: ∀a ∈ R \ {0} ∃a^-1∈ R, a × a^-1 = 1

Axiomi relativi all'ordinamento

Sono definite le seguenti relazioni di ≪ tra coppie di numeri reali.

Proprietà riflessiva: ∀a, b ∈ R dobbiamo avere a ≤ b oppure b ≤ a
Proprietà transitiva: se a ≤ b e b ≤ c, allora a ≤ c
Proprietà asimmetrica: se a ≤ c allora a ≠ c
Proprietà totale: se a ≠ b allora a &lsb; b

Lezione 1: Dettagli sui numeri

N_I - Numeri: Naturali

ℤ - Interi

ℚ - Razionali

ℝ - Reali

ℕ: {0, 1, 2, 3, ...}

ℤ: {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

ℚ: {a/b, a ∈ ℤ, b ≠ 0}

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ

Axiomi dei numeri reali: Dettagli

Assiomi relativi alle operazioni

Sono definite le operazioni di addizione e moltiplicazione tra coppie di numeri reali.

Proprietà associativa: (a•b)•c = a•(b•c)
Proprietà commutativa: a•b = b•a
Proprietà distributiva: a•(b+c) = a•b + a•c
Esistenza degli elementi neutri 0 e 1: a+0 = a, a•1 = a ∀a∈ℚ
Esistenza degli opposti: ∀a∈ℝ ∃!â∈ℝ a+â=0, â=-a
Esistenza degli inversi: ∀a∈ℝ ∃!â∈ℝ a•â=1, a≠0 â=1/a

Assiomi relativi all'ordinamento

Proprietà: ∀a,b∈ℝ dobbiamo a≤b oppure b≤a
Proprietà asimmetrica: se a≤b e b≤a, allora a=b
se a≤b, allora a+c≤b+c ∀a,c∈ℝ
se 0≤a e 0≤b, allora 0≤a•b

Assione di completezza dei numeri reali

Siano A &subseteq; &Ropf; e B &subseteq; &Ropf; tali che ∀ a &in; A, ∀ b &in; B abbiamo a ≤ b. Allora ∃ c &in; &Ropf; tale che a ≤ c ≤ b.

Proposizioni

Proposizione 1

∃ un elemento che soddisfa l'assione di completezza.

Proposizione 2

Non esiste q &in; ℚ tale che q² &Lowbar; 2 &in; ℚ

Dimostrazione Prop. 2: Supponiamo che ∃q &in; ℚ tale che q² < 2 → ∃ m, n &in; ℕ tale che (m/n)² < 2. Senza perdere di generalità, possiamo dire che m e n non sono entrambi pari. Allora m² = 2 &

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