Appunti Aerodinamica Parte I, prof. Stalio

AERODINAMICA

L'ipotesi iniziale è quella di considerare l'aria un mezzo continuo e non discontinuo, come in effetti è in realtà (fase composta cioè da molecole).

Avere una visione troppo particolareggiata come quella delle chimica può dare dei problemi: lo stesso non si può avere una visione troppo penalizzata perché il rischio di commettere errori troppo grandi.

Considerare una distanza in uno spazio troppo piccola o troppo grande quindi non va bene.

_{ρAria @ 17°C = 1,2 kg/m³}

Le densità ad essere più precisi è funzione di temperatura e pressione.

Nella aerodinamicà subsonica tuttavia si può trascurare l'effetto della pressione su di esse.

Altro parametro importante è la viscosità, che dipende da pressione e temperatura → detto da ho già riportato che nei nostri esperimenti le T = cost posso dire che la viscosità è costante.

Viscosità cinematica: _{νAria @ 17°C = 15 x 10^-6 m²/s}

Viscosità dinamica: _{μAria @ 17°C = 18 x 10^-6 Pa·s}

Da un punto di vista pratico rappresentano la stessa proprietà del fluido.

ELEMENTO MATERIALE E PARTICELLA FLUIDA

Elemento materiale è formato sempre dalle stesse molecole.

Particella fluida è una piccola quantità di materia che si muove in un fluido.

Principio di reciprocità

Secondo il principio di reciprocità le forze del flusso su un oggetto in moto è pari a quelle sentite dall'oggetto nel caso → motivo per cui studiamo oggetto in presenza di vento in senso.

Nell'osso del cosmo non si potrebbe di visione legare unione o ultimare: definisce l’identità ad un dato punto in base alla sua posizione all’istante to (pdv referenziale). Si considera la sezione di un cilindro e un flusso laminare che lo attraversa in un caso stazionario:

d_v/dt = 0 → nessuna grandezza dipende del tempo In una prima impressione si potrebbe percepire che non c'è cosi tuttavia in ogni punto, in un caso stazionario, ogni particella successiva alla precedente possiede la stessa velocità.

Punto di vista spaziale e referenziale

• Spaziale

^u̅ (x, t)

d^u̅/dt

∮_m Accelerazione (questa è la derivata locale della velocità)

doventa totale e materiale

• Referenziale
• x̅* (to, x̅o)

^u̅* (t, x̅o) = ^u̅ (^x̅* (t, x̅o), t)

sono di misura in un punto di vista spaziale

Quando la somma degli elementi lungo

la diagonale principale (ovvero Tr(S) > 0 o

∇•S) allora aumenta fluidi e masse

è da considerare sempre costante. Viceversa se

Tr(S) < 0 diminuisce. Il caso particolare è

quando Tr(S) = 0 e cioè quando è costante.

Che differenza c’è tra un tensore ed un mattrice?

Il primo rappresenta variabili fisiche che abbiamo da

studiare.

Traiettoria

La traiettoria di una particella fluida è il luogo di

punta occupato durante il moto.

Linea di corrente

Una linea di corrente è una linea che in ogni

punto come tangenta il vettore velocità (o meglio la direzione).

Linea di fumo

Una linea di fumo è il luogo dei punti occupati

da tutte le particelle che ad un certo istante sono

poste in un determinate punto.

In un caso non stazionario si può dimostrare che i

3 concetti appena ed espressi sono sostanzialmente diversi.

In un case stazionario invece questi coincidono.

Che cos’è un tubo di flusso? È un tubo "virtuale" del intorno

del quale passano tutte le linee di corrente racchiuse

da una linea divisata.

Non è possibile che 2 linee di corrente si intersecchino

perché la definizione stesse dice che in ogni punto

c’è un vettore velocidade con direzione tangente delle linee.

Se ci fosse un intersezione, ci avrebbero in uno stesso punto

2 vettori velocità definiti: ma questo non è possibile perché

* = _i ∫_V j_g dV

TEOREMA DEL TETRAEDRO DI CAUCHY

29/3/18

Il teorema del tetraedo di Cauchy parte da un sistema di riferimento cartesiano 3D in cui lo stato tensionale in corrispondenza dei 3 piani principali x-y, y-z e z-x è noto. Cauchy si è chiesto: prendendo un piano generico non parallelo ai 3 piani cartesiani, come si fa a calcolare lo sforzo applicato su di esso? Cauchy ha dimostrato che se vogliamo conoscere lo sforzo t_i, applicato su una generica superficie, questo può essere espresso come la somma del prodotto tra il tensore delle tensioni T_ij relativo alla terna x-y-z e il vettore normale alla supf. ň.

IPOTESI DI STOKES

1. Il campo di pressione in un fluido in moto deve riconducersi al campo di pressione.
2. Il fluido è isotropo.
3. Gli sforzi sono al più una funzione lineare delle deformazioni. Questo significa che il nostro studio è inventato solo sui fluidi newtoniani.

PRESSIONE STATICA

T_ij = ^{0 -p 0} _{0 0 -p} = -p δ_ij

δ_ij DELTA DI KRONECKER MATRICE CON TUTTI ELEMENTI NULLI TRANNE QUANDO I=J

NEGATIVA XXX PRESSIONE DI CONTRAZIONE!

Flusso in regime laminare - moto alla Couette

Ipotesi:

1. Flusso laminare
2. Flusso completamente sviluppato
3. Flusso isotermo

Da: ∇ · u = 0;

Cioè il moto è unidirezionale → U = 0 W = 0

Per le prime componenti:

[ (∂u/∂t) + (grad )u = -(∂p/∂x) + µΔ²u

∂u/∂t + u∂u/∂x + v∂u/∂y + w∂u/∂z = --

1/µ (∂p/∂x) - (∂²u/∂y²)

∫

∫ ∫

∫

1/µ (dp/dx) ∫y dy = ∂ ∂(du/dy),

1/2µ (dp/dx) (y² - δ²) = u(y) - U(δ).

u(y) = (1/2µ) (dp/dx) (y² - δ²)

Una domanda che possiamo porgerci è: qual è il discriminante che permette di distinguere un moto laminare da uno turbolento?

Per quanto riguarda il tipo di equazioni, si può dire che nel corso del moto a potenziale otteniamo una equazione e una differenziale, mentre nel corso degli N-S le equazioni sono accoppiate, cioè non possono essere risolte separatamente.

Nel moto a potenziale si può risolvere dΨ per trovare Ψ e se, in un secondo momento, noto il campo di velocità, si va a trovare P nei trinomi di Bernoulli.

Non sono più precise per le N-S, ma sono di ordine parziale, non stazionarie, tridimensionali e non lineari.

Le equazioni del moto a potenziale godono della proprietà di sovrapposizioni degli effetti anche se lineare l'equazione, lineare è quella cinetica; di contrario, le N-S non godono assolutamente di questa proprietà!

Per quanto riguarda il tempo: nelle equazioni del moto a potenziale può avere una soluzione temporale dell'interno ma questo deve essere guidato dalle condizioni del bordo.

In N-S invece otteniamo un generico fluido non-stazionario. Con le equazioni del moto e potenziale infini e chiuso la completa riduzione un flusso dell'interno di una tubazione; con N-S invece questo è possibile.

funzione a potenziale e funzione di corrente

Le funzioni a potenziale φ è una funzione tale che, ragionando in 2 dimensioni, si ha:

• U = \frac{\partial \phi}{\partial x}
• V = \frac{\partial \phi}{\partial y}

Le funzioni di corrente invece:

• U = \frac{\partial \psi}{\partial y}
• V = -\frac{\partial \psi}{\partial x}

\nabla \cdot \mathbf{U} = -(\mathbf{V}, \mathbf{U})

Le linee di potenziale costante, in ogni punto, il vettore velocità è ortogonale ad essa.